Число отрезков

Узел восьмёрка имеет число отрезков, равное $7$.

Число отрезков — инвариант узла, определяющий наименьшее число прямых «отрезков», которые, соединяясь конец к концу, образуют узел. Говоря более строго, числом отрезков геометрического узла $K$ называется число звеньев в минимальной по числу звеньев ломаной, лежащей в ${ℝ}^3\subset {ℝ}^3\cup \{\mathrm{\infty }\}\cong S^3$ и объемлюще-изотопной геометрическому узлу $K$. Данная функция на множестве всех геометрических узлов по определению постоянна на объемлюще-изотопических классах геометрических узлов, а значит можно говорить о числе отрезков как об инварианте узла. Число отрезков узла $K$ обозначается через $\text{stick}(K)$.Шаблон:SfnШаблон:Sfn

Известные значения

Торический узел $T(2,3)$ (трилистник) имеет число отрезков, равное $6$ (так как $q=3$ и $2\cdot 3=6$). Это единственный узел с таким числом отрезков.

Наименьшее число отрезков для нетривиального узла равно $6$. Число отрезков, как и прочие меры сложности узлов, трудновычислимы, поэтому известно не так много точных значенийШаблон:Sfn. В 1997 году Гё Тэк Чин определилШаблон:Sfn число отрезков торического узла $\text{T}(p,q)$ для близких $p\text{и}q$:

• $\text{stick}(\text{T}(p,q))=2q$, если $2⩽p<q⩽2p$,
• $\text{stick}(\text{T}(r,r))=3r$, если $r⩾1$,
• $\text{stick}(\text{T}(r,2r))=4r-1$, если $r⩾1$.

Подобный результат, но для меньшей области параметров, примерно в то же время независимо получила исследовательская группа, возглавляемая Шаблон:Не переведено 5Шаблон:Sfn. Им, например, удалось доказать, что:

• $\text{stick}(\text{T}(r,r-1))=2r$, если $r⩾2$.

Если $K^n$ — произвольная связная сумма, состоящая из $n$ трилистников (не обязательно только левых или только правых), тоШаблон:Sfn:

$\text{stick}(K^n)=2n+4$.

Оценки

Прмер неточности приведённой оценки: на рисунке изображено представление прямого узла в виде ломаной, число звеньев которой равно $8$, однако, учитывая что прямой узел является связной суммой левого и правого трилистников, приведённая оценка даёт только $6+6-3=9$.

Число отрезков связной суммы узлов ограничено сверху суммой чисел отрезков слагаемых, а более точноШаблон:SfnШаблон:Sfn:

$\text{stick}(K_1\mathrm{\#}{K}_2)⩽\text{stick}(K_1)+\text{stick}(K_2)-3$.

Если $r$ и $s$ — взаимно простые целые числа, причем $2⩽r<s$, тоШаблон:Sfn:

$\text{stick}(\text{T}(r,s))⩾\text{min}\{4r,2s\}$.

Связанные инварианты

Число отрезков узла $K$ связано с его числом перекрёстков $\text{cr}(K)$ следующим неравенствомШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn:

$\frac{1}{2}(7+\sqrt{8\text{cr}(K)+1})⩽\text{stick}(K)\le \frac{3}{2}(\text{cr}(K)+1)$.

Литература

• Шаблон:Книга

• Шаблон:Книга

• Шаблон:Статья

• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья

• Шаблон:Статья

• Шаблон:Статья

Ссылки

• Шаблон:MathWorld
• «Stick numbers for minimal stick knots», KnotPlot Research and Development Site.
• Шаблон:Статья