Полуторалинейная форма

Полуторалинейная форма — обобщение понятия билинейной формы. Как правило под полуторалинейной формой подразумевают функцию f(x, y) от двух векторов векторного пространства $V$ над полем $ℂ$ со значениями в этом поле, если она линейная как функция $x$ при каждом фиксированном $y$ и полулинейная как функция $y$ при каждом фиксированном $x$. Требование полулинейности по $y$ означает, что выполнены следующие условия:

• $f(x,y_1+y_2)=f(x,y_1)+f(x,y_2)\mathrm{\forall }x,y_i\in V,$
• $f(x,\alpha y)=\bar{\alpha }f(x,y)\mathrm{\forall }x,y\in V,\alpha \in ℂ.$

Так определённые формы естественным образом возникают в приложениях к физике.

Существует обобщение на случай, когда векторное пространство рассматривается над произвольным полем, тогда комплексное сопряжение заменяется на произвольный фиксированный автоморфизм поля. В проективной геометрии иногда рассматривают ещё большее обобщение, когда вместо векторного пространства используется модуль над произвольным телом $K$.

Договорённости о порядке аргументов

В приведённом в преамбуле определении выполнена линейность по первому аргументу и полулинейность по второму. Такая договорённость часто используется в математической литературе. Стоит, однако, отметить, что в физической литературе чаще используется полулинейность по первому аргументу, эта договорённость проистекает из введённых Дираком в квантовой механике обозначений бра и кет.

В комплексном векторном пространстве

Отображение $\phi :V\times V\to ℂ$ в комплексном векторном пространстве $V$ называется полуторалинейным, если:

$\begin{array}{cc}& \phi (x+y,z+w)=\phi (x,z)+\phi (x,w)+\phi (y,z)+\phi (y,w)\\ & \phi (ax,by)=a\bar{b}\phi (x,y)\end{array}$

для всех $x,y,z,w\in V$ и всех $a,b\in ℂ.$ Здесь под $\bar{b}$ подразумевается число, комплексно сопряжённое к числу $b.$

Комплексную полуторалинейную форму можно также рассматривать как комплексное билинейное отображение $$V\times \bar{V}\to ℂ,$$ где $\bar{V}$ — комплексно-сопряжённое векторное пространство к пространству $V.$

Для фиксированного $w\in V$ отображение $z\mapsto \phi (z,w)$ является линейным функционалом на $V$, то есть элементом двойственного пространства $V^{\ast }$. Аналогично, отображение $w\mapsto \phi (z,w)$ при фиксированном $z$ является антилинейным функционалом на $V.$

Для любой комплексной полуторалинейной формы $\phi$ можно рассмотреть вторую форму $\psi$ по формуле: $$\psi (w,z)=\overline{\phi (z,w)}.$$ В общем случае $\psi$ и $\phi$ будут различны, а их матрицы эрмитово-сопряжены. Если формы совпадают, говорят, что $\phi$ эрмитова. Аналогично, если они противоположны друг другу, то говорят, что $\phi$ косоэрмитова.

Матричное представление

Пусть $V$ — конечномерное комплексное векторное пространство, тогда для любого базиса ${\left\{e_i\right\}}_i$ полуторалинейную форму $\phi$ можно представить при помощи матрицы $\mathrm{\Phi }$ по следующей формуле: $$\phi (w,z)=\phi (\sum _i{w}_i{e}_i,\sum _j{z}_j{e}_j)=\sum _i\sum _j{w}_i\overline{z_j}\phi (e_i,e_j)=w^{\mathrm{T}}\mathrm{\Phi }\bar{z}.$$ Элементы матрицы $\mathrm{\Phi }$ определяются из условия ${\mathrm{\Phi }}_{ij}:=\phi (e_i,e_j).$

Эрмитовы формы

Эрмитова форма (также полуторалинейная симметрическая форма) — это полуторалинейная форма $h:V\times V\to ℂ$ на комплексном пространстве $V$ такая, что $$h(w,z)=\overline{h(z,w)}.$$

В случае положительной определённости такой формы (определяемой аналогично билинейному случаю) говорят об эрмитовом скалярном произведении. Стандартное эрмитово произведение задаётся формулой $$⟨w,z⟩=\sum _{i=1}^n{w}_i{\bar{z}}_i.$$

Пару из векторного пространства и определённой на нём эрмитовой формы $(V,h)$ называют эрмитовым пространством, а в положительно определённом случае — комплексным гильбертовым пространством. При записи эрмитовой формы в произвольном базисе получается эрмитова матрица.

