Метрическое пространство

Шаблон:Не путать Шаблон:Значения Шаблон:Значения Метри́ческое простра́нство — множество вместе со способом измерения расстояния между его элементами — метрикой. Является центральным понятием геометрии и топологии. Впервые понятие ввёл в 1906 году Морис Фреше в связи с рассмотрением функциональных пространств^[1].

Определения

Пара $(M, d)$ , состоящая из множества $M$ и функции $d : M \times M \to ℝ$ из его декартова квадрата в множество вещественных чисел, называется метрическим пространством, еслиШаблон:Sfn:

$d (x, y) = 0 \Leftrightarrow x = y$ (аксиома тождества);
$d (x, y) ⩾ 0$ (аксиома неотрицательности);
$d (x, y) = d (y, x)$ (аксиома симметричности);
$d (x, z) ⩽ d (x, y) + d (y, z)$ (аксиома треугольника или неравенство треугольника).

В этом случае:

множество $M$ называется подлежащим множеством или носителем метрического пространства;
функция $d$ называется метрикой или функцией расстояния;
элементы множества $M$ называются точками метрического пространства;
иногда дополнительно предполагается, что множество $M$ непусто.

Требование неотрицательности значений метрики является избыточным, оно следует из аксиом:

0 = d (x, x) ⩽ d (x, y) + d (y, x) = 2 \cdot d (x, y)

.

Аксиомы тождества и данного неравенства треугольника вместе взятые, эквивалентны следующему варианту неравенства треугольника:

d (x, y) ⩽ d (x, z) + d (y, z)

.

Эти условия выражают интуитивные понятия о концепции расстояния и поэтому называются аксиомами расстояния^[2]. Например, что расстояние между различными точками положительно и расстояние от $x$ до $y$ то же самое, что и расстояние от $y$ до $x$ . Неравенство треугольника означает, что расстояние от $x$ до $z$ через $y$ не меньше, чем прямо от $x$ до $z$ .

Обозначения

Обычно расстояние между точками $x$ и $y$ в метрическом пространстве $M$ обозначается $d (x, y)$ или $ρ (x, y)$ .

В метрической геометрии принято обозначение $| x y |$ или $| x y |_{M}$ , если необходимо подчеркнуть, что речь идёт о $M$ . Также употребляются обозначения $| x - y |$ и $| x - y |_{M}$ (несмотря на то, что выражение $x - y$ для точек $x$ и $y$ не имеет смысла).

В классической геометрии приняты обозначения $X Y$ или $| X Y |$ (точки обычно обозначают заглавными латинскими буквами).

Связанные определения

Биекция между различными метрическими пространствами $(X, d_{X})$ и $(Y, d_{Y})$ , сохраняющая расстояния, называется изометрией. В этом случае пространства $(X, d_{X})$ и $(Y, d_{Y})$ называются изометричными.

Если $x_{n} \in X$ , $x \in X$ и $d (x_{n}, x) \to 0$ при $n \to \infty$ , то говорят, что $x_{n}$ сходится к $x$ : $x_{n} \to x$ ^[3].

Если $M$ подмножество множества $X$ , то, рассматривая сужение $d_{M} = d_{X} |_{M}$ метрики $d_{X}$ на множество $M$ , можно получить метрическое пространство $(M, d_{M})$ , которое называется подпространством пространства $(X, d)$ .

Метрическое пространство называется полным, если любая фундаментальная последовательность в нём сходится к некоторому элементу этого пространства.

Шаблон:ЯкорьМетрика $d$ на $M$ называется внутренней, если любые две точки $x$ и $y$ в $M$ можно соединить кривой с длиной, произвольно близкой к $d (x, y)$ . Пространство называется геодезическим если любые две точки $x$ и $y$ в $M$ можно соединить кривой с длиной, равной $d (x, y)$ .

Любое метрическое пространство обладает естественной топологией, базой для которой служит множество открытых шаров, то есть множеств следующего типа:

B (x; r) = {y \in M ∣ d (x, y) < r}

,

где $x$ есть точка в $M$ и $r$ — положительное вещественное число, называемое радиусом шара. Иначе говоря, множество $O$ является открытым, если вместе с любой своей точкой оно содержит открытый шар с центром в этой точке.

