Композиция функций

Компози́ция (суперпози́ция) фу́нкций — это применение одной функции к результату другой.

Композиция функций $f$ и $g$ обычно обозначается $g\circ f$, что обозначает применение функции $g$ к результату функции $f$, то есть $(g\circ f)(x)=g(f(x))$.

Определение

Пусть $f$ функция из $A$ в $B$. Образ функции $f$ есть множество $f[C]=\{f(x)|x\in C\}$.

Пусть даны две функции $f:X\to Y$ и $g:f[X]\to Z$, где $f[X]\subseteq Y$ — образ множества $X$. Тогда их композицией называется функция $g\circ f:X\to Z$, определённая равенствомШаблон:Sfn:

$(g\circ f)(x)=g(f(x)),x\in X$.

Связанные определения

• Термин «сложная функция» может быть применим к композиции двух функций, каждая из каких имеет один аргумент. Также он может употребляться в ситуации, когда на вход функции нескольких переменных подаётся сразу несколько функций от одной или нескольких исходных переменных. Например, сложной функцией нескольких переменных можно назвать функцию $G$ вида

  $g(x,y)=f(u(x,y),v(x,y))$,

потому что она представляет собой функцию $f$, на вход которой подаются результаты функций $u$ и $v$.

Примеры композиций

• 

  Пример композиции двух функций

  Композиция функций на конечных множествах:

Пусть $f=\{(1,1),(2,3),(3,1),(4,2)\}$ и $g=\{(1,2),(2,3),(3,1),(4,2)\}$

тогда композиция $g\circ f=\{(1,2),(2,1),(3,2),(4,3)\}$

Свойства композицииШаблон:Sfn

• Композиция ассоциативна:

  $(h\circ g)\circ f=h\circ (g\circ f)$.

• Если $f={\mathrm{i}\mathrm{d}}_X$ — тождественное отображение на $X$, то есть $\mathrm{\forall }x\in X$:

  $f(x)={\mathrm{i}\mathrm{d}}_X(x)=x$,

то $g\circ f=g$.

• Если $G={\mathrm{i}\mathrm{d}}_Y$ — тождественное отображение на $Y$, то есть $\mathrm{\forall }y\in Y$:

  $g(y)={\mathrm{i}\mathrm{d}}_Y(y)=y$,

то $g\circ f=f$.

• Композиция отображений $f:X\to X$, $g:X\to X$, вообще говоря, не коммутативна, то есть $f\circ g=g\circ f$. Например, даны функции $f:x\mapsto x^2$, $g:x\mapsto 2x$ — тогда $g\circ f:x\mapsto 2x^2$, однако $f\circ g:x\mapsto 4x^2$.

Дополнительные свойства

• Пусть функция $f:X\to Y$ имеет в точке $a$ предел $\underset{x\to a}{\lim }f(x)=b$, а функция $g:f[X]\subseteq Y\to Z$ имеет в точке $b$ предел $\underset{y\to b}{\lim }g(y)$. Тогда, если существует проколотая окрестность точки $a$, пересечение которой с множеством $X$ отображается функцией $f:X\to Y$ в проколотую окрестность точки $b$, то в точке $a$ существует предел композиции функций $g\circ f:X\to Z$ и выполнено равенство: $\underset{x\to a}{\lim }g(f(x))=\underset{y\to b}{\lim }g(y)$.
• Если функция $f:X\to Y$ имеет в точке $a$ предел $\underset{x\to a}{\lim }f(x)=b$, а функция $g:f(X)\subseteq Y\to Z$ непрерывна в точке $b$, то в точке $a$ существует предел композиции функций $g\circ f:X\to Z$ и выполнено равенство: $\underset{x\to a}{\lim }g(f(x))=g(\underset{x\to a}{\lim }f(x))=g(b)$.
• Композиция непрерывных функций непрерывна. Пусть $(X,{𝒯}_X),(Y,{𝒯}_Y),(Z,{𝒯}_Z)$ — топологические пространства. Пусть $f:X\to Y$ и $g:f[X]\subseteq Y\to Z$ — две функции, $y_0=f(x_0)$, $f\in C(x_0)$ и $g\in C(y_0)$, где $C$ — это множество всех функций, первая производная которых в заданной точке существует. Тогда $g\circ f\in C(x_0)$.

• Композиция дифференцируемых функций дифференцируема. Пусть $f,g:ℝ\to ℝ$, $y_0=f(x_0)$, $f\in 𝒟(x_0)$ и $g\in 𝒟(y_0)$. Тогда $g\circ f\in 𝒟(x_0)$, и

$(g\circ f{)}^{\prime }(x_0)=g^{\prime }(y_0)\cdot f^{\prime }(x_0)$.

Литература

• Шаблон:Книга