Обратная функция

Функция $f$ и обратная ей функция $f^{-1}$. Если $f(a)=3$, то $f^{-1}(3)=a$

Обра́тная фу́нкция — функция, обращающая зависимость, выражаемую данной функцией. Например, если функция от x даёт y, то обратная ей функция от y даёт x. Обратная функция функции $f$ обычно обозначается $f^{-1}$, иногда также используется обозначение $f^{\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{v}}$.

Функция, имеющая обратную, называется обратимой.

Определение

Функция $g:Y\to X$ называется обратной к функции $f:X\to Y$, если выполнены следующие тождества:

• $f(g(y))=y$ для всех $y\in Y;$
• $g(f(x))=x$ для всех $x\in X.$

Связанные определения

• Функция $g:Y\to X$ называется левой обратной к функции $f:X\to Y$, если $g(f(x))=x$ для всех $x\in X$.
• Функция $g:Y\to X$ называется правой обратной к функции $f:X\to Y$, если $f(g(y))=y$ для всех $y\in Y$.

Существование

Чтобы найти обратную функцию, нужно решить уравнение $y=f(x)$ относительно $x$. Если оно имеет более чем один корень, то функции, обратной к $f$ не существует. Таким образом, функция $f(x)$ обратима на интервале $(a;b)$ тогда и только тогда, когда на этом интервале она взаимно-однозначна.

Для непрерывной функции $F(y)$ выразить $y$ из уравнения $x-F(y)=0$ возможно в том и только том случае, когда функция $F(y)$ строго монотонна (см. теорема о неявной функции). Тем не менее, непрерывную функцию всегда можно обратить на промежутках её строгой монотонности. Например, $\sqrt{x}$ является обратной функцией к $x^2$ на $[0,+\mathrm{\infty })$, хотя на промежутке $(-\mathrm{\infty },0]$ обратная функция другая: $-\sqrt{x}$.

Для существования обратной функции не являются необходимыми ни непрерывность, ни монотонность исходной функции. Пример: функция $y=x+D(x),$ где $D(x)$ — функция Дирихле, разрывна и не монотонна, однако обратная для неё существует: $x=y-D(y).$

Примеры

• Если $F:ℝ\to {ℝ}_{+},F(x)=a^x$, где $a>0,a\ne 1,$ то $F^{-1}(x)={\log }_{a}x.$
• Если $F(x)=ax+b,x\in ℝ$, где $a,b\in ℝ$ фиксированные постоянные и $a\ne 0$, то $F^{-1}(x)=\frac{x-b}{a}.$
• Если $F(x)=x^n,x\ge 0,n\in \mathbb{Z}$, то $F^{-1}(x)=\sqrt[n]{x}.$

Свойства

Графики функции и обратной ей

• Областью определения $F^{-1}$ является множество $Y$, а областью значений — множество $X$.
• По построению имеем:

$y=F(x)\iff x=F^{-1}(y)$

или

$F(F^{-1}(y))=y,\mathrm{\forall }y\in Y$,

$F^{-1}(F(x))=x,\mathrm{\forall }x\in X$,

или короче

$F\circ F^{-1}={\mathrm{i}\mathrm{d}}_Y$,

$F^{-1}\circ F={\mathrm{i}\mathrm{d}}_X$,

где $\circ$ означает композицию функций, а ${\mathrm{i}\mathrm{d}}_X,{\mathrm{i}\mathrm{d}}_Y$ — тождественные отображения на $X$ и $Y$ соответственно.

• Такое отображение $G:Y\to X$, что $F\circ G={\mathrm{i}\mathrm{d}}_Y$ («обратное справа»), называется сечением отображения $F$.

• Функция $F$ является обратной к $F^{-1}$:

${\left(F^{-1}\right)}^{-1}=F$.

• Пусть $F:X\subset ℝ\to Y\subset ℝ$ — биекция. Пусть $F^{-1}:Y\to X$ её обратная функция. Тогда графики функций $y=F(x)$ и $y=F^{-1}(x)$ симметричны относительно прямой $y=x$.
• Также, если у функции $f(x)$ есть обратная ей $f^{-1}(x)$, то графики этих функций будут симметричны относительно линии $y=x$.

Теорема. Композиция любых двух обратимых функций является обратимой функцией, то есть ${(f\circ g)}^{-1}=g^{-1}\circ f^{-1}$.

Доказательство

Поскольку $\alpha \circ {\alpha }^{-1}={\alpha }^{-1}\circ \alpha =e$ и $\alpha \circ e=e\circ \alpha =\alpha$ для любой обратимой функции $\alpha$, где $e$ — тождественное преобразование, то можно записать следующие равенства. Имеем: $e=e⟺e=f\circ f^{-1}⟺e=f\circ g\circ g^{-1}\circ f^{-1}⟺e=(f\circ g)\circ (g^{-1}\circ f^{-1}).$ Подействуем слева функцией ${(f\circ g)}^{-1}$ и получим: ${(f\circ g)}^{-1}\circ \mid e=(f\circ g)\circ (g^{-1}\circ f^{-1})⟺{(f\circ g)}^{-1}\circ e={(f\circ g)}^{-1}\circ (f\circ g)\circ (g^{-1}\circ f^{-1})⟺{(f\circ g)}^{-1}=e\circ (g^{-1}\circ f^{-1})⟺{(f\circ g)}^{-1}=g^{-1}\circ f^{-1}.$ Теорема доказана.

Это утверждение легко запомнить так: «Пиджак надевают после рубашки, а снимают раньше».

Разложение в степенной ряд

Обратная функция аналитической в некоторой окрестности точки $x_0$ функции может быть представлена в виде степенного ряда:

$f^{-1}(y)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{A}_k(x_0)\frac{(y-f(x_0){)}^k}{k!},$

где функции $A_k$ задаются рекурсивной формулой:

$A_n(x)=\{\begin{array}{c}x,n=0\\ \frac{A_{n^{\prime }-1}(x)}{f^{\prime }(x)},n>0\end{array}$

См. также

• Теорема Лагранжа об обращении рядов
• Обратные тригонометрические функции
• Обратимая функция