Две метрики, определяющие одну и ту же топологию, называются эквивалентными.

Топологическое пространство, которое может быть получено таким образом, называется метризируемым.

Расстояние $d (x, S)$ от точки $x$ до подмножества $S$ в $M$ определяется по формуле:

d (x, S) = \inf {d (x, s) ∣ s \in S}

.

Тогда $d (x, S) = 0$ , только если $x$ принадлежит замыканию $S$ .

Примеры

Дискретная метрика: $d (x, y) = 0$ , если $x = y$ , и $d (x, y) = 1$ во всех остальных случаях.

Вещественные числа с функцией расстояния $d (x, y) = | y - x |$ и евклидово пространство являются полными метрическими пространствами.

Расстояние городских кварталов: $d (𝐩, 𝐪) = ‖ 𝐩 - 𝐪 ‖ = \sum_{i = 1}^{n} | p_{i} - q_{i} |$ , где $𝐩 = (p_{1}, p_{2}, \dots, p_{n})$ , $𝐪 = (q_{1}, q_{2}, \dots, q_{n})$ — векторы.

В пространстве $F (X, Y)$ непрерывных и ограниченных отображений из топологического пространства $X$ в метрическое пространство $Y$ расстояние между двумя отображениями $f_{1}$ и $f_{2}$ определяется как:

d_{F} (f_{1}, f_{2}) = \sup {d_{Y} (f_{1} (x), f_{2} (x)) : x \in X}

.

Сходимость отображений по этой метрике равнозначна их равномерной сходимости на всём пространстве $X$ .

В частном случае, когда $X$ — компактное пространство, $Y$ — числовая прямая, получается пространство $C (X)$ всех непрерывных функций на пространстве $X$ с метрикой равномерной сходимости.

Пусть $L ([a, b])$ , $R ([a, b])$ , $C ([a, b])$ — пространства функций на отрезке $[a, b]$ , соответственно интегрируемых по Лебегу, интегрируемых по Риману, и непрерывных. В них расстояние можно определить по формуле:

d (f_{1}, f_{2}) = \int_{a}^{b} | f_{1} (x) - f_{2} (x) | d x

.

Для того, чтобы эта функция стала метрикой, в первых двух пространствах необходимо отождествить функции, отличающиеся на множестве меры 0. В противном случае эта функция будет всего лишь полуметрикой. (В пространстве функций, непрерывных на отрезке, функции, отличающиеся на множестве меры 0, и так совпадают.)

В пространстве $k$ раз непрерывно дифференцируемых функций $C^{k} ([a, b])$ метрика вводится по формуле:

d_{k} (f_{1}, f_{2}) = \max {d_{0} (f_{1}, f_{2}), d_{0} (f'_{1}, f'_{2}), \dots, d_{0} (f_{1}^{(k)}, f_{2}^{(k)})}

,

где $d_{0}$ — метрика равномерной сходимости на $C ([a, b])$ (см. выше).

Любое нормированное пространство можно превратить в метрическое, определив функцию расстояния

d (x, y) = ‖ y - x ‖

.

Конечномерные пространства такого типа называются пространством Минковского. В случае размерности, равной двум — плоскостью Минковского.

Если $(p_{n})_{n \in N}$ является последовательностью полунорм, определяющих (локально выпуклое) топологическое векторное пространство $E$ , то:

d (x, y) = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{2^{n}} \frac{p_{n} (x - y)}{1 + p_{n} (x - y)}

является метрикой, определяющей ту же топологию. (Можно заменить $\frac{1}{2^{n}}$ на любую суммируемую последовательность $(a_{n})$ строго положительных чисел.)

Любое связное риманово многообразие $M$ можно превратить в метрическое пространство, определив расстояние как точную нижнюю грань длин путей, соединяющих пару точек.

Множество вершин любого связного графа $G$ можно превратить в метрическое пространство, определив расстояние как минимальное число рёбер в пути, соединяющем вершины. Более общо: если каждому ребру графа приписать положительное число (длину ребра), расстояние между вершинами можно определить как минимальную сумму длин рёбер вдоль любых путей из одной вершины в другую. Частным случаем является так называемая французская железнодорожная метрика, которую нередко приводят в качестве примера метрики, не порождённой нормой.

