Квадратное уравнение

Квадра́тное уравне́ние — алгебраическое уравнение второй степени с общим видом

$a{x}^2+bx+c=0,a\ne 0,$

в котором $x$ — неизвестное, а коэффициенты $a$, $b$ и $c$ — вещественные или комплексные числа.

Выражение ax² + bx + c называется квадратным трёхчленом. Корень уравнения $a{x}^2+bx+c=0$ — это значение неизвестного $x$, обращающее квадратный трёхчлен в ноль, а квадратное уравнение в верное числовое равенство. Также это значение называется корнем самого многочлена $a{x}^2+bx+c$.

Элементы квадратного уравнения имеют собственные названияШаблон:Sfn:

• $a$ называют первым или старшим коэффициентом,
• $b$ называют вторым, средним коэффициентом или коэффициентом при $x$,
• $c$ называют свободным коэффициентом.

Приведённым называют квадратное уравнение, в котором старший коэффициент равен единицеШаблон:Sfn. Такое уравнение может быть получено делением всего выражения на старший коэффициент $a$:

$x^2+px+q=0,p=\frac{b}{a},q=\frac{c}{a}.$

Полным называют такое квадратное уравнение, все коэффициенты которого отличны от нуля.

Неполным называется такое квадратное уравнение, в котором хотя бы один из коэффициентов, кроме старшего (либо второй коэффициент, либо свободный член), равен нулю.

Квадратное уравнение является разрешимым в радикалах, то есть его корни могут быть выражены через коэффициенты в общем виде.

Исторические сведения о квадратных уравнениях

Древний Вавилон

Уже во втором тысячелетии до нашей эры вавилоняне знали, как решать квадратные уравненияШаблон:Sfn. Решение их в Древнем Вавилоне было тесно связано с практическими задачами, в основном такими, как измерение площади земельных участков, земельные работы, связанные с военными нуждами; наличие этих познаний также обусловлено развитием математики и астрономии вообще. Были известны способы решения как полных, так и неполных квадратных уравнений. Приведём примеры квадратных уравнений, решавшихся в Древнем Вавилоне, используя современную алгебраическую запись:

$x^2+x=\frac{3}{4};x^2-x=14\frac{1}{2}.$

Правила решения квадратных уравнений во многом аналогичны современным, однако в вавилонских текстах не зафиксированы рассуждения, путём которых эти правила были получены.

Индия

Задачи, решаемые с помощью квадратных уравнений, встречаются в трактате по астрономии «Ариабхаттиам», написанном индийским астрономом и математиком Ариабхатой в 499 году нашей эры. Один из первых известных выводов формулы корней квадратного уравнения принадлежит индийскому учёному Брахмагупте (около 598 г.)Шаблон:Sfn; Брахмагупта изложил универсальное правило решения квадратного уравнения, приведённого к каноническому виду: $a{x}^2+bx=c;$ притом предполагалось, что в нём все коэффициенты, кроме $a,$ могут быть отрицательными. Сформулированное учёным правило по своему существу совпадает с современным.

Корни квадратного уравнения на множестве действительных чисел

I способ. Общая формула для вычисления корней с помощью дискриминанта

Дискриминантом квадратного уравнения $a{x}^2+bx+c=0$ называется величина $𝒟=b^2-4ac$.

Условие	$𝒟>0$	$𝒟=0$	$𝒟<0$
Количество корней	Два корня	Один корень кратности 2 (другими словами, два равных корня)	Действительных корней нет
Формула	$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{𝒟}}{2a}$Шаблон:Nbsp(1)	$x=-\frac{b}{2a}$	—

Следствия:

• трёхчлен $a{x}^2+bx+c$ есть полный квадрат суммы или разности в том и только в том случае, если $𝒟=0$;
• Дискриминант можно найти по формуле: $𝒟=a^2{(x_{+}-x_{-})}^2$;
• $x_{\pm }=\frac{2c}{-b\mp \sqrt{𝒟}}$.

Данный метод универсальный, однако не единственный.

II способ. Корни квадратного уравнения при чётном коэффициенте b

Для уравнений вида $a{x}^2+2kx+c=0$, то есть при чётном $b$, где

$k=\frac{1}{2}b,$

вместо формулы (1) для нахождения корней существует возможность использования более простых выраженийШаблон:Sfn.

