Теорема о неявной функции

Теорема о неявной функции — общее название для теорем, гарантирующих локальное существование и описывающих свойства неявной функции, то есть функции

$y=f(x)$, $f:X\to Y$,

заданной уравнением

$F(x,y)=z_0$, $F:X\times Y\to Z$,

где значение $z_0\in Z$ фиксировано.

Одномерный случай

Простейшая теорема о неявной функции состоит в следующем.

Если функция $F:ℝ\times ℝ\to ℝ$

• непрерывна в некоторой окрестности точки $(x_0,y_0)$
• $F(x_0,y_0)=0$ и
• при фиксированном $x$ функция $F(x,y)$ строго монотонна по $y$ в данной окрестности,

тогда найдётся такой двумерный промежуток $I=I_x\times I_y$, являющийся окрестностью точки $(x_0,y_0)$, и такая непрерывная функция $f:I_x\to I_y$, что для любой точки $(x,y)\in I$

$F(x,y)=0\iff y=f(x)$

Обычно дополнительно предполагается, что функция $F$ является непрерывно дифференцируемой в окрестности точки $(x_0,y_0)$. В том случае строгая монотонность следует из условия ${F_y}^{\prime }(x_0,y_0)\ne 0$, где ${F_y}^{\prime }$ обозначает частную производную $F$ по $y$. Более того, в этом случае функция $f$ также является непрерывно дифференцируемой, и её производная может быть вычислена по формуле

$f^{\prime }(x)=-\frac{{F_x}^{\prime }(x,f(x))}{{F_y}^{\prime }(x,f(x))}.$

Пример

Иллюстрация примера.

Рассмотрим функцию $F(x,y)=x^2+y^2-1$ и соответствующее уравнение

$F(x,y)=x^2+y^2-1=0$,

которое задает на плоскости единичную окружность. Невозможно представить всю окружность в виде графика какой-либо функции $y=f(x)$. Действительно, каждому значению $x\in (-1,1)$ отвечает два разных значения $\pm \sqrt{1-x^2}$. Однако можно представить часть окружности в виде графика. Например, график функции $g_1(x)=\sqrt{1-x^2}$, определенной на отрезке $x\in [-1,1]$, задаёт верхнюю половину окружности, а график функции $g_2(x)=-g_1(x)$ задаёт её нижнюю половину.

Теорема о неявной функции имеет локальный характер и говорит о том, что в малой окрестности любой точки окружности, в которой выполнено условие ${F_y}^{\prime }(x,y)\ne 0$, часть окружности, находящаяся в этой окрестности, представима в виде графика гладкой функции. Это условие выполнено, например, в точке $A$ на рисунке. Существуют лишь две точки окружности ($B$ и диаметрально противоположная ей точка), в которых условие ${F_y}^{\prime }(x,y)\ne 0$ нарушено. Очевидно, что в сколь угодно малой окрестности каждой из этих точек часть окружности не представима в виде графика какой-либо функции $y=f(x)$.

Многомерный случай

Пусть ${ℝ}^n$ и ${ℝ}^m$ — пространства с координатами $x=(x_1,\dots ,x_n)$ и $y=(y_1,\dots ,y_m)$, соответственно. Рассмотрим отображение $F=(F_1,\dots ,F_m),$ $F_i=F_i(x,y),$ которое отображает некоторую окрестность $W$ точки $(x_0,y_0)\in {ℝ}^n\times {ℝ}^m$ в пространство ${ℝ}^m$.

Предположим, что отображение $F$ удовлетворяет следующим условиямː

• $F\in C^k(W),$ $k\ge 1,$ то есть $F$ является $k$ раз непрерывно дифференцируемым в $W,$
• $F(x_0,y_0)=0,$
• якобиан отображения $y\mapsto F(x_0,y)$ не равен нулю в точке $y_0,$ то есть определитель матрицы $\frac{\partial F}{\partial y}(x_0,y_0)$ не равен нулю.

Тогда существуют окрестности $U$ и $V$ точек $x_0$ и $y_0$ в пространствах ${ℝ}^n$ и ${ℝ}^m$ соответственно, причём $U\times V\subset W$, и отображение $f:U\to V,$ $f\in C^k(U),$ такие, что

$F(x,y)=0\iff y=f(x)$

для всех $x\in U$ и $y\in V$. Отображение $f$ определено однозначно.

Естественным обобщением предыдущей теоремы на случай не гладких отображений является следующая теоремаː

Предположим, что отображение $F$ удовлетворяет следующим условиямː

• $F$ является непрерывным в $W,$
• $F(x_0,y_0)=0,$
• существуют окрестности $U$ и $V$ точек $x_0$ и $y_0$ в пространствах ${ℝ}^n$ и ${ℝ}^m$ соответственно, причём $U\times V\subset W$, такие, что для каждого фиксированного $x\in U$ отображение $y\mapsto F(x,y)$ является взаимно однозначным в $V$.

Тогда существует такое непрерывное отображение $f:U\to V$, что

$F(x,y)=0\iff y=f(x)$

для всех $x\in U$ и $y\in V$.

См. также

• Теорема об обратной функции

Литература

• Зорич В. А. Математический анализ, Любое издание
• Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа, 3 изд., ч. 1, М., 1971
• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа, 5 изд., М., 1981
• Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа, 2 изд., М., 1965
• Никольский С. М. Курс математического анализа, 2 изд., т. 1—2, М., 1975
• Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения, 4 изд., М., 1974 — § 33
• Шварц Л. Анализ, пер. с франц., т. 1, М., 1972