Алгебра Кэли

А́лгебра Кэ́ли — система гиперкомплексных чисел, 8-мерная алгебра над полем вещественных чисел. Обычно обозначается $𝕆$, поскольку её элементы (числа Кэли) называются иногда октонионами или октавами.

Впервые рассмотрена в 1843 году Шаблон:Iw, приятелем Уильяма Гамильтона, а двумя годами позже — независимо Артуром Кэли.

Число Кэли — это линейная комбинация элементов $\{1,i,j,k,l,il,jl,kl\}$, то есть октава $x$ может быть записана в форме:

$x=x_0+x_{1}i+x_{2}j+x_{3}k+x_{4}l+x_{5}il+x_{6}jl+x_{7}kl$

с вещественными коэффициентами $x_i$. Октонионы находят применение в физике, в частности, в специальной теории относительности и теории струн.

Таблицы умножения

Таблица умножения элементов октавы:

1	i (e1)	j (e2)	k (e3)	l (e4)	il (e5)	jl (e6)	kl (e7)
i (e1)	−1	k	−j	il	−l	−kl	jl
j (e2)	−k	−1	i	jl	kl	−l	−il
k (e3)	j	−i	−1	kl	−jl	il	−l
l (e4)	−il	−jl	−kl	−1	i	j	k
il (e5)	l	−kl	jl	−i	−1	−k	j
jl (e6)	kl	l	−il	−j	k	−1	−i
kl (e7)	−jl	il	l	−k	−j	i	−1

Плоскость Фано для мнемонического запоминания таблицы умножения

Таблица (Кэли) умножения октонионов:

Шаблон:Math	Шаблон:Math	Шаблон:Math	Шаблон:Math	Шаблон:Math	Шаблон:Math	Шаблон:Math	Шаблон:Math
Шаблон:Math	Шаблон:Math	Шаблон:Math	Шаблон:Math	Шаблон:Math	Шаблон:Math	Шаблон:Math	Шаблон:Math
Шаблон:Math	Шаблон:Math	Шаблон:Math	Шаблон:Math	Шаблон:Math	Шаблон:Math	Шаблон:Math	Шаблон:Math
Шаблон:Math	Шаблон:Math	Шаблон:Math	Шаблон:Math	Шаблон:Math	Шаблон:Math	Шаблон:Math	Шаблон:Math
Шаблон:Math	Шаблон:Math	Шаблон:Math	Шаблон:Math	Шаблон:Math	Шаблон:Math	Шаблон:Math	Шаблон:Math
Шаблон:Math	Шаблон:Math	Шаблон:Math	Шаблон:Math	Шаблон:Math	Шаблон:Math	Шаблон:Math	Шаблон:Math
Шаблон:Math	Шаблон:Math	Шаблон:Math	Шаблон:Math	Шаблон:Math	Шаблон:Math	Шаблон:Math	Шаблон:Math
Шаблон:Math	Шаблон:Math	Шаблон:Math	Шаблон:Math	Шаблон:Math	Шаблон:Math	Шаблон:Math	Шаблон:Math

Иногда заменяются буквенным обозначением:

Шаблон:Math	Шаблон:Math	Шаблон:Math	Шаблон:Math	Шаблон:Math	Шаблон:Math	Шаблон:Math	Шаблон:Math
Шаблон:Math	Шаблон:Math	Шаблон:Math	Шаблон:Math	Шаблон:Math	Шаблон:Math	Шаблон:Math	Шаблон:Math
Шаблон:Math	Шаблон:Math	Шаблон:Math	Шаблон:Math	Шаблон:Math	Шаблон:Math	Шаблон:Math	Шаблон:Math

Свойства

По теореме Фробениуса алгебра Кэли является единственной 8-мерной вещественной альтернативной алгеброй без делителей нуля.

Алгебра Кэли является алгеброй с однозначным делением и с единицей, альтернативной, но неассоциативной и некоммутативной.

Для октониона $x=x_0+x_{1}i+x_{2}j+x_{3}k+x_{4}l+x_{5}il+x_{6}jl+x_{7}kl$ операция сопряжения определена равенством:

$x^{*}=x_0-x_{1}i-x_{2}j-x_{3}k-x_{4}l-x_{5}il-x_{6}jl-x_{7}kl$.

Сопряжение удовлетворяет равенствам:

$(xy{)}^{*}=y^{*}{x}^{*}$ и

$x^{*}=-\frac{1}{6}(x+(ix)i+(jx)j+(kx)k+(lx)l+((il)x)(il)+((jl)x)(jl)+((kl)x)(kl)).$

Вещественная часть октониона $x$ определена равенством:

$\frac{1}{2}(x+x^{*})=x_0$,

мнимая часть:

$\frac{1}{2}(x-x^{*})$.

Норма октониона $x$: $\Vert x\Vert =\sqrt{x^{*}x}$; $\Vert x\Vert =0$ тогда и только тогда, когда $x=0$. Из определения нормы следует, что октонион $x\ne 0$ обратим и

$x^{-1}=\frac{x^{*}}{\Vert x{\Vert }^2}$.

Из-за неассоциативности октонионы не имеют матричных представлений.

Литература

• Джон Баэс. Октонионы Шаблон:Wayback // Гиперкомплексные числа в геометрии и физике, № 1(5), Vol 3(2006), с.120-176.