Примечание: данные ниже формулы можно получить, подставив в стандартные формулы выражение b = 2k, через несложные преобразования.

Дискриминант		Корни
неприведённое	приведённое	Шаблон:S	неприведённое	приведённое
удобнее вычислять значение четверти дискриминанта: $\frac{𝒟}{4}=k^2-ac$ Все необходимые свойства при этом сохраняются.	$\frac{𝒟}{4}=k^2-c$.		$x_{1,2}=\frac{-k\pm \sqrt{k^2-ac}}{a}.$	$x_{1,2}=-k\pm \sqrt{k^2-c}$
		Шаблон:S	$x=\frac{-k}{a}$	$x=-k$

III способ. Решение неполных квадратных уравнений

К решению неполных квадратных уравнений практикуется особый подход. Рассматриваются три возможных ситуации.

Шаблон:S, Шаблон:S	b=0; c≠0	b≠0; c=0
$\begin{array}{cc}a{x}^2& =0,\\ x^2& =0,\\ x& =0.\end{array}$ (процесс преобразования специально показан подробно, на практике можно сразу переходить к последнему равенству)	$\begin{array}{cc}a{x}^2+c& =0,\\ a{x}^2& =-c,\\ x^2& =-\frac{c}{a},\\ x_{1,2}& =\pm \sqrt{-\frac{c}{a}}.\end{array}$Если $-\frac{c}{a}>0$, то уравнение имеет два действительных корня (разных по знаку), a если $-\frac{c}{a}<0$, то уравнение не имеет действительных корней.	$\begin{array}{cc}a{x}^2+bx& =0,\\ x(ax+b)& =0,\end{array}$ $x=0$ или $ax+b=0,$$x_1=0,x_2=-\frac{b}{a}.$ Такое уравнение обязательно имеет два действительных корня, причём один из них всегда равен нулю.

IV способ. Использование частных соотношений коэффициентов

Существуют частные случаи квадратных уравнений, в которых коэффициенты находятся в соотношениях между собой, позволяющих решать их гораздо проще.

Корни квадратного уравнения, в котором сумма старшего коэффициента и свободного члена равна второму коэффициенту

Если в квадратном уравнении $a{x}^2+bx+c=0$ сумма первого коэффициента и свободного члена равна второму коэффициенту: $a+c=b$, то его корнями являются $-1$ и число, противоположное отношению свободного члена к старшему коэффициенту ($-\frac{c}{a}$).

Отсюда следует, что перед решением какого-либо квадратного уравнения целесообразна проверка возможности применения к нему этой теоремы: сравнить сумму старшего коэффициента и свободного члена со вторым коэффициентом.

Корни квадратного уравнения, сумма всех коэффициентов которого равна нулю

Если в квадратном уравнении сумма всех его коэффициентов равна нулю ($a+b+c=0$), то корнями такого уравнения являются $1$ и отношение свободного члена к старшему коэффициенту ($\frac{c}{a}$).

Отсюда следует, что перед решением уравнения стандартными методами целесообразна проверка применимости к нему этой теоремы, а именно сложение всех коэффициентов данного уравнения и установление, не равна ли нулю эта сумма.

V способ. Разложение квадратного трёхчлена на линейные множители

Если трёхчлен вида $a{x}^2+bx+c(a=0)$ удастся каким-либо образом представить в качестве произведения линейных множителей $(kx+m)(lx+n)=0$, то можно найти корни уравнения $a{x}^2+bx+c=0$ — ими будут $-\frac{m}{k}$ и $-\frac{n}{l}$, действительно, ведь $(kx+m)(lx+n)=0⟺[\begin{array}{c}kx+m=0,\\ lx+n=0,\end{array}$ а решив указанные линейные уравнения, получим вышеописанное. Квадратный трёхчлен не всегда раскладывается на линейные множители с действительными коэффициентами: это возможно, если соответствующее ему уравнение имеет действительные корни.

Рассматриваются некоторые частные случаи.

