Просмотр кода страницы Абу Бакр аль-Караджи

{{Ученый}}
'''Фахр ад-Дин Абу Бакр Мухаммад ибн аль-Хусайн аль-Караджи''' (или '''аль-Кархи''', {{lang-fa|ابوبکر محمد بن حسین کرجی}}, {{lang-en|Abū Bakr ibn Muhammad ibn al Husayn al-Karajī (or al-Karkhī)}}, [[953]] – [[1029]]) — [[Аббасидский халифат|аббасидский]] [[математик]], который первым описал [[биномиальные коэффициенты]] и структуру, известную в Европе как [[треугольник Паскаля]], за 600 лет до работы [[Паскаль, Блез|Блеза Паскаля]]<ref>{{Cite book|last=Selin|first=Helaine|title=Encyclopaedia of the History of Science, Technology, and Medicine in Non-Western Cultures|url=https://books.google.com/books?id=kt9DIY1g9HYC&q=al+karaji+pascal%27s+triangle&pg=PA132|publisher=Springer Science & Business Media|date=2008-03-12|page=132|isbn=9781402045592|language=en|bibcode=2008ehst.book.....S}}</ref><ref>{{Cite book|last=Rashed|first=Roshdi|title=The Development of Arabic Mathematics Between Arithmetic and Algebra|url=https://books.google.com/books?id=vSkClSvU_9AC&pg=PA63|page=63}}</ref><ref>{{Cite book|last1=Sidoli|first1=Nathan|last2=Brummelen|first2=Glen Van|title=From Alexandria, Through Baghdad: Surveys and Studies in the Ancient Greek and Medieval Islamic Mathematical Sciences in Honor of J.L. Berggren|url=https://books.google.com/books?id=kAjABAAAQBAJ&q=al+karaji+binomial+theorem&pg=PA54|publisher=Springer Science & Business Media|date=2013-10-30|page=54|isbn=9783642367366|language=en}}</ref>. Его работы сыграли большую роль в отделении алгебры от геометрии, что стало важным этапом в её развитии как самостоятельной дисциплины<ref name="mathhist" />.

По одной из версий Абу Бакр Мухаммад ибн аль-Хусайн является выходцем из города [[Кередж|Карадж]], по другой версии он родился в пригороде [[Багдад]]а, Кархе. В источниках можно встретить его упоминание как аль-Караджи, так и как аль-Кархи. Большую часть жизни учёный прожил в Багдаде, где и написал свои основные работы<ref name="mathhist">{{Cite web|url=https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Al-Karaji/|title=al-Karaji - Biography|lang=en|website=Maths History|access-date=2024-09-15|archive-date=2024-12-03|archive-url=https://web.archive.org/web/20241203120439/https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Al-Karaji/|url-status=live}}</ref>.

== Научные труды ==
{{См. также|Алгебра в исламском мире}}
=== «Книга об алгебре и алмукабале» ===
«Книга об алгебре и алмукабале», известная как «''al-Fakhri''» («Славный»), написанная около [[1010 год]]а, содержит учение об алгебраическом исчислении и об определённых и неопределённых уравнениях. Аль-Караджи оперирует не только квадратными, но и кубическими корнями, используя формулу для куба суммы и разности. Он даёт правила для определения суммы арифметической прогрессии, а также суммы квадратов и кубов последовательных чисел. Для суммы квадратов аль-Каражди приводит верную формулу, но сообщает, что доказать её правильность он не может. Для суммы кубов он приводит геометрическое доказательство.

==== Одночлены и многочлены ====

В этой книге он первым ввёл понятие [[моном]]ов (одночленов) <math>x, x^2, x^3, ...</math> и <math>1/x, 1/x^{2}, 1/x^{3}, ...</math>, а также дал правила произведения любых двух таких одночленов. Его достижение заключалось в том, что он определил произведение этих членов без ссылок на геометрию. Фактически, он почти дал общую формулу для этих произведений <math>x^nx^m=x^{n+m}</math> для всех целых <math>n</math> и <math>m</math>, но не дал определения <math>x^0=1</math> и <math>x^{-n}=1/x^n</math><ref name="mathhist"/>. В дальнейшем эти детали были добавлены его последователем [[Самуил Марокканский|аль-Самуалом]] (1130—1180)<ref>{{Cite web|url=https://www.encyclopedia.com/science/dictionaries-thesauruses-pictures-and-press-releases/al-samawal-ibn-yahya-al-maghribi|title=Al-Samaw’al, Ibn Yah?ya Al-Maghribi {{!}} Encyclopedia.com|website=www.encyclopedia.com|access-date=2024-09-16|quote=Al-Samaw‘al further applied the rules of subtraction to the multiplication and division of the powers of x, which he placed in a single line of both sides of the number 1, to which he assigned the rank zero. The other powers and other constants are displayed on each side of zero, in ascending order:

The rules of multiplication and division that al-Samaw‘al enunciated are, except for their notation, those still in use.|archive-date=2024-09-16|archive-url=https://web.archive.org/web/20240916121022/https://www.encyclopedia.com/science/dictionaries-thesauruses-pictures-and-press-releases/al-samawal-ibn-yahya-al-maghribi|url-status=live}}</ref>.

После установления правил умножения и деления одночленов аль-Караджи перешел к изучению их сумм. Он разработал правила для сложения, вычитания и умножения таких величин, однако не предоставил общее правило для деления составной величины. Вместо этого были предложены правила только для деления составной величины на одночлен. Кроме того, аль-Караджи сформулировал правило для извлечения квадратного корня из составной величины, которое, несмотря на ограничение лишь положительными коэффициентами, представляет собой значительное достижение<ref name="mathhist"/>.

==== Математические доказательства ====

Аль-Караджи также использует в своих доказательствах форму [[Математическая индукция|математической индукции]], хотя и не даёт строгого изложения принципа. Он доказывает случай для <math>n=1</math>, затем для <math>n=2</math>, основываясь на результате для <math>n=1</math>, и так далее, доходит до <math>n=5</math>, замечая, что этот процесс можно продолжать бесконечно. Хотя это ещё не полноценная математическая индукция, такой подход является важным шагом к пониманию индуктивных доказательств<ref name="mathhist"/>.

Аль-Караджи использует такую индукцию для [[бином Ньютона|биномиальной теоремы]], [[биномиальные коэффициенты|биномиальных коэффициентов]] и [[треугольник Паскаля|треугольника Паскаля]]<ref name="mathhist"/>.

:<math>(a+b)^n=\sum_{k=0}^n{n \choose k}a^kb^{n-k}</math>

Также с помощью неявной математической индукции он предоставил доказательство выражения <math>\sum i^3=(\sum i)^2</math><ref name="mathhist"/>.
{{quote|текст=Еще одна важная идея, введенная аль-Караджи и продолженная аль-Самуалом и другими, заключалась в использовании индуктивного аргумента для работы с определенными арифметическими последовательностями. Так, аль-Караджи использовал такой аргумент для доказательства формулы суммы целых кубов, которая уже была известна [[Ариабхата|Ариабхате]] <...> Однако аль-Караджи не утверждал общий результат для произвольного n. Он заявил свою теорему для конкретного числа 10 <...> Его доказательство, тем не менее, явно предназначалось для распространения на любое другое целое число. <...> Аргумент аль-Караджи по существу включает два основных компонента современного доказательства методом индукции, а именно истинность утверждения для <math>n=1</math> <math>(1=1^3)</math> и вывод истинности для <math>n=k</math> из истинности для <math>n=k-1</math>. Конечно, этот второй компонент не является явным, так как в некотором смысле аргумент аль-Караджи идет в обратном порядке; то есть он начинает с <math>n=10</math> и идет вниз до 1, а не поднимается вверх. Тем не менее, его аргумент в ''аль-Фахри'' является самым ранним сохранившимся доказательством формулы суммы целых кубов.|автор=[[Виктор Кац]]|источник=История Математики: Введение<ref>{{cite book|last=Katz|first=Victor J.|author=Victor J. Katz|year=1998|title=History of Mathematics: An Introduction |url=https://archive.org/details/historyofmathema00katz| publisher=[[Addison-Wesley]]|isbn=0-321-01618-1}}</ref>}}
Кроме того, аль-Караджи доказал формулу суммы [[ряд из натуральных чисел|ряда из натуральных чисел]] <math>\sum_{i=1}^ni=\frac{n(n+1)}{2}</math><ref name="mathhist"/>.

