Условие Слуцкого

Условие Слуцкого (эргодическая теорема Слуцкого) — необходимое и достаточное условие эргодичности стационарного случайного процесса $X$ с корреляционной функцией ${\psi }_X(\tau )$:

$\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{T\to \mathrm{\infty }}\frac{1}{T}\underset{0}{\overset{T}{\int }}{\psi }_X(\tau )d\tau =0$.

В системах с дискретным временем условие формулируется в терминах суммированияШаблон:Sfn:

$\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{T\to \mathrm{\infty }}\frac{1}{T}\sum _{\tau =0}^{T-1}{\psi }_X(\tau )=0$.

Шаблон:ЯкорьВ условии автокорреляционная функция ${\psi }_X(t,t^{\prime })$ выражена через один аргумент $\tau =t-t^{\prime }$, поскольку для стационарного процесса зависит только от разности аргументов (форма центрированной корреляционной функции); она может быть с использованием математического ожидания $𝔼$ определена следующим образомШаблон:Sfn:

${\psi }_X(\tau )=𝔼[X(t+\tau )-𝔼X(t+\tau )][X(t)-𝔼X(t)]$.

Установлено в 1938 году Евгением СлуцкимШаблон:Sfn. Результат может быть интерпретирован как форма закона больших чисел для стационарных случайных процессовШаблон:Sfn.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга:ВМСЭ
• Шаблон:Книга