Использование формулы квадрата суммы (разности)

Если квадратный трёхчлен имеет вид $(ax{)}^2+2abx+b^2$, то применив к нему названную формулу, можно разложить его на линейные множители и, значит, найти корни:

$(ax{)}^2+2abx+b^2=(ax+b{)}^2,$

$(ax+b{)}^2=0,$

$x=-\frac{b}{a}.$

Выделение полного квадрата суммы (разности)

Также названную формулу применяют, пользуясь методом, получившим названия «выделение полного квадрата суммы (разности)». Применительно к приведённому квадратному уравнению с введёнными ранее обозначениями, это означает следующее:

1. прибавляют и отнимают одно и то же число:
   $x^2+px+(\frac{p}{2}{)}^2-(\frac{p}{2}{)}^2+q=0;$.
2. применяют формулу к полученному выражению, переносят вычитаемое и свободный член в правую часть:
   $(x^2+2\frac{p}{2}x+(\frac{p}{2}{)}^2)+(-(\frac{p}{2}{)}^2+q)=0,$
   $(x+\frac{p}{2}{)}^2=\frac{p^2}{4}-q;$
3. извлекают из левой и правой частей уравнения квадратный корень и выражают переменную:
   $x+\frac{p}{2}=\pm \sqrt{\frac{p^2}{4}-q},$
   $x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm \sqrt{\frac{p^2}{4}-q}.$

Примечание: данная формула совпадает с предлагаемой в разделе «Корни приведённого квадратного уравнения», которую, в свою очередь, можно получить из общей формулы (1) путём подстановки равенства Шаблон:S. Этот факт не просто совпадение: описанным методом, произведя, правда, некоторые дополнительные рассуждения, можно вывести и общую формулу, а также доказать свойства дискриминанта.

VI способ. Использование прямой и обратной теоремы Виета

Прямая теорема Виета (см. ниже) и обратная ей теорема позволяют решать приведённые квадратные уравнения устно, не прибегая к вычислениям по формуле (1).

Согласно обратной теореме, всякая пара чисел (число) $x_1,x_2$, будучи решением системы уравнений

$\{\begin{array}{c}{x}_1+x_2=-p,\\ x_1{x}_2=q,\end{array}$

являются корнями уравнения $x^2+px+q=0$.

Подобрать устно числа, удовлетворяющие этим уравнениям, поможет прямая теорема. С её помощью можно определить знаки корней, не зная сами корни. Для этого следует руководствоваться правилом:

1) если свободный член отрицателен, то корни имеют различный знак, и наибольший по модулю из корней — знак, противоположный знаку второго коэффициента уравнения;

2) если свободный член положителен, то оба корня обладают одинаковым знаком, и это — знак, противоположный знаку второго коэффициента.

VII способ. Метод «переброски»

По своей сущности метод «переброски» является просто модификацией теоремы Виета.

Метод «переброски» — это сведение уравнения, которое нельзя привести так, чтобы все коэффициенты остались целыми, к приведённому уравнению с целыми коэффициентами:

1) умножаем обе части на старший коэффициент:

$a{x}^2+bx+c=0\mid \cdot a,$

$(ax{)}^2+b(ax)+ac=0;$

2) заменяем $y=ax:$

$y^2+by+ac=0.$

Далее решаем уравнение относительно $y$ по методу, описанному выше, и находим $x=\frac{y}{a}$.

Графическое решение квадратного уравнения

Графиком квадратичной функции является парабола. Решениями (корнями) квадратного уравнения называют абсциссы точек пересечения параболы с осью абсцисс. Если парабола, описываемая квадратичной функцией, не пересекается с осью абсцисс, уравнение не имеет вещественных корней. Если парабола пересекается с осью абсцисс в одной точке (в вершине параболы), уравнение имеет один вещественный корень (также говорят, что уравнение имеет два совпадающих корня). Если парабола пересекает ось абсцисс в двух точках, уравнение имеет два вещественных корня (см. изображение справа.)

Если коэффициент $a$ положительный, ветви параболы направлены вверх и наоборот. Если коэффициент $b$ положительный (при положительном $a$, при отрицательном наоборот), то вершина параболы лежит в левой полуплоскости и наоборот.

