Линейная функция

Примеры линейных функций.

Линейная функция — функция вида

$y=kx+b$ (для функций одной переменной).

Основное свойство линейных функций: приращение функции пропорционально приращению аргумента. То есть функция является обобщением прямой пропорциональности.

Графиком линейной функции является прямая, с чем и связано её название. Это касается вещественной функции одной вещественной переменной.

• В случаях $b=0$ линейные функции называются однородными (это в сущности синоним прямой пропорциональности), в отличие от $b\ne 0$ — неоднородных линейных функций.

Свойства

• $k$ (угловой коэффициент прямой) является тангенсом угла $\alpha \in [0;\frac{\pi }{2})\cup (\frac{\pi }{2};\pi ),$ который прямая образует с положительным направлением оси абсцисс, и может быть найден по формуле $k=\mathrm{t}\mathrm{g}\alpha =\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}$.
• При $k>0$, прямая образует острый угол с положительным направлением оси абсцисс.
• При $k<0$, прямая образует тупой угол с положительным направлением оси абсцисс.
• При $k=0$, прямая параллельна оси абсцисс.

Угол между двумя прямыми, задаваемыми уравнениями $y=k_{1}x+b_1,$ и $y=k_{2}x+b_2,$ определяется равенством: $\mathrm{t}\mathrm{g}\alpha =\left|\frac{k_1-k_2}{1+k_1{k}_2}\right|,$ где $k_1{k}_2\ne -1,$ то есть прямые не являются взаимно перпендикулярными; при $k_1=k_2,\alpha =0$ и прямые параллельны.

• $b$ является показателем ординаты точки пересечения прямой с осью ординат.
• При $b=0$, прямая проходит через начало координат.

Линейная функция монотонна и невыпукла на всей области определения $(ℝ)$, производная $f^{\prime }(x)$ и первообразная $F(x)$ функции $f(x)=kx+b$ запишутся:

• $f^{\prime }(x)=k$
• $F(x)=\frac{k{x}^2}{2}+bx+C$

Обратная функция к $f(x)$ : $f^{-1}(x)=\frac{1}{k}x-\frac{b}{k}$

Линейная функция нескольких переменных

Линейная функция $n$ переменных $x=(x_1,x_2,\dots ,x_n)$ — функция вида

$f(x)=a_0+a_1{x}_1+a_2{x}_2+\dots +a_n{x}_n$

где $a_0,a_1,a_2,\dots ,a_n$ — некоторые фиксированные числа. Областью определения линейной функции является всё $n$-мерное пространство переменных $x_1,x_2,\dots ,x_n$ вещественных или комплексных. При $a_0=0$ линейная функция называется однородной, или линейной формой.

Если все переменные $x_1,x_2,\dots ,x_n$ и коэффициенты $a_0,a_1,a_2,\dots ,a_n$ — вещественные числа, то графиком линейной функции в $(n+1)$-мерном пространстве переменных $x_1,x_2,\dots ,x_n,y$ является $n$-мерная гиперплоскость

$y=a_0+a_1{x}_1+a_2{x}_2+\dots +a_n{x}_n$

в частности при $n=1$ — прямая линия на плоскости.

Абстрактная алгебра

Термин «линейная функция», или, точнее, «линейная однородная функция», часто применяется для линейного отображения векторного пространства $X$ над некоторым полем $K$ в это поле, то есть для такого отображения $f:X\to K$, что для любых элементов $x,y\in X$ и любых $\alpha ,\beta \in K$ справедливо равенство

$f(\alpha x+\beta y)=\alpha f(x)+\beta f(y)$

причём в этом случае вместо термина «линейная функция» используются также термины линейный функционал и линейная форма — также означающие линейную однородную функцию определённого класса.

Алгебра логики

Шаблон:Main Булева функция $f(x_1,x_2,\dots ,x_n)$ называется линейной, если существуют такие $a_0,a_1,a_2,\dots ,a_n$, где $a_i\in \{0,1\},\mathrm{\forall }i=\overline{1,n}$, что для любых $x_1,x_2,\dots ,x_n$ имеет место равенство:

$f(x_1,x_2,\dots ,x_n)=a_0\oplus a_1\cdot x_1\oplus a_2\cdot x_2\oplus \dots \oplus a_n\cdot x_n$.

Нелинейные функции

Для функций, не являющихся линейными, употребляют термин нелинейные функции. То же относится и к употреблению слова нелинейные в отношении других объектов, не обладающих свойством линейности, например — нелинейные дифференциальные уравнения. Обычно термин используется, когда функциональную зависимость вначале приближают линейной, а потом переходят к изучению более общего случая, часто начиная с младших степеней, например рассматривая квадратичные поправки.

Нелинейные уравнения достаточно произвольны. К примеру, нелинейной является функция $y=x^2$.

В ряде случаев этот термин может применяться и к зависимостям $f=kx+b$, где $b\ne 0$, то есть к неоднородным линейным функциям, поскольку они не обладают свойством линейности, а именно в этом случае $f(x_1+x_2)\ne f(x_1)+f(x_2)$ и $f(cx)\ne cf(x)$. Например, нелинейной зависимостью считают $\sigma (\tau )$ для материала с упрочнением (см. теория пластичности).

См. также

• Сублинейная функция
• Линейное уравнение
• Кусочно-линейная функция
• Целая рациональная функция