Полугруппа

Полугруппа в общей алгебре — множество с заданной на нём ассоциативной бинарной операцией $(S,\cdot )$. Существуют разногласия по поводу того, нужно ли включать требование непустоты в определение полугруппы; отдельные авторы даже настаивают на необходимости наличия нейтрального элемента («единицы»). Однако более общепринятым является подход, согласно которому полугруппа не обязательно является непустой и не обязательно содержит нейтральный элемент. Полугруппа с нейтральным элементом называется моноидом; любую полугруппу $S$, не содержащую нейтральный элемент, можно превратить в моноид, добавив к ней некоторый элемент $e\in ̸S$ и определив $es=s=se\mathrm{\forall }s\in S\cup \{e\};$ полученный моноид обычно обозначается как $S^1$.

Примеры полугрупп: натуральные числа с операцией сложения, множество всех отображений множества в себя с операцией композиции, множество всех слов над некоторым алфавитом с операцией конкатенации. Любая группа является также и полугруппой; Идеал кольца всегда является полугруппой относительно операции умножения.

Определение

Полугруппой является (непустое) множество $𝔘$, в котором для любой пары взятых в определённом порядке элементов $X,Y\in 𝔘$ определён новый элемент, называемый их произведением $U=XY\in 𝔘$, причём для любых $X,Y,Z\in 𝔘$ всегда выполнено $(XY)Z=X(YZ)$Шаблон:Sfn.

Виды полугрупп

Шаблон:ЯкорьПолугруппа $𝔘$ называется коммутативной (или абелевой), если для любых $A,B\in 𝔘$ всегда выполнено $AB=BA$.

Шаблон:ЯкорьВажные классы образуют полугруппы с сокращениемШаблон:Sfn:

• с левым сокращением, если при любых $X,A,B\in 𝔘$ из $XA=XB$ всегда следует $A=B$;
• с правым сокращением, если при любых $Y,A,B\in 𝔘$ из $AY=BY$ всегда следует $A=B$;
• с двусторонним сокращением, если является полугруппой и с левым, и с правым сокращением одновременно.

Шаблон:ЯкорьЭлемент $A$ полугруппы $𝔘$ называется регулярным, если в $𝔘$ найдется такой элемент $X$, что $AXA=A$. Полугруппа, все элементы которой регулярны, называется регулярной полугруппой.

Шаблон:ЯкорьЭлемент $A$ полугруппы $𝔘$ называется вполне регулярным, если в $𝔘$ найдется такой элемент $X$, что $AXA=A$ и $AX=XA$. Вполне регулярная полугруппа — полугруппа, все элементы которой вполне регулярныШаблон:Sfn.

Полугруппа $𝔘$, в которой для любых $A,B\in 𝔘$ в $𝔘$ всегда найдутся такие $X,Y$, что $XA=B$ и $AY=B$, является группой.

Структура полугруппы

Если $A,B\subset S$, то принято обозначать $AB=\{ab\mid a\in A,b\in B\}$.

Шаблон:ЯкорьПодмножество $A$ полугруппы $S$ называется подполугруппой, если оно само является полугруппой относительно ограничения операции на подмножество. Для этого достаточно, чтобы для любых двух элементов из $A$ их произведение также принадлежало $A$.

Если подмножество $A$ непусто и $AS$ (соответственно, $SA$) лежит в $A$, то $A$ называют правым (соответственно, левым) идеалом. Если $A$ является одновременно левым и правым идеалом, то его называют двусторонним идеалом, или просто идеалом.

Пересечение и объединение любого семейства подполугрупп также является подполугруппой; из этого следует, что подполугруппы образуют полную решётку. Пример полугруппы, в которой нет минимального идеала — положительные целые числа с операцией сложения. Если же наименьший идеал есть, а полугруппа коммутативна, то он является группой.

Благодаря ассоциативности, можно корректно определить натуральную степень элемента полугруппы как:

$a^n=\stackrel{n}{\overbrace{a\cdot a\cdot \dots \cdot a}}$.

Для степени элемента справедливо соотношение $a^{m+n}=a^m\cdot a^n,(a^n{)}^m=a^{nm},\mathrm{\forall }n,m\in \mathbb{N}$.

Частным случаем полугрупп являются полугруппы с делением, в которых для каждых двух элементов $a$ и $b$ определено правое $(a/b)$ и левое $(b/a)$ частное.

В конечной полугруппе всегда есть идемпотент (элемент, для которого $aa=a$).

Гомоморфизм полугрупп — это отображение, сохраняющее структуру полугруппы. А именно, отображение $f$ из полугруппы $R$ в полугруппу $S$ называется гомоморфизмом, если $\mathrm{\forall }a,b\in Rf(ab)=f(a)f(b)$. Две полугруппы $S$ и $T$ называются изоморфными, если существует биективный гомоморфизм $f:S\to T$.

Отношения Грина

Шаблон:Main В 1951 году Шаблон:Iw ввёл пять фундаментальных отношений эквивалентности на полугруппе. Они оказались существенными для понимания полугруппы как в локальном, так и в глобальном аспектах. Отношения Грина на полугруппе $S$ определяются следующими формулами:

$aRb\iff a{S}^1=b{S}^1$

$aLb\iff S^{1}a=S^{1}b$

$aJb\iff S^{1}a{S}^1=S^{1}b{S}^1$

$H=L\cap R$

$D=R\vee L$

Из определения непосредственно следует, что $R$ — правая конгруэнция, а $L$ — левая конгруэнция. Также известно, что $D=R\circ L=L\circ R$. Одним из наиболее фундаментальных утверждений в теории полугрупп является лемма Грина, которая утверждает, что если элементы $a$ и $b$ R-эквивалентны, $u$, $v$ такие, что $au=b$, $bv=a$ и $p_u,p_v$ — соответствующие правые сдвиги, то $p_u,p_v$ — взаимно обратные биекции $L_a$ на $L_b$ и наоборот соответственно. Также они сохраняют H-классы.

Литература

• Шаблон:Книга:Общая алгебра
• Шаблон:Книга