Графический способ решения квадратных уравнений

Помимо универсального способа, описанного выше, существует так называемый графический способ. В общем виде этот способ решения рационального уравнения вида $f(x)=g(x)$ заключается в следующем: в одной системе координат строят графики функций $y=f(x)$ и $y=g(x)$ и находят абсциссы общих точек этих графиков; найденные числа и будут корнями уравнения.

Есть всего пять основных способов графического решения квадратных уравнений.

Приём I

Для решения квадратного уравнения $a{x}^2+bx+c=0$ строится график функции $y=a{x}^2+bx+c$ и отыскиваются абсциссы точек пересечения такого графика с осью $x$.

Приём II

Для решения того же уравнения этим приёмом уравнение преобразуют к виду $a{x}^2=-bx-c$ и строят в одной системе координат графики квадратичной функции $y=a{x}^2$ и линейной функции $y=-bx-c$, затем находят абсциссу точек их пересечения.

Приём III

Данный приём подразумевает преобразование исходного уравнения к виду $a(x+l{)}^2+m=0$, используя метод выделения полного квадрата суммы (разности) и затем в $a(x+l{)}^2=-m$. После этого строятся график функции $y=a(x+l{)}^2$ (им является график функции $y=a{x}^2$, смещённый на $|l|$ единиц масштаба вправо или влево в зависимости от знака) и прямую $y=-m$, параллельную оси абсцисс. Корнями уравнения будут абсциссы точек пересечения параболы и прямой.

Приём IV

Квадратное уравнение преобразуют к виду $a{x}^2+c=-bx$, строят график функции $y=a{x}^2+c$ (им является график функции $y=a{x}^2$, смещённый на $c$ единиц масштаба вверх, если этот коэффициент положителен, либо вниз, если он отрицателен), и $y=-bx$, находят абсциссы их общих точек.

Приём V

Квадратное уравнение преобразуют к особому виду:

$\frac{a{x}^2}{x}+\frac{bx}{x}+\frac{c}{x}=\frac{0}{x};$

$ax+b+\frac{c}{x}=0;$

затем

$ax+b=-\frac{c}{x}.$

Совершив преобразования, строят графики линейной функции $y=ax+b$ и обратной пропорциональности $y=-\frac{c}{x};(c=0)$, отыскивают абсциссы точек пересечения этих графиков. Этот приём имеет границу применимости: если $c=0$, то приём не используется.

Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки

Описанные выше приёмы графического решения имеют существенные недостатки: они достаточно трудоёмки, при этом точность построения кривых — парабол и гипербол — низка. Указанные проблемы не присущи предлагаемому ниже методу, предполагающему относительно более точные построения циркулем и линейкой.

Чтобы произвести такое решение, нужно выполнить нижеследующую последовательность действий.

1. Построить в системе координат $Oxy$ окружность с центром в точке $S(-\frac{b}{2a};\frac{a+c}{2a})$, пересекающую ось $Oy$ в точке $C(0;1)$.
2. Далее возможны три случая:
   • длина радиуса окружности превышает длину перпендикуляра к оси абсцисс, опущенного из точки $S$: в этом случае окружность пересекает ось $Ox$ в двух точках, а уравнение имеет два действительных корня, равных абсциссам этих точек;
   • радиус равен перпендикуляру: одна точка и один вещественный корень кратности 2;
   • радиус меньше перпендикуляра: корней в множестве $ℝ$ нет.

Корни квадратного уравнения на множестве комплексных чисел

Уравнение с действительными коэффициентами

Квадратное уравнение с вещественными коэффициентами $a,b,c$ всегда имеет с учётом кратности два комплексных корня, о чём гласит основная теорема алгебры. При этом, в случае неотрицательного дискриминанта корни будут вещественными, а в случае отрицательного — комплексно-сопряжёнными:

• при $𝒟>0$ уравнение будет иметь два вещественных корня:

  $x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{𝒟}}{2a};$

• при $𝒟=0$ — один корень кратности 2 (другими словами, два одинаковых корня):

  $x=-\frac{b}{2a};$

• при $𝒟<0$ — два комплексно-сопряжённых корня, выражающихся той же формулой, что и для положительного дискриминанта. Также её можно переписать так, чтобы она не содержала отрицательного подкоренного выражения, следующим образом:

  $x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{𝒟}}{2a}=\frac{-b\pm i\sqrt{|𝒟|}}{2a}.$

Уравнение с комплексными коэффициентами

В комплексном случае квадратное уравнение решается по той же формуле (1) и указанным выше её вариантам, но различимыми являются только два случая: нулевого дискриминанта (один двукратный корень) и ненулевого (два корня единичной кратности).

Корни приведённого квадратного уравнения

Квадратное уравнение вида $x^2+px+q=0,$ в котором старший коэффициент $a$ равен единице, называют приведённым. В этом случае формула для корней (1) упрощается до

$x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm \sqrt{{\left(\frac{p}{2}\right)}^2-q}.$

Мнемонические правила:

• Из «Радионяни»:

Шаблон:Начало цитаты «Минус» напишем сначала,
Рядом с ним p пополам,
«Плюс-минус» знак радикала,
С детства знакомого нам.
Ну, а под корнем, приятель,
Сводится всё к пустяку:
p пополам и в квадрате
Минус прекрасное q. Шаблон:Конец цитаты

• Из «Радионяни» (второй вариант):

Шаблон:Начало цитаты p, со знаком взяв обратным,
На два мы его разделим,
И от корня аккуратно
Знаком «минус-плюс» отделим.
А под корнем очень кстати
Половина p в квадрате
Минус q — и вот решенья,
То есть корни уравненья. Шаблон:Конец цитаты

• Из «Радионяни» (третий вариант на мотив Подмосковных вечеров):

Шаблон:Начало цитаты Чтобы x найти к половине p,
Взятой с минусом не забудь,
Радикал приставь с плюсом минусом,
Аккуратно, не как-нибудь.
А под ним квадрат половины p,
Ты, убавь на q и конец,
Будет формула приведенная,
Рассуждений твоих венец.
Будет формула приведенная,
Рассуждений твоих венец.
Шаблон:Конец цитаты

Теорема Виета

Формулировка для приведённого квадратного уравнения

Сумма корней приведённого квадратного уравнения

$x^2+px+q=0$

(вещественных или комплексных) равна второму коэффициенту

$p$

, взятому с противоположным знаком, а произведение этих корней — свободному члену

$q$

:

$x_1+x_2=-p,x_1{x}_2=q.$

С его помощью приведённые уравнения можно решать устно:Шаблон:Скрытый

Для неприведённого квадратного уравнения

В общем случае, то есть для неприведённого квадратного уравнения $a{x}^2+bx+c=0:$

$\{\begin{array}{c}{x}_1+x_2=-b/a,\\ x_1{x}_2=c/a.\end{array}$

На практике (следуя методу «переброски») для вычисления корней применяется модификация теорема Виета:

$\{\begin{array}{cc}{x}_1+x_2=-b/a& \mid \cdot a,\\ x_1{x}_2=c/a& \mid \cdot a^2;\end{array}$

$\{\begin{array}{c}(a{x}_1)+(a{x}_2)=-b,\\ (a{x}_1)(a{x}_2)=ac,\end{array}$

по которой можно устно находить ax₁, ax₂, а оттуда — сами корни:

Шаблон:СкрытыйНо у некоторых неприведённых уравнений корни можно устно угадать даже по стандартной теореме Виета:Шаблон:Скрытый

Разложение квадратного трёхчлена на множители и теоремы, следующие из этого

Если известны оба корня квадратного трёхчлена, его можно разложить по формуле

$a{x}^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$ (2)

Доказательство

Для доказательства этого утверждения воспользуемся теоремой Виета. Согласно этой теореме, корни $x_1$ и $x_2$ квадратного уравнения $a{x}^2+bx+c=0$ образуют соотношения с его коэффициентами: $x_1+x_2=-\frac{b}{a},x_1{x}_2=\frac{c}{a}$. Подставим эти соотношения в квадратный трёхчлен:

$\begin{array}{cc}a{x}^2+bx+c& =a(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a})=a(x^2-(x_1+x_2)x+x_1{x}_2)=\\ & =a(x^2-x_{1}x-x_{2}x+x_1{x}_2)=a(x(x-x_1)-x_2(x-x_1))\\ & =a(x-x_1)(x-x_2).\end{array}$

В случае нулевого дискриминанта это соотношение становится одним из вариантов формулы квадрата суммы или разности.

