Моменты случайной величины

Шаблон:Дзт Шаблон:Обзорная статья Моме́нт случа́йной величины́ — числовая характеристика распределения данной случайной величины.

Происхождение понятия

Момент в математике — прямая аналогия с понятием момента в физике и механике. В математике моменты функции — это количественные измерения, связанные с формой графика функции. Например, если функция представляет собой распределение вероятностей, то первый момент — это ожидаемое значение, второй центральный момент (англ.) — это дисперсия, третий стандартизированный момент (англ.) — это асимметрия, а четвертый стандартизированный момент — это эксцесс. Если функция описывает плотность массы, то нулевой момент — это полная масса, первый момент (нормализованный по полной массе) — это центр масс, а второй момент — это момент инерции.

Определения

Если дана случайная величина $X,$ определённая на некотором вероятностном пространстве, то:

• $k$-м нача́льным моментом случайной величины $X,$ где $k\in \mathbb{N},$ называется величина

${\nu }_k=𝔼\left[X^k\right],$

если математическое ожидание $𝔼[*]$ в правой части этого равенства определено;

• $k$-м центра́льным моментом случайной величины $X$ называется величина

${\mu }_k=𝔼[(X-𝔼X{)}^k],$

• $k$-м абсолю́тным и $k$-м центральным абсолютным моментами случайной величины $X$ называется соответственно величины

${\nu }_k=𝔼[|X{|}^k]$ и ${\mu }_k=𝔼[|X-𝔼X{|}^k],$

• $k$-м факториальным моментом случайной величины $X$ называется величина

${\mu }_k=𝔼[X(X-1)...(X-k+1)],$

если математическое ожидание в правой части этого равенства определено.

Абсолютные моменты могут быть определены не только для целых, но и для любых положительных действительных чисел $k$ в случае, если соответствующие интегралы сходятся.

Замечания

• Если определены моменты $k$-го порядка, то определены и все моменты низших порядков $1⩽k^{\prime }<k.$
• В силу линейности математического ожидания центральные моменты могут быть выражены через начальные:

  ${\mu }_k=\sum _{s=0}^k(-1{)}^s{C}_k^s{\nu }_{k-s}{\nu }_1^s$.

Геометрический смысл некоторых моментов

• ${\mu }_2$ равняется дисперсии распределения $({\mu }_2={\sigma }^2)$ и показывает разброс распределения вокруг среднего значения.
• ${\mu }_3$, будучи соответствующим образом нормализован, является числовой характеристикой симметрии распределения. Более точно, выражение

$\frac{{\mu }_3}{{\sigma }^3}$

называется коэффициентом асимметрии.

• ${\mu }_4$ показывает, насколько тяжелые у распределения хвосты. Величина

${\gamma }_2=\frac{{\mu }_4}{{\sigma }^4}-3$

называется коэффициентом эксцесса распределения $X.$

Вычисление моментов

• Моменты могут быть вычислены напрямую через определение путём интегрирования соответствующих степеней случайной величины. В частности, для абсолютно непрерывного распределения с плотностью $f(x)$ имеем:

${\nu }_k=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{k}f(x)dx,$

если ${\nu }_k=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}|x{|}^{k}f(x)dx<+\mathrm{\infty },$

а для дискретного распределения с функцией вероятности $p(x):$

${\nu }_k=\sum _x{x}^{k}p(x),$

если ${\nu }_k=\sum _x|x{|}^{k}p(x)<+\mathrm{\infty }.$

• Также моменты случайной величины могут быть вычислены через её характеристическую функцию $\varphi (t)$:

${\nu }_k={i^{-k}\frac{d^k}{d{t}^k}\varphi (t)|}_{t=0}.$

• Если распределение таково, что для него в некоторой окрестности нуля определена производящая функция моментов $M(t),$ то моменты могут быть вычислены по следующей формуле:

${\nu }_k={\frac{d^k}{d{t}^k}M(t)|}_{t=0}.$

Обобщения

Можно также рассматривать нецелые значения $k$. Момент, рассматриваемый как функция от аргумента $k$, называется преобразованием Меллина.

Можно рассматривать моменты многомерной случайной величины. Тогда первый момент будет вектором той же размерности, второй — тензором второго ранга (см. матрица ковариации) над пространством той же размерности (хотя можно рассматривать и след этой матрицы, дающий скалярное обобщение дисперсии). И т. д.

См. также

• Момент изображения