Расстояние редактирования графа определяет функцию расстояния между графами.

Расстояние Хэмминга применяется в теории кодирования.

Шаблон:Не переведено 5, такие как расстояние Левенштейна и другие расстояния редактирования текста определяют расстояние над строками.

Множество компактных подмножеств $K (M)$ любого метрического пространства $M$ можно превратить в метрическое пространство, определив расстояние с помощью так называемой метрики Хаусдорфа. В этой метрике два подмножества близки друг к другу, если для любой точки одного множества можно найти близкую точку в другом подмножестве. Точное определение:

D (X, Y) = \inf {r | \begin{matrix} \forall x \in X \exists y \in Y : d (x, y) < r \\ \forall y \in Y \exists x \in X : d (x, y) < r \end{matrix}}

.

Множество всех компактных метрических пространств (с точностью до изометрии) можно превратить в метрическое пространство, определив расстояние с помощью так называемой метрики Громова — Хаусдорфа.

Метрика Васерштейна определяет расстояние между двумя распределениями вероятностей.

Конструкции

Декартово произведение метрических пространств может быть наделено структурой метрического пространства многими способами, например:

d_{X \times Y} ((x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2})) = d_{X} (x_{1}, x_{2}) + d_{Y} (y_{1}, y_{2})

,

d_{X \times Y} ((x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2})) = \sqrt{d_{X} (x_{1}, x_{2})^{2} + d_{Y} (y_{1}, y_{2})^{2}}

,

d_{X \times Y} ((x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2})) = \max {d_{X} (x_{1}, x_{2}), d_{Y} (y_{1}, y_{2})}

.

Эти метрики эквивалентны друг другу.

Свойства

Метрическое пространство компактно тогда и только тогда, когда из любой последовательности точек можно выбрать сходящуюся подпоследовательность (секвенциальная компактность).

Метрическое пространство может не иметь счётной базы, но всегда удовлетворяет первой аксиоме счётности — имеет счётную базу в каждой точке. Более того, каждый компакт в метрическом пространстве имеет счётную базу окрестностей. Сверх того, в каждом метрическом пространстве существует такая база, что каждая точка пространства принадлежит лишь счётному множеству её элементов — точечно-счётная база (но это свойство слабее метризуемости даже в присутствии паракомпактности и хаусдорфовости).

Метрические пространства с короткими отображениями образуют категорию, обычно обозначаемую Met.

Вариации и обобщения

Для данного множества $M$ , функция $d : M \times M \to ℝ$ называется псевдометрикой или полуметрикой на $M$ если для любых точек $x, y, z$ из $M$ она удовлетворяет следующим условиям:

d (x, x) = 0

;

d (x, y) = d (y, x)

(симметрия);

d (x, z) ⩽ d (x, y) + d (y, z)

(неравенство треугольника).

То есть, в отличие от метрики, различные точки в $M$ могут находиться на нулевом расстоянии. Псевдометрика естественно определяет метрику на факторпространстве $M / \sim$ , где $x \sim y ⟺ d (x, y) = 0$ .

Для данного множества $M$ функция $d : M \times M \to ℝ$ называется квазиметрикой, если для любых точек $x$ , $y$ , $z$ из $M$ она удовлетворяет следующим условиям:

d (x, x) = 0

;

d (x, y) ⩽ c \cdot d (y, x)

(квазисимметрия);

d (x, z) ⩽ c \cdot (d (x, y) + d (y, z))

(обобщённое неравенство треугольника).

Метрика на пространстве называется ультраметрикой, если она удовлетворяет сильному неравенству треугольника:

Для всех

x

,

y

и

z

в

M

d (x, z) ⩽ \max (d (x, y), d (y, z))

.

Иногда удобно рассматривать $\infty$ -метрики, то есть метрики со значениями $[0; \infty]$ . Для любой $\infty$ -метрики можно построить конечную метрику, которая определяет ту же топологию. Например,

d^{'} (x, y) = \frac{d (x, y)}{1 + d (x, y)}

или

d^{″} (x, y) = \min (1, d (x, y))

.

