Предел (математика)

Преде́л — одно из основных понятий математического анализа, на него опираются такие фундаментальные разделы анализа, как непрерывность, производная, интеграл, бесконечные ряды и др. Различают предел последовательности и предел функцииШаблон:Sfn.

Понятие предела на интуитивном уровне использовалось ещё во второй половине XVII века Ньютоном, а также математиками XVIII века, такими как Эйлер и Лагранж. Первые строгие определения предела последовательности дали Больцано в 1816 году и Коши в 1821 году.

История

Обоснование термина

Операция взятия предела в математическом анализе называется предельным переходом. Интуитивное понятие о предельном переходе использовалось ещё учеными Древней Греции при вычислении площадей и объёмов различных геометрических фигур. Методы решения таких задач в основном были развиты Архимедом.

При создании дифференциального и интегрального исчислений математики XVII века (и, прежде всего, Ньютон) также явно или неявно использовали понятие предельного перехода. Впервые определение понятия предела было введено в работе Валлиса «Арифметика бесконечных величин» (XVII век), однако исторически это понятие не лежало в основе дифференциального и интегрального исчислений.

Лишь в XIX веке в работах Коши теория пределов была использована для строгого обоснования математического анализа. Дальнейшей разработкой теории пределов занимались Вейерштрасс и Больцано.

С помощью теории пределов в первой половине XIX века было, в частности, обосновано использование в анализе бесконечных рядов, которые явились удобным аппаратом для построения новых функций.

Символ предела

Общепринятый символ предела $\underset{x\to a}{\lim }f(x)$ был предложен Симоном Люилье (1787 год) в следующем формате: $\mathrm{lim.}x:a;$ это обозначение получило поддержку Коши (1821). Точка после Шаблон:Big вскоре исчезла. Близкое к современному обозначение предела ввёл Вейерштрасс, хотя вместо привычной нам стрелки он использовал знак равенства: ${\mathrm{Lim}}_{x=a}$. Стрелка появилась в начале XX века сразу у нескольких математиков.

Обозначения для одностороннего предела вида $\underset{x\to a+0}{\lim }f(x)$ первым предложил Дирихле (1837) в виде: $f(a+0),f(a-0).$ Мориц Паш (1887) ввёл другие важные понятия — верхнего и нижнего предела, которые записывал в виде: $\lim \sup$ и $\lim \inf$ соответственно. За рубежом эта символика стала стандартной, а в отечественной литературе преобладают другие обозначения: $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\bar{\lim }}{x}_n,\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\underset{―}{\lim }}{x}_n,$ введенные Альфредом Прингсхаймом в 1898 году.

Предел последовательности

Шаблон:Main Пределом последовательности называют объект, к которому члены последовательности в некотором смысле стремятся или приближаются с ростом порядкового номера.

Число $a$ называется пределом последовательности $x_1,x_2,...,x_n,...$, если

$\mathrm{\forall }\epsilon >0\text{, }\mathrm{\exists }N(\epsilon )\text{, }\mathrm{\forall }n>N(\epsilon )|x_n-a|<\epsilon$.

• $\mathrm{\forall }$ — квантор всеобщности;
• $\mathrm{\exists }$ — квантор существования.

Предел последовательности обозначается $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n$. Допускается обозначение $\lim x_n$.Шаблон:Нет АИ

Свойства:

• Если предел последовательности существует, то он единственный.
• $\lim c=c$$,c=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}.$
• $\lim (x_n+y_n)=\lim x_n+\lim y_n$ (если оба предела существуют)
• $\lim (q{x}_n)=q\lim x_n$ $,q=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}.$
• $\lim (x_n{y}_n)=\lim x_n\lim y_n$ (если оба предела существуют)
• $\lim (x_n/y_n)=\lim x_n/\lim y_n$ (если оба предела существуют и знаменатель правой части не ноль)
• Если $a_n>x_n>b_n\mathrm{\forall }n$ и $\lim a_n=\lim b_n$ , то $\lim x_n=\lim a_n=\lim b_n$ (теорема «о зажатой последовательности», также известная, как «теорема о двух милиционерах»)

Предел функции

График функции, предел которой при аргументе, стремящемся к бесконечности, равен $L$.

Шаблон:Main Функция $f(x)$ имеет предел $A$ в точке $x_0$, если для всех значений $x$, достаточно близких к $x_0$, значение $f(x)$ близко к $A$.

Число b называется пределом функции $f(x)$ в точке $a$, если $\mathrm{\forall }\epsilon >0$ существует $\delta >0$, такое что $\mathrm{\forall }x,0<|x-a|<\delta$ выполняется $|f(x)-b|<\epsilon$.

Для пределов функций справедливы свойства, аналогичные пределам последовательностей, например, $\underset{x\to x_0}{\lim }(f(x)+g(x))=\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)+\underset{x\to x_0}{\lim }g(x)$ — предел суммы равен сумме пределов, если все пределы существуют.

Понятие предела последовательности на языке окрестностей

Пусть $X$ — некоторое множество, на котором определено понятие окрестности $U$ (например, метрическое пространство). Пусть $x_i\in X$ — последовательность точек (элементов) этого множества. Говорят, что $x\in X$ есть предел этой последовательности, если вне любой окрестности точки $x$ лежит конечное число членов последовательности, или $\mathrm{\forall }U(x)\mathrm{\exists }n,\mathrm{\forall }i>n{x}_i\in U(x)$

Замечательные пределы

Шаблон:Main Замечательные пределы — термины, использующиеся в советских и российских учебниках по математическому анализу для обозначения двух широко известных математических тождеств со взятием предела:

• Первый замечательный предел:

  $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1.$

• Второй замечательный предел:

  $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{1}{x})}^x=e.$

Замечательные пределы и их следствия используются при раскрытии неопределённостей для нахождения других пределов.

Вариации и обобщения

• Ультрапредел — конструкция, позволяющая определить предел для широкого класса математических объектов. В частности, она работает для числовых последовательностей и последовательностей точек в метрическом пространстве, допускает обобщения на последовательности  метрических пространств и последовательности функций на них. Эта конструкция часто используется, чтобы избежать многократного перехода к подпоследовательности. Эта конструкция использует существование неглавного ультрафильтра, доказательство которого в свою очередь использует аксиому выбора.

См. также

• Частичный предел
• Фундаментальная последовательность
• Ряд
• Неопределённости пределов
• Сравнение бесконечно малых величин
• Последовательность
• Список пределов

Литература

• Шаблон:Книга