Односторонний предел

Односторо́нний преде́л в математическом анализе — предел числовой функции, подразумевающий «приближение» к предельной точке с одной стороны. Такие пределы называют соответственно левосторо́нним преде́лом (или преде́лом сле́ва) и правосторо́нним преде́лом (преде́лом спра́ва).

Определения

Пусть на некотором числовом множестве $M\subset ℝ$ задана числовая функция $f:M\to ℝ$ и число $a$ — предельная точка области определения $M$. Существуют различные определения для односторонних пределов функции $f\left(x\right)$ в точке $a$, но все они эквивалентны.

Односторонний предел по Гейне

• Число $A\in ℝ$ называется правосторонним пределом (правым пределом, пределом справа) функции $f\left(x\right)$ в точке $a$, если для всякой последовательности ${\left\{x_n\right\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$, состоящей из точек, больших числа $a$, которая сама сходится к числу $a$, соответствующая последовательность значений функции ${\left\{f\left(x_n\right)\right\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ сходится к числу $A$.

  $\underset{x\to a+}{\lim }f\left(x\right)=A\iff \mathrm{\forall }{\left\{x_n\right\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}:(\mathrm{\forall }k\in \mathbb{N}\Rightarrow x_k>a)\wedge \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n=a\Rightarrow \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\left\{f\left(x_n\right)\right\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}=A$

• Число $A\in ℝ$ называется левосторонним пределом (левым пределом, пределом слева) функции $f\left(x\right)$ в точке $a$, если для всякой последовательности ${\left\{x_n\right\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$, состоящей из точек, меньших числа $a$, которая сама сходится к числу $a$, соответствующая последовательность значений функции ${\left\{f\left(x_n\right)\right\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ сходится к числу $A$.

  $\underset{x\to a-}{\lim }f\left(x\right)=A\iff \mathrm{\forall }{\left\{x_n\right\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}:(\mathrm{\forall }k\in \mathbb{N}\Rightarrow x_k<a)\wedge \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n=a\Rightarrow \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\left\{f\left(x_n\right)\right\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}=A$

Односторонний предел по Коши

• Число $A\in ℝ$ называется правосторонним пределом (правым пределом, пределом справа) функции $f\left(x\right)$ в точке $a$, если для всякого положительного числа $\epsilon$ отыщется отвечающее ему положительное число $\delta$ такое, что для всех точек $x$ из интервала $(a,a+\delta )$ справедливо неравенство $|f\left(x\right)-A|<\epsilon$.

  $\underset{x\to a+}{\lim }f\left(x\right)=A\iff \mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }\delta =\delta \left(\epsilon \right)>0:\mathrm{\forall }x\in (a,a+\delta )\Rightarrow |f\left(x\right)-A|<\epsilon$

• Число $A\in ℝ$ называется левосторонним пределом (левым пределом, пределом слева) функции $f\left(x\right)$ в точке $a$, если для всякого положительного числа $\epsilon$ отыщется отвечающее ему положительное число $\delta$, такое, что для всех точек $x$ из интервала $(a-\delta ,a)$ справедливо неравенство $|f\left(x\right)-A|<\epsilon$.

  $\underset{x\to a-}{\lim }f\left(x\right)=A\iff \mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }\delta =\delta \left(\epsilon \right)>0:\mathrm{\forall }x\in (a-\delta ,a)\Rightarrow |f\left(x\right)-A|<\epsilon$

Односторонний предел как предел вдоль фильтра

Односторонний предел является частным случаем общего понятия предела функции вдоль фильтра. Пусть $M\subset ℝ,$ и $a\in M^{\prime }.$ Тогда системы множеств

${𝔅}_{+}=\{(a,a+\delta )\cap M\mid \delta >0\}$

и

${𝔅}_{-}=\{(a-\delta ,a)\cap M\mid \delta >0\}$

являются фильтрами. Пределы вдоль этих фильтров совпадают с соответствующими односторонними пределами:

$\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{{𝔅}_{+}}f(x)\equiv \lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to a+}f(x);$

$\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{{𝔅}_{-}}f(x)\equiv \lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to a-}f(x).$

Обозначения

• Правосторонний предел принято обозначать любым из нижеследующих способов:

  $\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to a+}f(x),\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to a+0}f(x),\underset{x\downarrow a}{\lim }f(x),\underset{x\searrow a}{\lim }f(x);$

• Аналогичным образом для левосторонних пределов приняты обозначения:

  $\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to a-}f(x),\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to a-0}f(x),\underset{x\uparrow a}{\lim }f(x),\underset{x\nearrow a}{\lim }f(x).$

• При этом используются также сокращённые обозначения:
  • $f(a+)$ и $f(a+0)$ для правого предела;
  • $f(a-)$ и $f(a-0)$ для левого предела.

• При $a=0$ для сокращения записи вместо $\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to 0+0}f(x)$ и $\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to 0-0}f(x)$ обычно пишут $\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to +0}f(x)$ и $\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to -0}f(x)$ соответственно.

Свойства

• Основные свойства односторонних пределов идентичны свойствам обычных пределов и являются частными случаями свойств пределов вдоль фильтра.
• Для существования (двустороннего) предела функции необходимо и достаточно, чтобы оба односторонних предела существовали и равнялись между собой.

Примеры

Функция из второго примера

• Тождественная числовая функция
  • $f\left(x\right)=x$
  • Область определения: $ℝ$
  • Правый предел: $\mathrm{\forall }a\in ℝ:\underset{x\to a+0}{\lim }x=a$
  • Левый предел: $\mathrm{\forall }a\in ℝ:\underset{x\to a-0}{\lim }x=a$
  • Правый и левый пределы совпадают, так что имеется обычный предел: $\mathrm{\forall }a\in ℝ:\underset{x\to a}{\lim }x=a$
• Кусочно-заданная функция
  • $f\left(x\right)=\{\begin{array}{cc}{x}^2,& x<3\\ 11-{(x-3)}^2,& x>3\end{array}$
  • Область определения: $ℝ\setminus \left\{3\right\}$
  • Правый предел: $\underset{x\to 3+0}{\lim }f\left(x\right)=11$
  • Левый предел: $\underset{x\to 3-0}{\lim }f\left(x\right)=9$
  • Правый и левый пределы различны, так что обычного предела в точке $x=3$ не существует
• Функция sgn(x)
  • $f\left(x\right)=\{\begin{array}{cc}0,& x=0\\ \frac{x}{\left|x\right|},& x\ne 0\end{array}$
  • Область определения: $ℝ$
  • Правый предел: $\underset{x\to 0+0}{\lim }\mathrm{sgn}\left(x\right)=+1$
  • Левый предел: $\underset{x\to 0-0}{\lim }\mathrm{sgn}\left(x\right)=-1$
  • Правый и левый пределы различны, так что обычного предела в точке $x=0$ не существует

См. также

• Предел функции