Частная производная

Шаблон:Другие значения В математическом анализе частная производная (первая производная) — одно из обобщений понятия производной на случай функции нескольких переменных. Частная производная — это предел отношения приращения функции по выбранной переменной к приращению этой переменной, при стремлении этого приращения к нулю.

Частная производная функции $f$ по переменной $x$ обычно обозначается $\frac{\partial f}{\partial x}$, $f_x$ или $D_{x}f$. В случае если переменные нумерованы, например $x_1,\dots ,x_n$ используются также обозначения $f_i$ и $D_{i}f$.

В явном виде частная производная функции $f(x_1,x_2,\dots ,x_n)$ в точке $(a_1,a_2,\dots ,a_n)$ определяется следующим образом:

$\frac{\partial f}{\partial x_k}(a_1,\cdots ,a_n)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{f(a_1,\dots ,a_k+\mathrm{\Delta }x,\dots ,a_n)-f(a_1,\dots ,a_k,\dots ,a_n)}{\mathrm{\Delta }x}.$

Оператор \ Функция	$f(x)$	$f(x,y,u(x,y),v(x,y))$
Дифференциал	1: $\mathrm{d}f=f{\text{'}}_x\mathrm{d}x$	2: ${\mathrm{d}}_{x}f=f{\text{'}}_x\mathrm{d}x$ 3: $\mathrm{d}f=f{\text{'}}_x\mathrm{d}x+f{\text{'}}_y\mathrm{d}y+f{\text{'}}_u\mathrm{d}u+f{\text{'}}_v\mathrm{d}v$
Частная производная (первая производная)	$f{\text{'}}_x\stackrel{\mathrm{(}\mathrm{1}\mathrm{)}}{=}\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}$	$f{\text{'}}_x\stackrel{\mathrm{(}\mathrm{2}\mathrm{)}}{=}\frac{{\mathrm{d}}_{x}f}{\mathrm{d}x}=\frac{\partial f}{\partial x}$
Полная производная (вторая производная)	$\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}\stackrel{\mathrm{(}\mathrm{1}\mathrm{)}}{=}f{\text{'}}_x$	$\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}\stackrel{\mathrm{(}\mathrm{3}\mathrm{)}}{=}f{\text{'}}_x+f{\text{'}}_u\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}+f{\text{'}}_v\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x};(f{\text{'}}_y\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=0)$

График функции Шаблон:Nowrap. Частная производная в точке Шаблон:Nowrap при постоянном y соответствует углу наклона касательной прямой, параллельной плоскости xz.

Сечения графика, изображенного выше, плоскостью Шаблон:Nowrap

Обозначение

Следует обратить внимание, что обозначение $\frac{\partial f}{\partial x}$ следует понимать как цельный символ, в отличие от обычной производной функции одной переменной Шаблон:Nowrap которую можно представить как отношение дифференциалов функции и аргумента. Однако и частную производную можно представить как отношение дифференциалов, но в этом случае необходимо обязательно указывать, по какой переменной осуществляется приращение функции: $\frac{\partial f}{\partial x}\equiv \frac{d_{x}f}{dx}$, где Шаблон:Nowrap частный дифференциал функции $f$ по переменной $x$. Часто непонимание факта цельности символа $\frac{\partial f}{\partial x}$ является причиной ошибок и недоразумений, как, например, сокращение $\partial x$ в выражении $\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial t}$ .

Геометрическая интерпретация

Геометрически, частная производная даёт производную по направлению одной из координатных осей. Частная производная функции $f$ в точке $\overrightarrow{x}{}^0=(x_1^0,\dots ,x_n^0)$ по координате $x_k$ равна производной $\frac{\partial f}{\partial \overrightarrow{e}}$ по направлению $\overrightarrow{e}=\overrightarrow{e}{}^k=(0,\dots ,0,1,0,\dots ,0)$, где единица стоит на $k$-м месте.

Примеры

Объём конуса зависит от высоты и радиуса основания

Объём V конуса зависит от высоты h и радиуса r, согласно формуле

$V=\frac{\pi r^{2}h}{3},$

Частная производная объёма V относительно радиуса r

$\frac{\partial V}{\partial r}=\frac{2\pi rh}{3},$

которая показывает скорость, с которой изменяется объём конуса, если его радиус меняется, а его высота остаётся неизменной. Например, если считать единицы измерения объёма $m^3$, а измерения длины $m$, то вышеуказанная производная будет иметь размерность скорости измерения объёма $m^3/m$, т.е. изменение величины радиуса на 1 $m$ будет соответствовать изменению объёма конуса на $\frac{2\pi rh}{3}$ $m^3$.

Частная производная относительно h

$\frac{\partial V}{\partial h}=\frac{\pi r^2}{3},$

которая показывает скорость, с которой изменяется объём конуса, если его высота меняется, а его радиус остаётся неизменным.

Полная производная V относительно r и h

$\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}r}=\stackrel{\frac{\partial V}{\partial r}}{\overbrace{\frac{2\pi rh}{3}}}+\stackrel{\frac{\partial V}{\partial h}}{\overbrace{\frac{\pi r^2}{3}}}\frac{\mathrm{d}h}{\mathrm{d}r}$

и

$\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}h}=\stackrel{\frac{\partial V}{\partial h}}{\overbrace{\frac{\pi r^2}{3}}}+\stackrel{\frac{\partial V}{\partial r}}{\overbrace{\frac{2\pi rh}{3}}}\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}h}$

Различие между полной и частной производной — устранение косвенных зависимостей между переменными в последней.

Если (по некоторым причинам) пропорции конуса остаются неизменными, то высота и радиус находятся в фиксированном отношении k,

$k=\frac{h}{r}=\frac{\mathrm{d}h}{\mathrm{d}r}.$

Это даёт полную производную относительно r:

$\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}r}=\frac{2\pi rh}{3}+k\frac{\pi r^2}{3}$

Уравнения, в которые входят частные производные, называются дифференциальными уравнениями в частных производных и широко известны в физике, инженерии и других науках и прикладных дисциплинах.

См. также

• Смешанная частная производная