Условия Инады

Условиями Инады (Шаблон:Lang-en) в макроэкономике называют допущения о характере производственной функции, гарантирующие стабильность экономического роста в неоклассической модели (Шаблон:Lang-en). В нынешнем виде введены Хирофуми УдзавойШаблон:Sfn, названы в честь другого японского экономиста, Шаблон:Нп5Шаблон:Sfn.

Условия

Предполагается, что задана непрерывно дифференцируемая производственная функция $F:{ℝ}^n\to ℝ$, где $n$ — количество факторов производства. Например. для функции Кобба-Дугласа их традиционно два: капитал $K$ и труд $L$. Тогда к производственной функции можно предъявить следующие требования.

1. Значение функции в нуле равно нулю $F(\mathrm{𝟎})=0$. При этом требуют, чтобы функция была равна нулю даже если только один из факторов отсутствует.
2. Функция является монотонно возрастающей по каждому из факторов: $F{\text{'}}_{X_i}(𝐗)>0,\mathrm{\forall }i$.
3. Функция является строго вогнутой, то есть вторая производная функции отрицательна: ${\partial }^{2}f(𝐗)/\partial X_i^2<0,\mathrm{\forall }{x}_i$.
4. Предел первой производной $F(𝐗)$ равен бесконечности при $X_i$, стремящемся к 0: $\underset{X_i\to 0}{lim}\partial F(𝐗)/\partial X_i=+\mathrm{\infty }$;
5. Предел первой производной $F(𝐗)$ равен 0 при $X_i$, стремящемся к бесконечности: $\underset{X_i\to +\mathrm{\infty }}{lim}\partial F(𝐗)/\partial X_i=0$.

Условиями Инады называют как все сформулированные выше требованияШаблон:Sfn, так и последнюю группу требований, накладывающих ограничения на поведение производнойШаблон:Sfn.

Условия Инады обладают следующим смыслом. Равенство функции нулю означает, что для производства требуются ресурсы и все факторы производства обязательно должны присутствовать. Возрастание означает, что большее количество факторов производства приносит больший выпуск. Вогнутость является следствием убывающего предельного продукта. Требования к поведению производной означают, что в начальный момент каждая дополнительная единица ресурсов дает экономике очень много выпуска, но со временем из-за убывающей отдачи расти становится все сложнее. Каждая дополнительная единица приносит все меньше.

С математической точки зрения, условия Инады гарантируют существование сбалансированной траектории роста экономики в модели (Шаблон:Lang-en).

Функция Кобба — Дугласа

Из класса функций CES всем перечисленным условиям удовлетворяет только функция Кобба — Дугласа. Не трудно проверить выполнение этих условий для функции $Y=F(K,L)=K^{\alpha }{L}^{1-\alpha }$ ($\alpha \in (0,1)$).

В производстве отсутствует капитал или труд, тогда:

$F(0,L)=0$, $F(K,0)=0$.

Функция является монотонной по обоим факторам производства:

$F{\text{'}}_K=\alpha K^{\alpha -1}{L}^{1-\alpha }>0$

$F{\text{'}}_L=(1-\alpha )K^{\alpha }{L}^{-\alpha }$.

Убывающая предельная отдача капитала и труда:

$F^{\prime }{\text{'}}_K=\alpha (\alpha -1)K^{\alpha -2}{L}^{1-\alpha }<0$

$F^{\prime }{\text{'}}_L=-\alpha (1-\alpha )K^{\alpha }{L}^{-\alpha -1}<0$.

Поведение первой производной в нуле:

$\underset{K\to 0}{lim}F{\text{'}}_K=\alpha K^{\alpha -1}{L}^{1-\alpha }=\mathrm{\infty }$

$\underset{L\to 0}{lim}F{\text{'}}_L=(1-\alpha )K^{\alpha }{L}^{-\alpha }=\mathrm{\infty }$.

Поведение первой производной и на бесконечности:

$\underset{K\to \mathrm{\infty }}{lim}F{\text{'}}_K=\alpha K^{\alpha -1}{L}^{1-\alpha }=0$

$\underset{L\to \mathrm{\infty }}{lim}F{\text{'}}_L=(1-\alpha )K^{\alpha }{L}^{-\alpha }=0$.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья