Гиперплоскость

Гиперпло́скость — подпространство коразмерности 1 в векторном, аффинном пространстве или проективном пространстве; то есть подпространство с размерностью, на единицу меньшей, чем объемлющее пространство.

Например, для двумерного пространства гиперплоскость есть прямая (отражаемая уравнением $n_1{x}_1+n_2{x}_2=b$), для трёхмерного — плоскость, для четырёхмерного — трёхмерное пространство («трёхмерная плоскость») и т. д.

Уравнение гиперплоскости

Пусть $𝐧\in {ℝ}^k$ — нормальный вектор к гиперплоскости, тогда уравнение гиперплоскости, проходящей через точку $𝐗\in {ℝ}^k$, имеет вид

$⟨𝐧;𝐱⟩=⟨𝐧;𝐗⟩$

Здесь $⟨\bullet ;\bullet ⟩$ — скалярное произведение в пространстве ${ℝ}^k$. В частном случае уравнение принимает вид

$n_1{x}_1+n_2{x}_2+\dots +n_k{x}_k=d=n_1{X}_1+n_2{X}_2+\dots +n_k{X}_k$

Расстояние от точки до гиперплоскости

Пусть $𝐧\in {ℝ}^k$ — нормальный вектор к гиперплоскости, тогда расстояние от точки $𝐫\in {ℝ}^k$ до этой гиперплоскости задаётся формулой

$\rho =\frac{|⟨𝐫-𝐑;𝐧⟩|}{|𝐧|}$

где $𝐑$ — произвольная точка гиперплоскости.

См. также

• Гиперповерхность