Ассоциативность (математика)

Визуализация ассоциативности $(x\circ y)\circ z=x\circ (y\circ z)$

Ассоциати́вность (сочетательность) — свойство бинарной операции $\circ$, заключающееся в возможности осуществлять последовательное применение формулы $(x\circ y)\circ z=x\circ (y\circ z)$ в произвольном порядке к элементам $x,y,z$.

Термин ввёл Уильям Гамильтон в 1853 году.

Поскольку для ассоциативных операций результат выражения $x_1\circ x_2\circ \dots \circ x_n$ не зависит от порядка применения, скобки при записи опускаются. Для неассоциативной операции выражение $x_1\circ x_2\circ \dots \circ x_n$ при $n>2$ не определено без дополнительных соглашений о порядке применения.

Примеры ассоциативных операций:

• сложение комплексных чисел: $(a+b)+c=a+(b+c)$
• умножение комплексных чисел: $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$
• композиция функций: $(H\circ G)\circ F=H\circ (G\circ F)$

Примером неассоциативной операции является возведение в степень — результат выражения $a^{b^c}$ напрямую зависит от расстановки скобок, в общем случае $a^{(b^c)}\ne (a^b{)}^c$.

Не всякая коммутативная операция ассоциативна — существуют Шаблон:Iw с неассоциативной.

Ассоциативность играет важную роль в общей алгебре: в большинстве рассматриваемых структур бинарные операции ассоциативны (группы, кольца, поля, полурешётки и решётки). Теория полугрупп фактически исследует феномен ассоциативности общеалгебраическими методами. При этом особо рассматриваются и неассоциативные системы, а именно: квазигруппы, лупы, неассоциативные кольца, Шаблон:Iw. Их изучение осложнено тем, что многие свойства ассоциативных систем для них не имеют места. Иногда проблемы переносимости свойств на неассоциативные структуры оказываются нетрививиальными (например, открыт вопрос о выполнении теоремы Лагранжа для конечных луп).

В информатике ассоциативность считается полезным свойством, в частности, позволяющим задействовать параллелизм для последовательных применений операции. В то же время многие практические операции (сложение и умножение при работе с числами с плавающей запятой) оказываются неассоциативными.

Свойство естественным образом обобщается на $n$-арный случай: операция $\phi :X^n\to X$ называется ассоциативной, если для всех $i=1,\dots ,n$ имеет место тождество:

$\phi (\phi (x_1,\dots ,x_n),x_{n+1},\dots ,x_{2n-1})=\phi (x_1,\dots ,x_i,\phi (x_{i+1},x_{i+2},\dots ,x_{i+n}),x_{i+n+1},\dots ,x_{2n-1})$.

Ослабленные варианты свойства ассоциативности — степенная ассоциативность, альтернативность, Шаблон:Iw — в них изменение очерёдности последовательного применения возможно только для ограниченного набора случаев.

Литература

• Шаблон:Из
• Шаблон:Книга:Общая алгебра