Полное метрическое пространство

Полное метрическое пространство (также полное по Коши́) — метрическое пространство, в котором каждая фундаментальная последовательность сходится (к элементу того же пространства)Шаблон:Sfn.

В большинстве случаев рассматривают именно полные метрические пространства. Для неполных пространств существует операция пополнения, дающая возможность рассматривать исходное пространство как плотное множество в своём пополнении. Операция пополнения во многом аналогична операции замыкания для подмножеств.

Пополнение

Всякое метрическое пространство $X=(X,\rho )$ можно вложить в полное пространство $Y$ таким образом, что метрика $Y$ продолжает метрику $X$, а подпространство $X$ всюду плотно в $Y$. Такое пространство $Y$ называется пополнением $X$ и обычно обозначается $\overline{X}$.

Построение

Для метрического пространства $X=(X,\rho )$, на множестве фундаментальных последовательностей в $X$ можно ввести отношение эквивалентности

$(x_n)\sim (y_n)\iff \lim \rho (x_n,y_n)=0.$

Множество классов эквивалентности $\overline{X}$ с метрикой, определённой

$\overline{\rho }((x_n),(y_n))=\lim \rho (x_n,y_n),$

является метрическим пространством. Само пространство $(X,\rho )$ изометрически вкладывается в него следующим образом: точке $x\in X$ соответствует класс постоянной последовательности $x_n=x$. Получившееся пространство $(\overline{X},\overline{\rho })$ и будет пополнением $X$.

Свойства

• Пополнение метрического пространства единственно, с точностью до изометрии.
• Пополнение метрического $M$ пространства изометрично замыканию образа при вложении Куратовского
• Полнота наследуется замкнутыми подмножествами полного метрического пространства.
• Полные метрические пространства являются пространствами второй категории Бэра. То есть если полное пространство исчерпывается счётным объединением замкнутых множеств, то хотя бы у одного из них есть внутренние точки.
• Метрическое пространство $X$ компактно тогда и только тогда, когда оно полно и вполне ограничено; то есть, для любого $\epsilon >0$ пространство $X$ можно покрыть конечным числом шаров радиуса $\epsilon$.
• Теорема Банаха о неподвижной точке. Сжимающие отображения полного метрического пространства в себя имеют неподвижную точку.
• Полнота метрического пространства не является топологическим свойством. То есть полное метрическое пространство может оказаться не полным при замене метрики на эквивалентную, то есть метрику, порождающую ту же топологию, что и исходная метрика.
  • Топологическим свойством является наличие хотя бы одной полной метрики в классе метрик, порождающих топологию метрического пространства (так называемая метрическая топологическая полнота или метризуемость полной метрикой).

Примеры

Полные метрические пространства

• Множество вещественных (действительных) чисел $ℝ$ полно в стандартной метрике $d(x,y)=|x-y|$ — естественная метрика на числовой оси.
• Множество ${ℝ}^n$ с заданной на нём метрикой $d_2(x,y)=\sqrt{\sum _{i=1}^n{(x-y)}^2}$ — евклидова метрика (или $l_2$-метрика);
• Вообще, любое конечномерное евклидово или унитарное пространство полноШаблон:Sfn.
• Свойство полноты является обязательным в определении банахова пространства, в частности гильбертова пространства.
• Пространство непрерывных на отрезке функций с равномерной метрикой является полным метрическим пространством, а потому является банаховым, если рассматривать его как нормированное линейное пространство.

Неполные метрические пространства

• Рациональные числа $\mathbb{Q}$ со стандартным расстоянием $d(x,y)=|x-y|$ являются неполным метрическим пространством. Результатом пополнения этого пространства будет множество всех вещественных чисел $ℝ$.
• Также, рациональные числа могут быть снабжены p-адическим нормированием, пополнение по которому приводит к полю p-адических чисел ${\mathbb{Q}}_p$.
• Пространство интегрируемых (по Риману) на отрезке функций в интегральной метрике $d(f,g)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}|f(x)-g(x)|dx$. Результатом пополнения этого пространства будет пространство интегрируемых по Лебегу функций, заданных на том же отрезке.

Вариации и обобщения

• Если $X$ имеет алгебраическую структуру, согласованную с метрикой, например топологического кольца, то эта структура естественным образом переносится и на его пополнение.

Литература

• Шаблон:Книга IX, §5.
• Шаблон:Книга