Lp (пространство)

$L^p$ (также встречается обозначение $L_p$; читается «эль-пэ»; также — лебеговы пространства) — это пространства измеримых функций, таких, что их $p$-я степень интегрируема, где $p⩾1$.

$L^p$ — важнейший класс банаховых пространств. $L^2$ (читается «эль-два») — классический пример гильбертова пространства.

Построение

Для построения пространств $L^p$ используются ${ℒ}^p$-пространства. Пространство ${ℒ}^p(X,ℱ,\mu )$ для пространства с мерой $(X,ℱ,\mu )$ и $1⩽p<\mathrm{\infty }$ — множество измеримых функций, определённых на этом пространстве, таких что:

$\underset{X}{\int }|f(x){|}^p\mu (dx)<\mathrm{\infty }$.

Как следует из элементарных свойств интеграла Лебега и неравенства Минковского, пространство ${ℒ}^p(X,ℱ,\mu )$ линейно.

На линейном пространстве ${ℒ}^p(X,ℱ,\mu )$ вводится полунорма:

$\Vert f{\Vert }_p={(\underset{X}{\int }|f(x){|}^p\mu (dx))}^{\frac{1}{p}}$.

Неотрицательность и однородность следуют напрямую из свойств интеграла Лебега, а неравенство Минковского является неравенством треугольника для этой полунормы

Далее, на ${ℒ}^p$ вводится отношение эквивалентности: $f\sim g$, если $f(x)=g(x)$ почти всюду. Это отношение разбивает пространство ${ℒ}^p$ на непересекающиеся классы эквивалентности, причём полунормы любых двух представителей одного и того же класса совпадают. На построенном факторпространстве (то есть семействе классов эквивалентности) ${ℒ}^p/\sim$ можно ввести норму, равную полунорме любого представителя данного класса. По определению, все аксиомы полунормы сохранятся, и вдобавок в силу изложенного построения оказывается выполненной и положительная определённость.

Факторпространство $({ℒ}^p/\sim ,\Vert \cdot {\Vert }_p)$ с построенной на нём нормой и называется пространством $L^p(X,ℱ,\mu )$ или просто $L^p$.

Чаще всего данное построение имеют в виду, но не упоминают явно, а элементами $L^p$ называют не классы эквивалентности функций, а сами функции, определённые «с точностью до меры нуль».

При $0<p<1$ $L^p$ не образуют нормированного пространства, так как не выполняется неравенство треугольника, однако образуют метрические пространства. В этих пространствах нет нетривиальных линейных непрерывных операторов.

Полнота

Норма на $L^p$ вместе с линейной структурой порождает метрику:

$d(f,g)=\Vert f-g{\Vert }_p$,

а следовательно, на пространствах возможно определить сходимость: последовательность функций $\{f_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}\subset L^p$ называют сходящейся к функции $f\in L^p$, если:

$\Vert f_n-f{\Vert }_p\to 0$ при $n\to \mathrm{\infty }$.

По определению, пространство $L^p$ полно, когда любая фундаментальная последовательность в $L^p$ сходится к элементу этого же пространства. Таким образом $L^p$ — банахово пространство.

Пространство Шаблон:Math

Шаблон:Якорь В случае $p=2$ норма порождается скалярным произведением. Таким образом, вместе с понятием «длины» здесь имеет смысл и понятие «угла», а следовательно и смежные понятия, такие как ортогональность, проекция.

Скалярное произведение на пространстве $L^2$ вводится следующим образом:

$⟨f,g⟩=\underset{X}{\int }f(x)\overline{g(x)}\mu (dx)$,

в случае, если рассматриваемые функции комплекснозначные, или:

$⟨f,g⟩=\underset{X}{\int }f(x)g(x)\mu (dx)$,

если они вещественные. Тогда, очевидно:

$\Vert f{\Vert }_2=\sqrt{⟨f,f⟩}$,

то есть норма порождается скалярным произведением. Ввиду полноты любого $L^p$ следует, что $L^2$ — гильбертово.

Пространство Шаблон:Math

Шаблон:Якорь Пространство $L^{\mathrm{\infty }}$ строится из пространства ${ℒ}^{\mathrm{\infty }}(X,ℱ,\mu )$ измеримых функций, ограниченных почти всюду, отождествлением между собой функций, различающиеся лишь на множестве меры нуль, и, положив по определению:

$\Vert f{\Vert }_{\mathrm{\infty }}=\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s}\sup {\mathrm{\backslash limits}}_{x\in X}|f(x)|$, где $\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s}\sup$ — существенный супремум функции.

$L^{\mathrm{\infty }}$ — банахово пространство.