==== Источники и влияние ====
Его работа опиралась на утверждения [[Абу Камил]]я<ref name="Naini121ff">Naini: ''Geschichte der Zahlentheorie im Orient.'' S. 121 ff.</ref>. Также он изучал работы [[Диофант Александрийский|Диофанта]]. Аль-Караджи включил многие из его задач в свою книгу, а также предоставил свои собственные. Однако он не просто копировал работы своего предшественника, но пытался обобщить их и найти универсальные методы решения<ref name="mathhist"/>. Так, аль-Караджи разработал новые методы решения [[квадратное уравнение|квадратных уравнений]]<ref>Sezgīn: ''Geschichte des arabischen Schrifttums.'' Том 5, С. 43.</ref>, а также смог показать, что некоторые уравнения более высокой степени можно свести к квадратным уравнениям<ref>{{Книга|автор=Johannes Tropfke|заглавие=Geschichte der Elementarmathematik. 1: Arithmetik und Algebra|год=1980|издание=4. Aufl|место=Berlin|издательство=de Gruyter|страниц=742|isbn=978-3-11-004893-3}}</ref>.

Вторая часть работы содержит 254 задачи на определённые и неопределённые уравнения<ref name="Naini104">Naini: ''Geschichte der Zahlentheorie im Orient.'' С. 104.</ref>. Некоторые из этих задач были повторно использованы [[Леонардо Фибоначчи]], [[Леонардо да Винчи]] и [[Джероламо Кардано]] без указания автора<ref>Pieper: ''Heureka.'' С. 59–60.</ref><ref>Vogel: ''Ein unbestimmtes Problem al-Karaǧīs in Rechenbüchern des Abendlandes''</ref>.

=== «Книга о нахождении скрытых вод» === 
[[Файл:Inbāṭ al-miyāh al-khafīyah by Karaji.png|мини|Рукопись XVII-го века книги аль-Караджи XI-го века, «О нахождении скрытых вод»|338x338px]]
В «Книге о нахождении скрытых вод» аль-Караджи описывает методы рытья [[акведук]]ов, основываясь на собственном опыте и трудах предшественников. Точная дата написания неизвестна, но считается, что книга была создана после возвращения автора из [[Багдад]]а в [[Джибаль]], около 1010 года. Несмотря на научную ценность, книга была забыта, так как её читатели зачастую не обладали достаточным для этой работы уровнем научных знаний<ref name=":0">{{cite book|author=گوبلو|title=قنات: فنی برای دستیابی به آب|year=1992|page=|lang=fa}}</ref>.

В труде автор упоминает о [[Шарообразность Земли|шарообразности Земли]], а также концепции, схожие с законом [[гравитация|гравитации]] и законами равновесия и движения, которые позднее развили [[Галилео Галилей]], [[Иоганн Кеплер]] и [[Исаак Ньютон]]. Аль-Караджи рассматривает сферическую форму как условие достижения равновесия. Он полагает, что любое отклонение от этой формы вызывает движение, которое всегда направлено к центру и стремится восстановить сферичность. Поэтому он считает горы и неровности земной поверхности факторами, нарушающими равновесие движения Земли<ref>{{cite book|author=فرشاد|title=تاریخ مهندسی در ایران (از آغاز تا قرن حاضر)}}</ref>.

{{начало цитаты}}Земля имеет сферическую форму, несмотря на наличие гор, равнин, низменностей и возвышенностей. <...> Тяжелые объекты, такие как почва и вода, стремятся к центру Земли, причем чем тяжелее объект, тем сильнее его притяжение к этому центру. Это же правило действует и в отношении зданий и сооружений: находясь выше поверхности земли, они со временем разрушаются. Их разрушение — следствие центростремительного движения и шарообразности Земли.{{оригинальный текст|fa|زمین با تمام کوه‌ها و دشت‌ها و پستی‌ها و بلندی‌هایش کروی شکل است. خدا آن را مرکز عالم قرار داده‌است، که تا ابد با حرکت دائمی خود به گرد این مرکز می‌گردد، ولی مرتبتش بسیار اندک است. خدای تبارک و تعالی جهان را میان‌پر آفریده و خلأئی در میان آن نیست و برای هریک از افلاک و ستارگان و آتش و هوا و آب و خاک محلی خاص قرارداده است، که چون از آن جدا شود با حرکت دوباره به این محل بازمی‌گردد به همین جهت است که اجسام سنگین مانند خاک و آب خواستار رسیدن به این مرکزند و هرچه جسم سنگین‌تر باشد این میل به مرکز بیشتر است… و همچنین است حال بناها و مکان‌هایی که از سطح زمین بلندترند که فروافتادن و ویران شدن آن‌ها نتیجه همان مرکزطلبی آن‌ها و کرویت گونه زمین است.}}{{конец цитаты|источник=Аль-Караджи. «Книга о нахождении скрытых вод»}}

Впервые была опубликована в 1941 году на арабском языке в Исламском университете [[Хайдарабад (город, Индия)|Хайдарабад]]а. До этого существовало три рукописи, а в 1966 году появился перевод на персидский язык<ref name=":0" />.

