Плоскость Кэли

Плоскость Кэли — проективная плоскость над алгеброй Кэли $𝕆$. Обычно обозначается $𝕆{\mathrm{P}}^2$. Была построена в 1933 году Рут Муфанг и названа в честь Артура Кэли.

Построение

Точки плоскости Кэли могут быть определены как пучки прямых в ${𝕆}^2$. Это построение аналогично построению проективного пространства, но не обобщается на старшие размерности.

Свойства

• Плоскость Кэли допускает разложение на три клетки, размерностей 0, 8 и 16.
• Плоскось Кэли является симметрическим пространством $F_4/\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{i}\mathrm{n}(9)$, где F₄ — одна из особых простых групп Ли и $\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{i}\mathrm{n}(9)$ — спинорная группа девятимерного евклидового пространства (она реализуется как подгруппа в $F_4$).
• Плоскость Кэли недезаргова.
  • В частности, из этого следует, что плоскость Кэли не вкладывается в проективное пространство.
• Для плоскости Кэли, существует вложение Веронезе $𝕆{\mathrm{P}}^2\to {𝕊}^{25}$.
  • Это эквивариантное вложение, то есть действие $F_4$ на $𝕆{\mathrm{P}}^2$ продолжается до изометрического действия на ${𝕊}^{25}$.
  • Образ вложения является минимальным подмногообразием.