Функция Хевисайда

Единичная функция Хевисайда. При x = 0 доопределена значением 1.

Фу́нкция Хевиса́йда (едини́чная ступе́нчатая функция, функция едини́чного скачка, включённая едини́ца, «ступенька») — кусочно-постоянная функция, равная нулю для отрицательных значений аргумента и единице — для положительных. В нуле эта функция, вообще говоря, не определена, однако её обычно доопределяют в этой точке некоторым числом, чтобы область определения функции содержала все точки действительной оси. Чаще всего неважно, какое значение функция принимает в нуле, поэтому могут использоваться различные определения функции Хевисайда, удобные по тем или иным соображениямШаблон:Переход, например:

$\theta (x)=\{\begin{array}{cc}0,& x<0;\\ 1,& x⩾0.\end{array}$

Функцию Хевисайда легко записать, используя скобку Айверсона:

$\theta (x)=[x⩾0].$

Функция Хевисайда широко используется в математическом аппарате теории управления и теории обработки сигналов для представления сигналов, переходящих в определённый момент времени из одного состояния в другое. В математической статистике эта функция применяется, например, для записи эмпирической функции распределения. Названа в честь Оливера Хевисайда.

Функция Хевисайда является первообразной функцией для дельта-функции Дирака, ${\theta }^{\prime }=\delta$, это также можно записать как (определённый интеграл является числом, для описания первообразной используется неопределённый интеграл):

$\theta (x)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x}{\int }}\delta (t)dt.$

Дискретная форма

Можно определить дискретную функцию Хевисайда как функцию от целого аргумента $n$:

$\theta [n]=\{\begin{array}{cc}0,& n<0;\\ 1,& n⩾0,\end{array}$

где $n$ — целое число.

Дискретный единичный импульс является первой разностью дискретной функции Хевисайда:

$\delta [n]=\theta [n]-\theta [n-1].$

Аналитические формы

Для более удобного использования функцию Хевисайда можно аппроксимировать с помощью непрерывной функции:

$\theta (x)\approx \frac{1}{2}+\frac{1}{2}\mathrm{t}\mathrm{h}kx=\frac{1}{1+e^{-2kx}},$

где большему $k$ соответствует более крутой подъём функции в точке $x=0$. Задавшись необходимой шириной области перехода функции Хевисайда $\mathrm{\Delta }x$, значение $k$ можно оценить как $k\approx \frac{10}{\mathrm{\Delta }x}$.

Если принять $\theta (0)=1/2$, уравнение можно записать в предельной форме:

$\theta (x)=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{2}(1+\mathrm{t}\mathrm{h}kx)=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{1+e^{-2kx}}.$

Существует несколько других аппроксимаций непрерывными функциями:

$\theta (x)=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }(\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi }\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}kx);$

$\theta (x)=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{f}kx).$

Запись

Часто используется и бывает полезной интегральная форма записи единичной функции:

$\theta (x)=-\underset{\epsilon \to 0^{+}}{\lim }\frac{1}{2\pi i}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{\tau +i\epsilon }{e}^{-ix\tau }d\tau .$

Значение в нуле

Значение функции в нуле часто задаётся как $\theta (0)=0$, $\theta (0)=1/2$ или $\theta (0)=1$. $\theta (0)=1/2$ — наиболее употребительный вариант, поскольку по соображениям симметрии в точке разрыва первого рода удобно доопределять функцию средним арифметическим соответствующих односторонних пределов, кроме того в этом случае функция Хевисайда связана с функцией знака:

$\theta (x)=\frac{1}{2}(1+\mathrm{sgn}x)=\{\begin{array}{cc}0,& x<0;\\ \frac{1}{2},& x=0;\\ 1,& x>0.\end{array}$

что с учетом определения функции знака можно выразить как

$\theta (x)=\frac{1}{2}(1+\frac{|x|}{x})=\frac{x+|x|}{2x}$

Значение в нуле может явно указываться в записи функции:

${\theta }_n(x)=\{\begin{array}{cc}0,& x<0;\\ n,& x=0;\\ 1,& x>0.\end{array}$

Преобразование Фурье

Производная функции Хевисайда равна дельта-функции (то есть функция Хевисайда — первообразная дельта-функции):

$\theta (x)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x}{\int }}\delta (t)dt$.

Следовательно, применив преобразование Фурье к первообразной дельта-функции, получим её изображение вида:

$\frac{1}{i\omega }+\pi \delta (\omega )$,

то есть:

$\theta (t)=\frac{1}{2\pi }\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}(\frac{1}{i\omega }+\pi \delta (\omega ))e^{i\omega t}d\omega$

Второй член $\pi \delta (\omega )$ описывает постоянное смещение функции Хевисайда вверх; без него получилась бы нечётная функция.

Другие свойства

Так как производной функции Хевисайда является дельта-функция Дирака, для которой известно, что $f(x)\delta (x)=f(0)\delta (x)$, то существует формула для производной произведения ступенчатой функции с произвольной $f(x)$.

${[f(x)\theta (x)]}^{(n)}=\sum _{k=0}^{n-1}{f}^{(k)}(0){\delta }^{(n-k-1)}(x)+f^{(n)}(x)\theta (x)$

История

Эта функция использовалась ещё до появления её удобного обозначения. Например, Шаблон:Iw в 1830-х годах опубликовал несколько работ, посвящённых функции $0^{0^x}$. По его мнению, $0^x$ равен $0$, если $x>0$; $1$, если $x=0$ (см. Ноль в нулевой степени); или $\mathrm{\infty }$, если $x<0$. Таким образом Либри заключает, что $0^{0^x}$ равняется 1, если $x>0$, и 0 в противном случае. Пользуясь нотацией Айверсона, это можно было бы записать, как

$0^{0^x}=[x>0].$

Однако такой нотации в то время не было, и Либри считал достижением, что эту функцию можно выразить через стандартные математические операции. Он использовал эту функцию для выражения абсолютной величины (обозначения $|x|$ тогда ещё не было, оно было введено позже Вейерштрассом) и индикатора таких условий, как $a\le x\le b$, и даже «$x$ является делителем $y$».

См. также

• Прямоугольная функция
• Дельта-функция
• Переходная функция
• Интеграл Дюамеля