Проективное пространство

Проекти́вное простра́нство над полем $𝕂$ — пространство, состоящее из прямых (одномерных подпространств) некоторого линейного пространства ${𝕂}^{n+1}$ над данным полем. Прямые пространства ${𝕂}^{n+1}$ называются точками проективного пространства. Это определение поддаётся обобщению на произвольное тело $𝕂$. Для полей $𝕂=ℝ$ или $𝕂=ℂ$, и тела $𝕂=ℍ$ соответствующее проективное пространство называется вещественным $ℝ{\mathrm{P}}^n$, комплексным $ℂ{\mathrm{P}}^n$ или кватернионным $ℍ{\mathrm{P}}^n$ соответственно.

Переход от векторного пространства ${𝕂}^{n+1}$ к соответствующему проективному пространству $𝕂{\mathrm{P}}^n$ называется проективизацией. Точки $𝕂{\mathrm{P}}^n$ можно описывать с помощью однородных координат.

Определение как факторпространства

Отождествляя точки $(x_0,\dots ,x_n)\sim (\lambda x_0,\dots ,\lambda x_n)$, где $\lambda$ отлично от нуля, мы получим фактормножество (по отношению эквивалентности $\sim$)

${\mathrm{P}}^n(ℝ):=({ℝ}^{n+1}\setminus \{\mathrm{𝟎}\})/\sim$.

Точки проективного пространства обозначаются как $[x_0:\dots :x_n]$, где числа $x_i$ называются однородными координатами. Например, $[1:2:3]$ и $[2:4:6]$ обозначают одну и ту же точку проективного пространства.

Аксиоматическое определение

Проективное пространство может быть также определено системой аксиом типа гильбертовской. В этом случае проективное пространство определяется как система, состоящая из множества точек $P$, множества прямых $L$ и отношения инцидентности $I$, которое обычно выражается словами «точка лежит на прямой», удовлетворяющая следующим аксиомам:

• для любых двух различных точек существует единственная прямая, инцидентная обеим точкам;
• каждая прямая инцидентна не менее чем трём точкам;
• если прямые $L$ и $M$ пересекаются (имеют общую инцидентную точку), точки $p$ и $q$ лежат на прямой $L$, а точки $s$ и $r$ — на прямой $M$, то прямые $ps$ и $qr$ пересекаются.

Подпространством проективного пространства называется подмножество $T$ множества $P$, такое что для любых $p,q\in P$ из этого подмножества все точки прямой $pq$ принадлежат $T$. Размерностью проективного пространства $P$ называется наибольшее число $n$, такое что существует строго возрастающая цепочка подпространств вида

$\varnothing =X_{-1}\subset X_0\subset \cdots X_n=P$.

Классификация

• Размерность 0: пространство состоит из единственной точки.
• Размерность 1 (проективная прямая): произвольное непустое множество точек и единственная прямая, на которой лежат все эти точки.
• Размерность 2 (проективная плоскость): в этом случае классификация является более сложной. Все плоскости вида $𝕂{\mathrm{P}}^n$ для некоторого тела $𝕂$ удовлетворяют аксиоме Дезарга, однако существуют также недезарговы плоскости.
• Большие размерности: согласно теореме Веблена — Юнга, любое проективное пространство размерности более двух может быть получено как проективизация модуля над некоторым телом.

Связанные определения и свойства

• Пусть $M$ есть гиперплоскость в линейном пространстве $L$. Проективное пространство $P(M)\subset P(L)$ называется проективной гиперплоскостью в $P(L)$.
• На дополнении проективной гиперплоскости $A=P(L)\mathrm{\setminus }P(M)$ существует естественная структура аффинного пространства.
• Обратно, взяв за основу аффинное пространство $A$, можно получить проективное пространство как аффинное, к которому добавлены т. н. бесконечно удалённые точки. Первоначально проективное пространство и было введено таким образом.
• Пусть $P(L^{\prime })$ и $P(L^{″})$ ― два проективных подпространства. Множество $P(L^{\prime }+L^{″})$ называется проективной оболочкой множества $P(L^{\prime })\cup P(L^{″})$ и обозначается $P(L^{\prime }+L^{″})=\overline{P(L^{\prime })\cup P(L^{″})}$.

Тавтологическое расслоение

Тавтологическим расслоением ${\gamma }^n:E\to ℝ{\mathrm{P}}^n$ называется векторное расслоение, пространством расслоения которого является подмножество прямого произведения $ℝ{\mathrm{P}}^n\times {ℝ}^{n+1}$

$E({\gamma }^n):=\{(\{\pm x\},v)\in ℝ{\mathrm{P}}^n\times {ℝ}^{n+1}:v=\lambda x,\lambda \in ℝ\}$,

а слоем — вещественная прямая $ℝ$. Каноническая проекция ${\gamma }^n$ отображает прямую, проходящую через точки $\pm x\in {ℝ}^{n+1}$, в соответствующую точку проективного пространства. При $n⩾1$ это расслоение не является тривиальным. При $n=1$ пространством расслоения является лента Мёбиуса.

См. также

• Плоскость Кэли

Литература

• Артин Э. Геометрическая алгебра — Шаблон:М: Наука, 1969.
• Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. Методы и приложения. — Шаблон:М: Наука, 1979.
• Кострикин А. И., Манин Ю. И. Линейная алгебра и геометрия — Шаблон:М: Наука 1986.
• Хартсхорн Р. Основы проективной геометрии — Шаблон:М: Мир, 1970.
• Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.
• Александров А. Д., Нецветаев Н. Ю. Геометрия. — Наука, Москва, 1990.
• Бэр Р. Линейная алгебра и проективная геометрия. — УРСС, Москва, 2004.
• Фиников С. П. Аналитическая геометрия: Курс лекций. — УРСС, Москва, 2008.