Кусочно-заданная функция

График функции модуля вещественной переменной — пример кусочно-заданной (кусочно-линейной) функции

Кусо́чно-за́данная фу́нкция — функция одной переменной, определённая на множестве вещественных чисел, которая задана отдельной формулой (или другим способом задания функции) на каждом из интервалов, составляющих область её определения.

Кусочно-аффинная функция - это числовая функция от одной переменной такая, что всю её область определения можно "разделить" на промежутки так, что на внутренности каждого из промежутков функция аффинная.

Формальное определение и задание

Пусть заданы $x_1<x_2<\dots <x_n$ — точки смены задания функции.

Кусочно-заданные функции обычно задают на каждом из интервалов $(-\mathrm{\infty };x_1),(x_1;x_2);\dots (x_n;+\mathrm{\infty })$ отдельно. Формально записывают это в виде:

$f(x)=\{\begin{array}{c}{f}_0(x),x<x_1\\ f_1(x),x_1<x<x_2\\ \cdots \\ f_n(x),x_n<x\end{array}$.

На некоторых из интервалов либо в некоторых точках в общем случае кусочно-заданная функция может быть не определена.

Виды кусочно-заданных функций

• Если все функции — постоянные, то $f(x)$ — кусочно-постоянная функция.
• Если все функции $f_i(x)$ являются линейными функциями, то $f(x)$ — кусочно-линейная функция.
• Если все функции $f_i(x)$ являются непрерывными функциями, то $f(x)$ — кусочно-непрерывная функция. При этом сама она может не являться непрерывной.
• Если все функции $f_i(x)$ являются дифференцируемыми функциями, то $f(x)$ — кусочно-гладкая функция. При этом точки смены функций могут быть, а могут и не быть точками излома.
• Если все функции $f_i(x)$ являются монотонными функциями, то $f(x)$ — кусочно-монотонная функция. При этом на соседних интервалах знак первой производной может быть разный, то есть нарастающие или падающие функции.

Примеры часто используемых кусочно-заданных функций

• Абсолютная величина (модуль) $y=|x|$.
• Функция знака $y=\mathrm{sgn}(x)$.
• Функция Хевисайда $\theta (x)=\{\begin{array}{cc}0,& x<0;\\ 1,& x⩾0.\end{array}$
• Кусочно-линейная функция.
• Сплайн.
• B-сплайн.