=== «Достаточная книга об арифметике» ===
В трактате «Достаточная книга об арифметике» аль-Караджи даёт практическое руководство для вычислителей, уделяя особое внимание учению о дробях в его традиционной староарабской форме; десятичная индийская арифметика в этом сочинении не рассматривается. Несколько разделов этого трактата посвящены «исчислению алгебры и алмукабалы», которое ведётся в том же стиле, что и у [[аль-Хорезми]].

В секции «Об измерениях и весах для измерения зданий и сооружений» аль-Караджи определяет точки, прямые, плоскости, объёмные фигуры и углы. Он также даёт правила измерения как плоских, так и объёмных фигур, часто используя в качестве примеров [[арка|арки]]; и также даёт методы взвешивания различных веществ.

=== «Чудесное об арифметике» ===
Трактат «Чудесное об арифметике» состоит из трёх книг: «Об основных определениях», «О решении уравнений», «Введение в неопределённый анализ». В них, на чисто алгебраической основе, излагаются те вопросы, которые традиционно решались с помощью геометрических построений.

Один из разделов этого трактата он завершил формулировкой правила: 
: <math>\sqrt{\sqrt{A} \pm \sqrt{B}} = \sqrt{\frac{\sqrt{A} + \sqrt{A-B}}{2}} \pm \sqrt{\frac{\sqrt{A} - \sqrt{A-B}}{2}}</math>
Кроме квадратных корней, их суммы и разности, аль-Караджи также рассмотрел корни произвольных степеней и составленные из них выражения, предлагая читателю самому составлять иррациональности такого вида; более того, он сделал попытку найти уравнение, которому они удовлетворяют. Отмечая этот важнейший результат, немецкий историк математики Пол Люкей пишет: «Если бы у аль-Караджи нашлись последователи, которые продолжали бы работать дальше в том же духе, то кто-либо мог легко придти к мысли заменить в правой части приведенной формулы корни квадратные кубическими. Тогда получилось бы выражение, в основном совпадающее с так называемой [[формула Кардано|формулой Кардано]], и путем вычислений, которыми уже владел аль-Караджи, например разложением <math>(a+b)^3</math>, было бы показано, что это выражение есть решение кубического уравнения». Эта идея аль-Караджи получила развитие у европейских алгебраистов, творчество которых базировалось на восточном наследии<ref name="matv1967">''Матвиевская Г. П.'' Учение о числе на средневековом Ближнем и Среднем Востоке. — Ташкент: Фан, 1967.</ref>.

=== «Книга о сводах зданий» ===
Также аль-Караджи написал «Книгу о сводах зданий».

== Оценки ==
Историк математики [[Франц Вёпке]] высоко оценил Аль-Караджи как «первого, кто ввёл [[Теория|теорию]] алгебраического [[Математический анализ|исчисления]]»<ref>Woepcke, F. (1853). ''Extrait du Fakhri, traité d’Algèbre par Abou Bekr Mohammed Ben Alhacan Alkarkhi''. [[Париж]].</ref>.

== См. также ==

* [[Математика исламского Средневековья]]
* [[Аль-Хорезми]]
* [[Самуил Марокканский]]
* [[Абу Камил]]

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* Матвиевская Г. П. ''Учение о числе на средневековом Ближнем и Среднем Востоке''. Ташкент: Фан, 1967.
* Матвиевская Г. П., Розенфельд Б. А. ''Математики и астрономы мусульманского средневековья и их труды (VIII—XVII вв.).'' В 3 т. М.: Наука, 1983.

{{библиоинформация}}

{{DEFAULTSORT:Караджи}}

[[Категория:Математики по алфавиту]]
[[Категория:Математики средневекового Востока]]
[[Категория:Математики XI века]]
[[Категория:Математики и астрономы мусульманского Средневековья]]
[[Категория:Персоналии Аббасидского халифата X века]]
[[Категория:Персоналии Аббасидского халифата XI века]]