Двойственное пространство

Двойственное пространство (также дуальное пространство, иногда сопряжённое пространство) — пространство линейных функционалов на заданном векторном пространстве.

Определение

Множество всех непрерывных линейных функционалов, определённых на топологическом векторном пространстве $E$, также образует векторное пространство. Это пространство называется сопряжённым к $E$, оно обычно обозначается $E^{\ast }$. Множество всех линейных функционалов на $E$, не обязательно непрерывных, называется алгебраически сопряжённым к $E$, оно обычно обозначается $E^{\mathrm{\#}}$ .

В случае (рассматриваемом обычно в линейной алгебре), когда векторное пространство $E$ конечномерное, все линейные функционалы автоматически являются непрерывными, и сопряжённое пространство $E^{\ast }=E^{\mathrm{\#}}$ состоит просто из всех линейных функционалов (функций) на $E$. В случае (рассматриваемом обычно в функциональном анализе), когда $E$ бесконечномерное, вообще говоря, $E^{\ast }\ne E^{\mathrm{\#}}$.

В тензорном исчислении применяется обозначение $x^k$ для элементов $E$ (верхний, или контравариантный, индекс) и $x_k$ для элементов $E^{\ast }$ (нижний, или ковариантный, индекс).

Двойственные отображения

Двойственное отображение — линейное отображение между векторными пространствами, двойственными к данным, индуцированное отображением между самими пространствами.

Пусть $V,W$ — векторные пространства, а $V^{\ast },W^{\ast }$ — двойственные векторные пространства. Для любого линейного отображения $f:V\to W$ двойственное отображение $f^{\ast }:W^{\ast }\to V^{\ast }$ (в обратном порядке) определяется как

$f^{\ast }(\phi )=\phi \circ f$

для любого $\phi \in W^{\ast }$.

Свойства

Конечномерные пространства

• Сопряжённое пространство $E^{\ast }$ имеет ту же размерность, что и пространство $E$ над полем $F$. Следовательно, пространства $E$ и $E^{\ast }$ изоморфны.
• Каждому базису $e^1,\dots ,e^n$ пространства $E$ можно поставить в соответствие так называемый двойственный (или взаимный) базис $e_1,\dots ,e_n$ пространства $E^{\ast }$, где функционал $e_i$ — проектор на вектор $e^i$:

  $e_i(x)=e_i({\alpha }_1{e}^1+\dots +{\alpha }_n{e}^n)={\alpha }_i,\mathrm{\forall }x\in E.$

• Если пространство $E$ евклидово, то есть на нём определено скалярное произведение, то между $E$ и $E^{\ast }$ существует так называемый канонический изоморфизм (то есть изоморфизм, не зависящий от выбранных базисов), определённый соотношением

  $v\in E\mapsto f\in E^{\ast },f(x)=⟨x,v⟩,\mathrm{\forall }x\in E.$

• Второе сопряжённое пространство $E^{\ast \ast }$ изоморфно $E$. Более того, существует канонический изоморфизм между $E$ и $E^{\ast \ast }$ (при этом не предполагается, что пространство $E$ евклидово), определённый соотношением

  $x\in E\mapsto z\in E^{\ast \ast },z(f)=f(x),\mathrm{\forall }f\in E^{\ast }.$

• Определенный выше канонический изоморфизм $E\to E^{\ast \ast }$ показывает, что пространства $E$ и $E^{\ast }$ играют симметричную роль: каждое из них является сопряженным к другому. Для того, чтобы выделить эту симметрию, для $x\in E,f\in E^{\ast }$ часто пишут $f(x)=(x,f)$ подобно записи скалярного произведения.

Бесконечномерные пространства

• Если векторное пространство $E$ нормированное, то сопряжённое пространство $E^{\ast }$ имеет естественную норму — это операторная норма непрерывных функционалов. Пространство $E^{\ast }$ — банахово.

• Если пространство $E$ гильбертово, то по теореме Рисса существует изоморфизм между $E$ и $E^{\ast }$, причём, аналогично конечномерному случаю, каждый линейный ограниченный функционал может быть представлен через скалярное произведение с помощью некоторого элемента пространства $E$.

• Сопряжённым к пространству $L^p$, $1<p<\mathrm{\infty }$, является пространство $L^q$, где $1/p+1/q=1$. Аналогично, сопряжённым к $l^p$, $1<p<\mathrm{\infty }$, является $l^q$ с тем же соотношением между p и q.

Вариации и обобщения

• Термин сопряжённое пространство может иметь иное значение для векторных пространств над полем комплексных чисел: пространство $\overline{E}$, совпадающее с $E$ как вещественное векторное пространство, но с другой структурой умножения на комплексные числа:

  $\overline{c}\overline{x}=\overline{cx}$

• При наличии в пространстве эрмитовой метрики (например, в гильбертовом пространстве) линейно-сопряжённое и комплексно-сопряжённое пространства совпадают.

См. также

• Ковариантность и контравариантность
• Рефлексивное пространство