При применении эрмитовой формы к одному и тому же вектору $$|z{|}_h=h(z,z)$$ всегда получается вещественное число. Можно показать, что комплексная полуторалинейная форма эрмитова тогда и только тогда, когда соответствующая квадратичная форма вещественна для всех $z\in V.$

Косоэрмитовы формы

Косоэрмитова форма — это полуторалинейная форма $s:V\times V\to ℂ$ на комплексном пространстве $V$ такая, что $$s(w,z)=-\overline{s(z,w)}.$$ Каждую косоэрмитову форму можно представить как эрмитову, умноженную на $i$.

При записи косоэрмитовой формы в произвольном базисе получается косоэрмитова (антиэрмитова) матрица.

При применении косоэрмитовой формы к одному и тому же вектору $$|z{|}_s=s(z,z)$$ всегда получается чисто мнимое число.

Над кольцом с делением

Понятие полуторалинейной формы допускает обобщение на произвольное кольцо с делением. В коммутативном случае это область целостности, в некоммутативном чаще всего используется частный случай, когда кольцо является телом. В коммутативном случае в дальнейшем тексте все антиавтоморфизмы можно считать просто автоморфизмами, так как эти понятия совпадают для коммутативных колец.

Определение

Пусть $K$ — кольцо с делением, а $\sigma$ — фиксированный Шаблон:Нп5 этого кольца. Тогда $\sigma$-полуторалинейная форма на левом $K$-модуле $M$ — это билинейное отображение $\phi :M\times M\to K$ такое, что для любых $x,y$ из модуля $M$ и любых скаляров $\alpha ,\beta$ из $K$ выполнено:

$\phi (x\alpha ,y\beta )=\alpha \phi (x,y)\sigma (\beta ).$

Ортогональное дополнение

Для данной полуторалинейной формы $\phi$ на модуле $M$ и подмодуля $W$ модуля $M$ ортогональным дополнением $W$ называется

$W^{\perp }=\{𝐯\in M\mid \phi (𝐯,𝐰)=0,\mathrm{\forall }𝐰\in W\}.$

Аналогично, говорят, что элемент $x\in M$ ортогонален элементу $y\in M$ по отношению к форме $\phi$, если $\phi (x,y)=0$. Это обозначают как $x{\perp }_{\phi }y$, или просто $x\perp y$, если форма ясна из контекста. Это отношение не обязательно симметрично, то есть из $x\perp y$ не следует $y\perp x$. Если для всех $x,y$ из $x\perp y$ следует $y\perp x$, то форму называют рефлексивной.

Пример

Пусть $V$ — трёхмерное векторное пространство над конечным полем $F=\mathrm{GF}(q^2)$, где $q$ — степень простого числа. Пусть два вектора $x$ и $y$ заданы координатами в стандартном базисе $(x_1,x_2,x_3)$ и $y_1,y_2,y_3$. Тогда можно определить отображение $\phi$ формулой:

$\phi (x,y)=x_1{y}_1{}^q+x_2{y}_2{}^q+x_3{y}_3{}^q.$

Отображение $\sigma :t\mapsto t^q$ — автоморфизм $F$, являющийся инволюцией. Отображение $\phi$ является $\sigma$-полуторалинейной формой. Эта форма эрмитова, а матрица $M_{\phi }$, соответствующая этой форме в стандартном базисе — это просто единичная матрица.

См. также

• Билинейная форма
• Линейная форма
• Эрмитова форма
• *-алгебра

Литература

• Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation

Внешние ресурсы

• Шаблон:Springer