Функция распределения

Функции распределения

Фу́нкция распределе́ния в теории вероятностей — функция, характеризующая распределение случайной величины или случайного вектора; вероятность того, что случайная величина $X$ примет значение, меньшее или равное $x$, где $x$ — произвольное действительное число. При соблюдении известных условий (см. ниже) полностью определяет случайную величину.

Определение

Пусть дано вероятностное пространство $(\mathrm{\Omega },ℱ,\mathbb{P})$, и на нём определена случайная величина $X$ с распределением ${\mathbb{P}}_X$. Тогда функцией распределения случайной величины $X$ называется функция $F_X:ℝ\to [0,1]$, задаваемая формулой

$F_X(x)=\mathbb{P}(X<x)\equiv {\mathbb{P}}_X((-\mathrm{\infty },x])$.

То есть функцией распределения (вероятностей) случайной величины $X$ называют функцию $F(x)$, значение которой в точке $x$ равно вероятности события $\{X⩽x\}$, то есть события, состоящего только из тех элементарных исходов, для которых $X(\omega )⩽x$.

Свойства

• $F_X$ непрерывна справа:

  $\underset{\epsilon \to 0+}{lim}{F}_X(x+\epsilon )=F_X(x)$

• $F_X$ не убывает на всей числовой прямой.
• $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}{F}_X(x)=0$.
• $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{F}_X(x)=1$.
• Распределение случайной величины ${\mathbb{P}}^X$ однозначно определяет функцию распределения.
  • Шаблон:ЯкорьВерно и обратное: если функция $F(x)$ удовлетворяет четырём перечисленным выше свойствам, то существует вероятностное пространство и определённая на нём случайная величина, такая что $F(x)$ является её функцией распределения.
• По определению непрерывности справа, функция $F_X$ имеет правый предел $F_X(x+)$ в любой точке $x\in ℝ$, и он совпадает со значением функции $F_X(x)$ в этой точке.
  • В силу неубывания, функция $F_X$ также имеет и левый предел $F_X(x-)$ в любой точке $x\in ℝ$, который может не совпадать со значением функции. Таким образом, функция $F_X$ либо непрерывна в точке, либо имеет в ней разрыв первого рода.

Тождества

Внимание! Ниже записаны свойства для другого определения функции распределения - для непрерывной слева!

Из свойств вероятности следует, что $\mathrm{\forall }x\in ℝ,\mathrm{\forall }a,b\in ℝ$, таких что $a<b$:

• $\mathbb{P}(X⩾x)=1-F_X(x)$;
• $\mathbb{P}(X⩽x)=F_X(x+0)$;
• $\mathbb{P}(X>x)=1-F_X(x+0)$;
• $\mathbb{P}(X=x)=F_X(x+0)-F_X(x)$;
• $\mathbb{P}(a<X⩽b)=F_X(b+0)-F_X(a+0)$;
• $\mathbb{P}(a⩽X⩽b)=F_X(b+0)-F_X(a)$;
• $\mathbb{P}(a<X<b)=F_X(b)-F_X(a+0)$;
• $\mathbb{P}(a⩽X<b)=F_X(b)-F_X(a)$;

Дискретные распределения

Если случайная величина $X$ дискретна, то есть её распределение однозначно задаётся функцией вероятности

$\mathbb{P}(X=x_i)=p_i,i=1,2,\dots$,

то функция распределения $F_X$ этой случайной величины кусочно-постоянна и может быть записана как:

$F_X(x)=\sum _{i:x_i<x}{p}_i$.

Эта функция непрерывна во всех точках $x\in ℝ$, таких что $x≠x_i,\mathrm{\forall }i$, и имеет разрыв первого рода в точках $x=x_i,\mathrm{\forall }i$.

Непрерывные распределения

Распределение ${\mathbb{P}}^X$ называется непрерывным, если такова его функция распределения $F_X$. В этом случае:

$\mathbb{P}(X=x)=0,\mathrm{\forall }x\in ℝ$,

и

$F_X(x-0)=F_X(x),\mathrm{\forall }x\in ℝ$,

а следовательно формулы имеют вид:

$\mathbb{P}(X\in |a,b|)=F_X(b)-F_X(a)$,

где $|a,b|$ означает любой интервал, открытый или закрытый, конечный или бесконечный.

Абсолютно непрерывные распределения

Распределение ${\mathbb{P}}^X$ называется абсолютно непрерывным, если существует неотрицательная почти всюду (относительно меры Лебега) функция $f_X(x)$, такая что:

$F_X(x)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x}{\int }}{f}_X(t)dt$.

Функция $f_X$ называется плотностью распределения. Известно, что функция абсолютно непрерывного распределения непрерывна, и, более того, если $f_X\in C(ℝ)$, то $F_X\in 𝒟(ℝ)$, и

$\frac{d}{dx}{F}_X(x)=f_X(x),\mathrm{\forall }x\in ℝ$.

Вариации и обобщения

Иногда в иностранной литературе берётся такое определение функции распределения:

$F_X(x)=\mathbb{P}(X⩽x)\equiv {\mathbb{P}}^X((-\mathrm{\infty },x])$.

Определённая так функция распределения будет непрерывна справа, а не слева.

Многомерные функции распределения

Пусть $(\mathrm{\Omega },ℱ,\mathbb{P})$ фиксированное вероятностное пространство, и $X=(X_1,\dots ,X_n):\mathrm{\Omega }\to {ℝ}^n$ — случайный вектор. Тогда распределение ${\mathbb{P}}^X$, называемое распределением случайного вектора $X$ или совместным распределением случайных величин $X_1,\dots ,X_n$, является вероятностной мерой на ${ℝ}^n$. Функция этого распределения $F_X:{ℝ}^n\to [0,1]$ задаётся по определению следующим образом:

$F_X(x_1,\dots ,x_n)=\mathbb{P}(X_1<x_1,\dots ,X_n<x_n)\equiv {\mathbb{P}}^X(\prod _{i=1}^n(-\mathrm{\infty },x_i))$,

где $\prod$ в данном случае обозначает декартово произведение множеств.

Свойства многомерных функций распределения аналогичны одномерному случаю. Также сохраняется взаимно-однозначное соответствие между распределениями на ${ℝ}^n$ и многомерными функциями распределения. Однако, формулы для вычисления вероятностей существенно усложняются, и потому функции распределения редко используются для $n>1$.

См. также

• Плотность вероятности

Ссылки

• Н.И.Чернова. Теория вероятностей. Свойства функций распределения