Метрика, порождаемая нормой $\Vert \cdot {\Vert }_{\mathrm{\infty }}$, называется равномерной. Также называется и сходимость, порождённая такой метрикой:

$f_n\to f$ в $L^{\mathrm{\infty }}$, если $\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s}\sup {\mathrm{\backslash limits}}_{x\in X}|f_n(x)-f(x)|\to 0$ при $n\to \mathrm{\infty }$.

Свойства

• Сходимость функций почти всюду не влечёт сходимость в пространстве $L^p$. Пусть $f_n(x)=n^{1/p}$ при $x\in (0,1/n]$ и $f_n(x)=0$ при $x\in (1/n,1]$, $f_n\in L^p$. Тогда $f_n\to 0$ почти всюду. Но $\Vert f_n{\Vert }_p^p=\underset{0}{\overset{1}{\int }}|f_n{|}^{p}d\mu =1$. Обратное также неверно.
• Если $\Vert f_n-f{\Vert }_p\to 0$ при $n\to \mathrm{\infty }$, то существует подпоследовательность $f_{n_k}$, такая что $f_{n_k}\to f$ почти всюду.
• $L^p$ функции на числовой прямой могут быть приближены гладкими функциями. Пусть $L_{C^{\mathrm{\infty }}}^p(ℝ,ℬ(ℝ),m)$ — подмножество $L^p(ℝ,ℬ(ℝ),m)$, состоящее из бесконечно гладких функций. Тогда $L_{C^{\mathrm{\infty }}}^p$ всюду плотно в $L^p$.
• $L^p(ℝ,ℬ(ℝ),m)$ — сепарабельно при $p<\mathrm{\infty }$.
• Если $\mu$ — конечная мера, например, вероятность, и $1⩽p⩽q⩽\mathrm{\infty }$, то $L^q\subset L^p$. В частности, $L^2\subset L^1$, то есть случайная величина с конечным вторым моментом имеет конечный первый момент.

Сопряжённые пространства

Для пространств ${\left(L^p\right)}^{\star }$, сопряжённое к $L^p$ (пространств линейных функционалов на $L^p$) имеет место следующее свойство: если $1<p<\mathrm{\infty }$, то ${\left(L^p\right)}^{\star }$ изоморфно $L^q$ (${\left(L^p\right)}^{\star }\cong L^q$), где $1/p+1/q=1$. Любой линейный функционал на $L^p$ имеет вид:

$g(f)=\underset{X}{\int }f(x)\tilde{g}(x)\mu (dx),$

где $\tilde{g}(x)\in L^q$.

В силу симметрии уравнения $1/p+1/q=1$, само пространство $L^p$ дуально (с точностью до изоморфизма) к $L^q$, а следовательно:

${\left(L^p\right)}^{\star \star }\cong L^p.$

Этот результат справедлив и для случая $p=1$, то есть ${\left(L^1\right)}^{\star }=L^{\mathrm{\infty }}$. Однако ${\left(L^{\mathrm{\infty }}\right)}^{\star }\cong ̸L^1$ и, в частности, ${\left(L^1\right)}^{\star \star }\cong ̸L^1$.

Пространства Шаблон:Math

Пусть $(X,ℱ,\mu )=(\mathbb{N},2^{\mathbb{N}},m)$, где $m$ — счётная мера на $\mathbb{N}$, то есть $m(\{n\})=1,\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}$. Тогда если $p<\mathrm{\infty }$, то пространство ${\ell }^p(\mathbb{N},2^{\mathbb{N}},m)$ представляет собой семейство последовательностей вида $\{x_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$, таких что:

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}|x_n{|}^p<\mathrm{\infty }$.

Соответственно, норма на этом пространстве задаётся

$\Vert x{\Vert }_p={(\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}|x_n{|}^p)}^{\frac{1}{p}}$.

Получившееся нормированное пространство обозначается ${\ell }^p$.

Если $p=\mathrm{\infty }$, то рассматривается пространство ограниченных последовательностей с нормой:

$\Vert x{\Vert }_{\mathrm{\infty }}=\sup {\mathrm{\backslash limits}}_{n\in \mathbb{N}}|x_n|$.

Получившееся пространство называется ${\ell }^{\mathrm{\infty }}$, оно является примером несепарабельного пространства.

Как и в общем случае, положив $p=2$, получается гильбертово пространство ${\ell }^2$, чья норма порождена скалярным произведением:

$⟨x,y⟩=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{x}_n\overline{y_n}$,

если последовательности комплекснозначные, и:

$⟨x,y⟩=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{x}_n{y}_n,$

если они вещественны.

Пространство, сопряжённое с ${\ell }^p$, где $1<p<\mathrm{\infty }$ изоморфно ${\ell }^q$, $1/p+1/q=1$. Для $p=1:{\left({\ell }^1\right)}^{\star }={\ell }^{\mathrm{\infty }}$. Однако ${\left({\ell }^{\mathrm{\infty }}\right)}^{\star }\cong ̸{\ell }^1$.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга