Инъекция (математика)

Инъективная функция.

Инъе́кция (инъекти́вное отображе́ние) в математике — отображение $f$ множества $X$ во множество $Y$ ($f:X\to Y$), при котором разные элементы множества $X$ переводятся в разные элементы множества $Y$, то есть если два образа при отображении совпадают, то и прообразы совпадают: $f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2$.

Инъекцию также называют вложением, или одно-однозначным отображением (в отличие от биекции, которая взаимно однозначна). В отличие от сюръекции, про которую говорят, что она отображает одно множество на другое, об инъекции $f:X\to Y$ аналогичная фраза формулируется как отображение $X$ в $Y$.

Инъекцию можно также определить как отображение, для которого существует левое обратное, то есть $f:X\to Y$ инъективно, если существует $g:Y\to X$, при котором композиция $g\circ f={\mathrm{id}}_X$.

Понятие инъекции (наряду с сюръекцией и биекцией) введено в трудах Бурбаки и получило широкое распространение почти во всех разделах математики.

Примеры

• $f:{ℝ}_{>0}\to ℝ,f(x)=\ln x$ (натуральный логарифм) — инъективно и сюръективно (здесь ${ℝ}_{>0}$ — множество положительных чисел).
• $f:{ℝ}_{+}\to ℝ,f(x)=x^2$ — инъективно (здесь ${ℝ}_{+}$ — множество неотрицательных чисел).
• $f:ℝ\to {ℝ}_{+},f(x)=x^2$ — не является инъективным, так как $f(-2)=f(2)=4$.

Применение

• Одним из прикладных примеров применения понятия инъекции является организация связи «один к одному» между сущностями в реляционной модели данных.
• Идеальная хеш-функция является инъективной.

Обобщения

• Обобщением понятия инъекции в теории категорий является понятие мономорфизма. Во многих категориях, хотя и не во всех, эти понятия эквивалентны.

Литература

• Шаблон:КнигаШаблон:Недоступная ссылка
• Шаблон:Книга