Абу Бакр аль-Караджи

Шаблон:Ученый Фахр ад-Дин Абу Бакр Мухаммад ибн аль-Хусайн аль-Караджи (или аль-Кархи, Шаблон:Lang-fa, Шаблон:Lang-en, 953 – 1029) — аббасидский математик, который первым описал биномиальные коэффициенты и структуру, известную в Европе как треугольник Паскаля, за 600 лет до работы Блеза Паскаля. Его работы сыграли большую роль в отделении алгебры от геометрии, что стало важным этапом в её развитии как самостоятельной дисциплины.

По одной из версий Абу Бакр Мухаммад ибн аль-Хусайн является выходцем из города Карадж, по другой версии он родился в пригороде Багдада, Кархе. В источниках можно встретить его упоминание как аль-Караджи, так и как аль-Кархи. Большую часть жизни учёный прожил в Багдаде, где и написал свои основные работы.

Научные труды

«Книга об алгебре и алмукабале»

«Книга об алгебре и алмукабале», известная как «al-Fakhri» («Славный»), написанная около 1010 года, содержит учение об алгебраическом исчислении и об определённых и неопределённых уравнениях. Аль-Караджи оперирует не только квадратными, но и кубическими корнями, используя формулу для куба суммы и разности. Он даёт правила для определения суммы арифметической прогрессии, а также суммы квадратов и кубов последовательных чисел. Для суммы квадратов аль-Каражди приводит верную формулу, но сообщает, что доказать её правильность он не может. Для суммы кубов он приводит геометрическое доказательство.

Одночлены и многочлены

В этой книге он первым ввёл понятие мономов (одночленов) $x,x^2,x^3,...$ и $1/x,1/x^2,1/x^3,...$, а также дал правила произведения любых двух таких одночленов. Его достижение заключалось в том, что он определил произведение этих членов без ссылок на геометрию. Фактически, он почти дал общую формулу для этих произведений $x^n{x}^m=x^{n+m}$ для всех целых $n$ и $m$, но не дал определения $x^0=1$ и $x^{-n}=1/x^n$. В дальнейшем эти детали были добавлены его последователем аль-Самуалом (1130—1180).

После установления правил умножения и деления одночленов аль-Караджи перешел к изучению их сумм. Он разработал правила для сложения, вычитания и умножения таких величин, однако не предоставил общее правило для деления составной величины. Вместо этого были предложены правила только для деления составной величины на одночлен. Кроме того, аль-Караджи сформулировал правило для извлечения квадратного корня из составной величины, которое, несмотря на ограничение лишь положительными коэффициентами, представляет собой значительное достижение.

Математические доказательства

Аль-Караджи также использует в своих доказательствах форму математической индукции, хотя и не даёт строгого изложения принципа. Он доказывает случай для $n=1$, затем для $n=2$, основываясь на результате для $n=1$, и так далее, доходит до $n=5$, замечая, что этот процесс можно продолжать бесконечно. Хотя это ещё не полноценная математическая индукция, такой подход является важным шагом к пониманию индуктивных доказательств.

Аль-Караджи использует такую индукцию для биномиальной теоремы, биномиальных коэффициентов и треугольника Паскаля.

$(a+b{)}^n=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})a^k{b}^{n-k}$

Также с помощью неявной математической индукции он предоставил доказательство выражения $\sum i^3=(\sum i{)}^2$. Шаблон:Quote Кроме того, аль-Караджи доказал формулу суммы ряда из натуральных чисел $\sum _{i=1}^{n}i=\frac{n(n+1)}{2}$.

Источники и влияние

Его работа опиралась на утверждения Абу Камиля. Также он изучал работы Диофанта. Аль-Караджи включил многие из его задач в свою книгу, а также предоставил свои собственные. Однако он не просто копировал работы своего предшественника, но пытался обобщить их и найти универсальные методы решения. Так, аль-Караджи разработал новые методы решения квадратных уравнений, а также смог показать, что некоторые уравнения более высокой степени можно свести к квадратным уравнениям.

Вторая часть работы содержит 254 задачи на определённые и неопределённые уравнения. Некоторые из этих задач были повторно использованы Леонардо Фибоначчи, Леонардо да Винчи и Джероламо Кардано без указания автора.

«Книга о нахождении скрытых вод»

Рукопись XVII-го века книги аль-Караджи XI-го века, «О нахождении скрытых вод»

В «Книге о нахождении скрытых вод» аль-Караджи описывает методы рытья акведуков, основываясь на собственном опыте и трудах предшественников. Точная дата написания неизвестна, но считается, что книга была создана после возвращения автора из Багдада в Джибаль, около 1010 года. Несмотря на научную ценность, книга была забыта, так как её читатели зачастую не обладали достаточным для этой работы уровнем научных знаний.

В труде автор упоминает о шарообразности Земли, а также концепции, схожие с законом гравитации и законами равновесия и движения, которые позднее развили Галилео Галилей, Иоганн Кеплер и Исаак Ньютон. Аль-Караджи рассматривает сферическую форму как условие достижения равновесия. Он полагает, что любое отклонение от этой формы вызывает движение, которое всегда направлено к центру и стремится восстановить сферичность. Поэтому он считает горы и неровности земной поверхности факторами, нарушающими равновесие движения Земли.

Шаблон:Начало цитатыЗемля имеет сферическую форму, несмотря на наличие гор, равнин, низменностей и возвышенностей. <...> Тяжелые объекты, такие как почва и вода, стремятся к центру Земли, причем чем тяжелее объект, тем сильнее его притяжение к этому центру. Это же правило действует и в отношении зданий и сооружений: находясь выше поверхности земли, они со временем разрушаются. Их разрушение — следствие центростремительного движения и шарообразности Земли.Шаблон:Оригинальный текстШаблон:Конец цитаты

Впервые была опубликована в 1941 году на арабском языке в Исламском университете Хайдарабада. До этого существовало три рукописи, а в 1966 году появился перевод на персидский язык.

«Достаточная книга об арифметике»

В трактате «Достаточная книга об арифметике» аль-Караджи даёт практическое руководство для вычислителей, уделяя особое внимание учению о дробях в его традиционной староарабской форме; десятичная индийская арифметика в этом сочинении не рассматривается. Несколько разделов этого трактата посвящены «исчислению алгебры и алмукабалы», которое ведётся в том же стиле, что и у аль-Хорезми.

В секции «Об измерениях и весах для измерения зданий и сооружений» аль-Караджи определяет точки, прямые, плоскости, объёмные фигуры и углы. Он также даёт правила измерения как плоских, так и объёмных фигур, часто используя в качестве примеров арки; и также даёт методы взвешивания различных веществ.

«Чудесное об арифметике»

Трактат «Чудесное об арифметике» состоит из трёх книг: «Об основных определениях», «О решении уравнений», «Введение в неопределённый анализ». В них, на чисто алгебраической основе, излагаются те вопросы, которые традиционно решались с помощью геометрических построений.

Один из разделов этого трактата он завершил формулировкой правила:

$\sqrt{\sqrt{A}\pm \sqrt{B}}=\sqrt{\frac{\sqrt{A}+\sqrt{A-B}}{2}}\pm \sqrt{\frac{\sqrt{A}-\sqrt{A-B}}{2}}$

Кроме квадратных корней, их суммы и разности, аль-Караджи также рассмотрел корни произвольных степеней и составленные из них выражения, предлагая читателю самому составлять иррациональности такого вида; более того, он сделал попытку найти уравнение, которому они удовлетворяют. Отмечая этот важнейший результат, немецкий историк математики Пол Люкей пишет: «Если бы у аль-Караджи нашлись последователи, которые продолжали бы работать дальше в том же духе, то кто-либо мог легко придти к мысли заменить в правой части приведенной формулы корни квадратные кубическими. Тогда получилось бы выражение, в основном совпадающее с так называемой формулой Кардано, и путем вычислений, которыми уже владел аль-Караджи, например разложением $(a+b{)}^3$, было бы показано, что это выражение есть решение кубического уравнения». Эта идея аль-Караджи получила развитие у европейских алгебраистов, творчество которых базировалось на восточном наследии.

«Книга о сводах зданий»

Также аль-Караджи написал «Книгу о сводах зданий».

Оценки

Историк математики Франц Вёпке высоко оценил Аль-Караджи как «первого, кто ввёл теорию алгебраического исчисления».

См. также

• Математика исламского Средневековья
• Аль-Хорезми
• Самуил Марокканский
• Абу Камил

Литература

• Матвиевская Г. П. Учение о числе на средневековом Ближнем и Среднем Востоке. Ташкент: Фан, 1967.
• Матвиевская Г. П., Розенфельд Б. А. Математики и астрономы мусульманского средневековья и их труды (VIII—XVII вв.). В 3 т. М.: Наука, 1983.