Из формулы (2) имеются два важных следствия:

Следствие 1

Если квадратный трёхчлен раскладывается на линейные множители с вещественными коэффициентами, то он имеет вещественные корни.

Доказательство

Пусть $a{x}^2+bx+c=(kx+m)(nx+l)$. Тогда, переписав это разложение, получим:

$(kx+m)(nx+l)=k(x+\frac{m}{k})n(x+\frac{l}{n})=kn(x-(-\frac{m}{k}))(x-(-\frac{l}{n}))$.

Сопоставив полученное выражение с формулой (2), находим, что корнями такого трёхчлена являются $-\frac{m}{k}$ и $-\frac{l}{n}$. Так как коэффициенты вещественны, то и числа, противоположные их отношениям также являются элементами множества $ℝ$.

Следствие 2

Если квадратный трёхчлен не имеет вещественных корней, то он не раскладывается на линейные множители с вещественными коэффициентами.

Доказательство

Действительно, если мы предположим противное (что такой трёхчлен раскладывается на линейные множители), то, согласно следствию 1, он имеет корни в множестве $ℝ$, что противоречит условию, а потому наше предположение неверно, и такой трёхчлен не раскладывается на линейные множители.

Для квадратичной функции:
f (x) = x² − x − 2 = (x + 1)(x − 2) действительной переменной x, x — координаты точки, где график пересекает ось абсцисс, x = −1 и x = 2, являются решениями квадратного уравнения: x² − x − 2 = 0.

Уравнения, сводящиеся к квадратным

Алгебраические

Уравнение вида $a\cdot f^2(x)+b\cdot f(x)+c=0$ является уравнением, сводящимся к квадратному.

В общем случае оно решается методом введения новой переменной, то есть заменой $f(x)=t,t\in ℰ(f),$ где $ℰ$ — множество значений функции $f$, c последующим решением квадратного уравнения $a\cdot t^2+b\cdot t+c=0$.

Также при решении можно обойтись без замены, решив совокупность двух уравнений:

$f(x)=\frac{-b-\sqrt{b^2-4\cdot a\cdot c}}{2a}$ и

$f(x)=\frac{-b+\sqrt{b^2-4\cdot a\cdot c}}{2a}$

К примеру, если $f(x)=x^2$, то уравнение принимает вид:

$a{x}^4+b{x}^2+c=0.$

Такое уравнение 4-й степени называется биквадратнымШаблон:Sfn.

С помощью замены

$y=x+\frac{k}{x}$

к квадратному уравнению сводится уравнение

$a{x}^4+b{x}^3+c{x}^2+kbx+k^{2}a=0,$

известное как возвратное или обобщённо-симметрическое уравнениеШаблон:Sfn.

Дифференциальные

Линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами второго порядка

$y^{″}+p{y}^{\prime }+qy=0$

подстановкой $y=e^{kx}$ сводится к характеристическому квадратному уравнению:

$k^2+pk+q=0$

Если решения этого уравнения $k_1$ и $k_2$ не равны друг другу, то общее решение имеет вид:

$y=A{e}^{k_{1}x}+B{e}^{k_{2}x}$, где $A$ и $B$ — произвольные постоянные.

Для комплексных корней $k_{1,2}=k_r\pm k_{i}i$ можно переписать общее решение, используя формулу Эйлера:

$y=e^{k_{r}x}(A\cos k_{i}x+B\sin k_{i}x)=C{e}^{k_{r}x}\cos (k_{i}x+\phi ),$

где A, B, C, φ — любые постоянные. Если решения характеристического уравнения совпадают $k_1=k_2=k$, общее решение записывается в виде:

$y=Ax{e}^{kx}+B{e}^{kx}$

Уравнения такого типа часто встречаются в самых разнообразных задачах математики и физики, например, в теории колебаний или теории цепей переменного тока.

Литература

• Шаблон:Книга

Ссылки

• Шаблон:MathWorld3
• Вывод формулы корней полного квадратного уравнения. Решение приведённых квадратных уравнений и уравнений с чётным вторым коэффициентом Шаблон:Wayback / Фестиваль педагогических идей «Открытый урок».
• Математические методы