Унитарное пространство

Унитарное пространство — векторное пространство над полем комплексных чисел с положительно определённым эрмитовым скалярным произведением, комплексный аналог евклидова пространства.

Определение

Эрмитовым скалярным произведением в векторном пространстве $𝕃$ над полем комплексных чисел называется полуторалинейная форма $⟨\cdot ,\cdot ⟩:𝕃\times 𝕃\to ℂ,$ удовлетворяющая дополнительному условию:

• $(\mathrm{\forall }𝐱,𝐲\in 𝕃)⟨𝐱,𝐲⟩=\overline{⟨𝐲,𝐱⟩},$ где $\mathrm{\forall }$ — квантор всеобщности.

Другими словами, это означает, что функция $⟨\cdot ,\cdot ⟩:𝕃\times 𝕃\to ℂ,$ удовлетворяющая следующим условиям:

• 1) линейность скалярного произведения по первому аргументу:

$\mathrm{\forall }{𝐱}_{\mathrm{𝟏}},{𝐱}_{\mathrm{𝟐}},𝐲\in 𝕃$ и $\mathrm{\forall }\alpha ,\beta \in ℂ$ справедливы равенства:

$⟨\alpha {𝐱}_1+\beta {𝐱}_2,𝐲⟩=\alpha ⟨{𝐱}_1,𝐲⟩+\beta ⟨{𝐱}_2,𝐲⟩;$

(иногда в определении вместо этого берут линейность по второму аргументу, что не принципиально, потому что за счёт условия $(\mathrm{\forall }𝐱,𝐲\in 𝕃)⟨𝐱,𝐲⟩=\overline{⟨𝐲,𝐱⟩}$ они равносильны)

• 2) эрмитовость скалярного произведения:

$\mathrm{\forall }𝐱,𝐲\in 𝕃$ справедливо равенство $\mathbf{⟨}𝐲,𝐱\mathbf{⟩}\mathbf{=}\overline{\mathbf{⟨}𝐱,𝐲\mathbf{⟩}};$

• 3) положительная определённость скалярного произведения:

$(\mathrm{\forall }𝐱\in 𝕃)$ $⟨𝐱,𝐱⟩\in ℝ$ и $⟨𝐱,𝐱⟩\ge 0,$ причём $⟨𝐱,𝐱⟩=0$ только при $𝐱\mathbf{=}\mathrm{𝟎}.$

Свойства

• Над действительным пространством условие полуторалинейности эквивалентно билинейности, а эрмитовость — симметричности, и скалярное произведение становится положительно определенной билинейной симметричной функцией $⟨\cdot ,\cdot ⟩:𝕃\times 𝕃\to ℝ$.
• Полуторалинейная форма $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ является эрмитовой тогда и только тогда, когда для всех векторов $x\in 𝕃$ функция $f(𝐱)=⟨𝐱,𝐱⟩$ принимает только вещественные значения.

Отличия от евклидова пространства

Унитарные пространства обладают всеми свойствами евклидовых пространств, за исключением четырёх отличий:

1. $(𝐱,\alpha 𝐲)=\bar{\alpha }(𝐱,𝐲);$
2. неравенство Коши — Буняковского: ${\left|\mathbf{(}𝐱,𝐲\mathbf{)}\right|}^2⩽\mathbf{(}𝐱,𝐱\mathbf{)}\mathbf{(}𝐲,𝐲\mathbf{)};$
3. понятие угла не имеет содержательного смысла;
4. Матрица Грама $\mathrm{\Gamma }(f)=f^{T}f$ системы векторов $f$ является эрмитовой $\mathrm{\Gamma }={\mathrm{\Gamma }}^{*}.$

Литература

• Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре М.: Наука, 1971.
• Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.