Также для любой точки $x$ такого пространства множество точек, находящихся от неё на конечном расстоянии, образует обычное метрическое пространство, называемое метрической компонентой $x$ . В частности, любое пространство с $\infty$ -метрикой можно рассматривать как набор обычных метрических пространств и определить расстояние между любой парой точек в разных пространствах равным $\infty$ .

Иногда квазиметрика определяется как функция, удовлетворяющая всем аксиомам для метрики за возможным исключением симметрииШаблон:Sfn Шаблон:Sfn. Название этого обобщения не вполне устоялосьШаблон:Sfn. В своей книге СмитШаблон:Sfn называет их «полуметриками». Тот же термин используется часто также для двух других обобщений метрик.

d (x, y) ⩾ 0

(положительность)

d (x, y) = 0 ⟺ x = y

(положительная определённость)

~~d(x, y)=d(y, x)~~ (симметрия вычеркнута)

d (x, z) ⩽ d (x, y) + d (y, z)

(неравенство треугольника)

Примеры квазиметрики встречаются в реальной жизни. Например, если дано множество $X$ горных сёл, время прогулки между элементами $X$ образует квазиметрику, поскольку восхождение вверх занимает больше времени, чем спуск вниз. Другим примером является топология городских кварталов, имеющих улицы с односторонним движением, когда путь из точки $A$ в точку $B$ состоит из различного набора улиц по сравнению с путём из $B$ в $A$ .

В метаметрике все аксиомы метрики выполняются, за исключением того, что расстояние между идентичными точками не обязательно равно нулю. Другими словами, аксиомами для метаметрики являются:

d (x, y) ⩾ 0

из

d (x, y) = 0

следует

x = y

(но не наоборот.)

d (x, y) = d (y, x)

d (x, z) ⩽ d (x, y) + d (y, z)

.

Метаметрики появляются при изучении гиперболических метрических пространств Громова и их границ. Визуальная метаметрика на таком пространстве удовлетворяет равенству $d (x, x) = 0$ для точек $x$ на границе, но в противном случае $d (x, x)$ примерно равно расстоянию от $x$ до границы. Метаметрики первым определил Юсси ВяйсяляШаблон:Sfn.

Ослабление последних трёх аксиом ведёт к понятию преметрики, то есть функции, удовлетворяющей условиям:

d (x, y) ⩾ 0

d (x, x) = 0

Термин не устоялся, иногда он используется для обобщения других метрик, таких как псевдополуметрикиШаблон:Sfn или псевдометрикиШаблон:Sfn. В русскоязычной литературе (и в переводах с русского) этот термин иногда появляется как «праметрика»Шаблон:Sfn Шаблон:Sfn.

Любая преметрика приводит к топологии следующим образом. Для положительного вещественного $r$ определяется $r$ -шар с центром в точке $p$ как:

B_{r} (p) = {x ∣ d (x, p) < r}

.

Множество называется открытым, если для любой точки $p$ в множестве существует $r$ -шар с центром в $p$ , который содержится в множестве. Любое преметрическое пространство является топологическим пространством и, фактически, секвенциальным пространством. В общем случае сами $r$ -шары не обязаны быть открытыми множествами согласно этой топологии. Как и для метрик, расстояние между двумя множествами $A$ и $B$ определяется как:

d (A, B) = \inf_{x \in A, y \in B} d (x, y)

.

Это определяет преметрику на булеане преметрического пространства. Если начинать с (псевдополу-)метрического пространства, то получается псевдополуметрика, то есть, симметричную преметрика. Любая преметрика приводит к Шаблон:Не переведено 5 $cl$ :

cl (A) = {x ∣ d (x, A) = 0}

.

Префиксы псевдо-, квази- и полу- могут комбинироваться, например, псевдоквазиметрика (иногда называемая гемиметрикой) ослабляет как аксиому неразличимости, так и аксиому симметрии, и является просто преметрикой, удовлетворяющей неравенству треугольника. Для псевдоквазиметрических пространств открытые $r$ -шары образуют базис открытых множеств. Простейшим примером псевдоквазиметрического пространства служит множество ${0, 1}$ с преметрикой, задаваемой функцией $d$ , такой что $d (0, 1) = 1$ и $d (1, 0) = 0$ . Ассоциированное топологическое пространство является пространством Серпинского.

