Конгруэнция

Шаблон:Другие значения Конгруэнцией в общей алгебре называют отношение эквивалентности на алгебраической структуре (такой как группа, кольцо или векторное пространство), согласующееся с алгебраическими операциями, определёнными на указанной структуре. Согласованность означает, что выполнение операций над эквивалентными (относительно конгруэнции) элементами структуры даст также эквивалентные элементы. Понятие играет важную роль в универсальной алгебре: всякая конгруэнция порождает соответствующую фактор-структуру со сходными операциями, носителем которой будет фактормножество, чьи элементы — классы эквивалентности исходной структуры по отношению к конгруэнции.

Основным примером конгруэнции является отношение сравнимости по модулю на множестве целых чисел. При заданном натуральном n (называемом модулем) говорят, что два целых числа a и b сравнимы по модулю n, если разность a – b делится на n или, что равносильно, a и b дают при делении на n равные остатки. Если числа a и b сравнимы по некоторому модулю n это обозначается a ≡ b (mod n). Например, числа 37 и 57 сравнимы по модулю 10 (37 ≡ 57 (mod 10)), поскольку 37 – 57 = −20 делится на 10 (это эквивалентно тому, что 37 и 57 дают при делении на 10 один и тот же остаток 7). Свойства сравнимости по модулю показывают, что, во-первых, сравнимость — отношение эквивалентности, и, во-вторых, что оно согласовано как со сложением так и с умножением целых чисел: если a₁ ≡ b₁ (mod n) и a₂ ≡ b₂ (mod n), то a₁ + a₂ ≡ b₁ + b₂ (mod n) и a₁ · a₂ ≡ b₁ · b₂ (mod n) для любых целых a₁ , a₂ , b₁ , b₂. Это значит, что над соответствующими классами эквивалентности — классами вычетов (по модулю n) — также выполнимы операции сложения и умножения, составляющие так называемую модульную арифметику: [a]_n + [b]_n = [a + b]_n , [a]_n · [b]_n = [a · b]_n ([x]_n — класс целых чисел, сравнимых с числом x по модулю n). С точки зрения абстрактной алгебры это будет звучать так: сравнимость по модулю n есть конгруэнция на кольце целых чисел $\mathbb{Z}$, порождающая фактор-кольцо $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ — конечное кольцо вычетов по модулю n, — на котором выполняются операции модульной арифметики.

Определение

Отношение $\theta (x_1,\dots ,x_m)$ на множестве $A$ называется стабильным относительно $n$-арной операции $f$, определённой на этом множестве, если для любых элементов $a_{i1},\dots ,a_{im}$ ($i=1,\dots ,n$) множества $A$ из истинности отношений $\theta (a_{i1},\dots ,a_{im})$ ($i=1,\dots ,n$) вытекает истинность отношения $\theta (f(a_{11},\dots ,a_{n1}),\dots ,f(a_{1m},\dots ,a_{nm}))$.

Отношение $\theta$ называется конгруэнцией на алгебраической системе $𝔄$, если оно стабильно относительно каждой главной операции системы $𝔄$. (При таком определении понятие конгруэнции не зависит от основных отношений системы $𝔄$.)

Факторсистема

Шаблон:Main Для алгебраической системы $𝔄=(A,\mathrm{\Phi },\mathrm{P})$ на фактормножестве $A/\theta$ по конгруэнции $\theta \subseteq A^2$ для всех операций $f_i\in \mathrm{\Phi }$ и отношений $r_i\in \mathrm{P}$ естественным образом вводятся операции и отношения над соответствующими классами смежности:

$f_i^{\star }([a_1{]}_{\theta },\dots ,[a_n{]}_{\theta })=[f_i(a_1,\dots ,a_n){]}_{\theta }$,

$r_i^{\star }([a_1{]}_{\theta },\dots ,[a_m{]}_{\theta })\iff \mathrm{\exists }(b_1\in [a_1{]}_{\theta },\dots ,b_m\in [a_m{]}_{\theta })r_i(b_1,\dots ,b_m)$.

Получающаяся система обозначается $𝔄/\theta$ и называется факторсистемой, а отображение $h_{\theta }:𝔄\to 𝔄/\theta$, определяемое правилом $h_{\theta }(a)=[a{]}_{\theta }$ — каноническим эпиморфизмом.

Множество всех конгруэнций данной системы $\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{n}(𝔄)$ образует полную решётку относительно операций объединения и пересечения, а также задает отношение включения:

${\theta }_1⩽{\theta }_2\iff \mathrm{\forall }a,b\in Aa{\theta }_{1}b\to a{\theta }_{2}b$.

Шаблон:ЯкорьДля любого набора конгруэнций заданной алгебраической системы $\{{\theta }_i,i\in I\}\subseteq \mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{n}(𝔄)$ имеет место следующий результат (теорема Ремака): факторсистема по пересечению набора конгруэнций вкладывается в прямое произведение факторсистем по каждой из конгруэнций набора:

$𝒜/\bigcap _{i\in I}{\theta }_i\hookrightarrow \prod _{i\in I}𝔄/{\theta }_i$.

Литература

• Шаблон:Книга:Общая алгебра
• Шаблон:Книга