Множества, оснащённые расширенной псевдоквазиметрикой, изучал Уильям Ловер как «обобщённые метрические пространства»Шаблон:Sfn Шаблон:Sfn. С категорной точки зрения расширенные псевдометрические пространства и расширенные псевдоквазиметрические пространства вместе с их соответствующими нерасширяющимися отображениями лучше всего ведут себя на категориях метрических пространств. Можно взять произвольные произведения и копроизведения и образовать фактор-объект с данной категорией. Если опустить слово «расширенная», можно взять только конечные произведения и копроизведения. Если опустить «псевдо», нельзя будет получить фактор-объекты. Шаблон:Не переведено 5 являются обобщением метрических пространств, учитывающим эти хорошие категориальные свойства.

Линейное пространство $V (F)$ называется линейным метрическим пространством, если в нём задано расстояние между его элементами и алгебраические операции непрерывны в его метрике, то есть^[3]:

x_{n} \to x, y_{n} \to y \Rightarrow x_{n} + y_{n} \to x + y

x_{n} \to x, λ_{n} \to λ \Rightarrow λ_{n} x_{n} \to λ x

Пример: линейное пространство всех комплексных последовательностей можно превратить в линейное метрическое пространство при помощи введения расстояния между его элементами с помощью формулы:

d (x, y) = \sum_{i = 1}^{\infty} \frac{1}{2^{i}} \frac{| x_{i} - y_{i} |}{1 + | x_{i} - y_{i} |}

.

Гиперметрическое пространство — метрическое пространство в котором выполнены гиперметрические неравенства. То есть:

\sum_{i < j} b_{i} \cdot b_{j} \cdot | x_{i} - x_{j} | \leq 0

для любых точек $x_{1}, \dots, x_{n}$ и целых чисел $b_{1}, \dots, b_{n}$ таких, что $\sum b_{i} = 1$ .^[4] При $b_{1} = b_{2} = 1$ и $b_{3} = - 1$ гиперметрическое неравенство превращается в обычное неравенство треугольника:

| x_{1} - x_{2} | - | x_{1} - x_{3} | - | x_{2} - x_{3} | \leq 0 .

Пример гиперметрического пространства: $ℓ_{1}$ -пространство.

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

Шаблон:Книга
Васильев Н. Метрические пространства. — Квант. — 1990. — № 1.
Васильев Н. Метрические пространства. — Квант. — 1970. — № 10.
Шаблон:Книга
Скворцов В. А. Примеры метрических пространств // Библиотека «Математическое просвещение» Шаблон:Wayback. — 2001. — Выпуск 9.
Шрейдер Ю. А. Что такое расстояние? // «Популярные лекции по математике». — Шаблон:М.: Физматгиз, 1963 г. — Выпуск 38. — 76 с.
Шаблон:Citation; reprinted with added commentary from Шаблон:Citation
Шаблон:Публикация
Шаблон:Citation
Шаблон:Citation
Шаблон:Citation
Шаблон:Citation
Шаблон:Citation Шаблон:Wayback
Шаблон:Публикация
Шаблон:Публикация
Шаблон:Книга

Ссылки

Шаблон:Навигация

Шаблон:Топология

↑ Fréchet M. Sur quelques points du calcul fonctionnel. — Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo. — 1906. — 22. — pp. 1—74.
↑ Кудрявцев Л. Д. Математический анализ. II том. — М., Высшая школа, 1970. — с. 296
↑ ^3,0 ^3,1 Крейн С. Г. Функциональный анализ. — М., Наука, 1972. — с. 22-24
↑ M. M. Deza, M. Laurent, Geometry of cuts and metrics, Algorithms and Combinatorics, 15, Springer-Verlag, Berlin, 1997.

[1] Fréchet M. Sur quelques points du calcul fonctionnel. — Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo. — 1906. — 22. — pp. 1—74.

[2] Кудрявцев Л. Д. Математический анализ. II том. — М., Высшая школа, 1970. — с. 296

[Krein-3] 3,0 ^3,1 Крейн С. Г. Функциональный анализ. — М., Наука, 1972. — с. 22-24

[4] M. M. Deza, M. Laurent, Geometry of cuts and metrics, Algorithms and Combinatorics, 15, Springer-Verlag, Berlin, 1997.

[1]

[2]

[3]

[4]