Преобразование Фурье

Шаблон:Универсальная карточка Преобразование Фурье́ (символ ℱ) — операция, сопоставляющая одной функции вещественной переменной другую (вообще говоря, комплекснозначную) функцию вещественной переменной. Эта новая функция описывает коэффициенты («амплитуды») при разложении исходной функции на элементарные составляющие — гармонические колебания с разными частотами.

Определение

В математике преобразование Фурье функции Шаблон:Math, зависящей от одной вещественной переменной, является интегральным и задаётся следующей формулой:

$\hat{f}(\omega )=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)e^{-ix\omega }dx,$

где $i$ — мнимая единица.

Тогда «формула обращения» (обратное преобразование Фурье) имеет вид:

$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\hat{f}(\omega )e^{ix\omega }d\omega$

Эта формула объясняет физический смысл преобразования Фурье: правая часть — (бесконечная) сумма гармонических колебаний $e^{i\omega x}$ с частотами $\omega$, амплитудами $\frac{1}{\sqrt{2\pi }}|\hat{f}(\omega )|$ и фазовыми сдвигами $\arg \hat{f}(\omega )$ соответственно.

В радиотехнике (обработке сигналов) преобразование Фурье задаётся без множителя $\frac{1}{\sqrt{2\pi }}$:

$\hat{f}(\omega )=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)e^{-ix\omega }dx.$

Тогда «формула обращения» (обратное преобразование Фурье) имеет вид:

$f(x)=\frac{1}{2\pi }\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\hat{f}(\omega )e^{ix\omega }d\omega$

Свойства

Хотя формула, задающая преобразование Фурье, имеет ясный смысл только для функций класса $L_1(ℝ)$, преобразование Фурье может быть определено и для более широкого класса функций и даже обобщённых функций. Это возможно благодаря ряду свойств преобразования Фурье:

• Преобразование Фурье является линейным оператором:

$\widehat{(\alpha f+\beta g)}=\alpha \hat{f}+\beta \hat{g}.$

• Справедливо равенство Парсеваля: если $f\in L_1(ℝ)\cap L_2(ℝ)$, то преобразование Фурье сохраняет $L_2$-норму:

при наличии множителя $\frac{1}{\sqrt{2\pi }}$ в преобразовании Фурье:

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}|f(x){|}^{2}dx=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}|\hat{f}(w){|}^{2}d\omega .$

при отсутствии множителя $\frac{1}{\sqrt{2\pi }}$ в преобразовании Фурье:

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}|f(x){|}^{2}dx=\frac{1}{2\pi }\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}|\hat{f}(w){|}^{2}d\omega .$

Это свойство позволяет по непрерывности распространить определение преобразования Фурье на всё пространство $L_2(ℝ)$.

Равенство Парсеваля будет при этом справедливо для всех $f\in L_2(ℝ)$.

• Теорема о свёртке: если $f,g\in L_1(ℝ)$, тогда

при наличии множителя $\frac{1}{\sqrt{2\pi }}$ в преобразовании Фурье:

$\widehat{(f\ast g)}=\sqrt{2\pi }\hat{f}\hat{g}$,

при отсутствии множителя $\frac{1}{\sqrt{2\pi }}$ в преобразовании Фурье:

$\widehat{(f\ast g)}=\hat{f}\hat{g}$,

где

$f\ast g=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(s)g(t-s)ds$ — свертка функций $f$ и $g$.

Эта формула может быть распространена и на случай обобщённых функций.

• Преобразование Фурье и дифференцирование. Если $f,f^{\prime }\in L_1(ℝ)$, то

$\widehat{(f^{\prime })}=i\omega \hat{f}.$

Из этой формулы легко выводится формула для $n$-й производной:

$\widehat{(f^{(n)})}=(i\omega {)}^n\hat{f}.$

Формулы верны и в случае обобщённых функций.

• Преобразование Фурье и сдвиг.

$\widehat{f(x-x_0)}=e^{-i\omega x_0}\hat{f}(\omega ).$

Эта и предыдущая формула являются частными случаями теоремы о свёртке, так как сдвиг по аргументу — это свёртка со сдвинутой дельта-функцией $\delta (x-x_0)$, а дифференцирование — свёртка с производной дельта-функции.

• Преобразование Фурье и растяжение.

$\widehat{f(ax)}=|a{|}^{-1}\hat{f}(\omega /a).$

• Формула суммирования Пуассона для принятого в данной статье определения:

при наличии множителя $\frac{1}{\sqrt{2\pi }}$ в преобразовании Фурье:

$\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}f(k)=\sqrt{2\pi }\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}\hat{f}(2\pi n)$

$\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}\hat{f}\left(k\right)=\sqrt{2\pi }\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}f\left(2\pi n\right)$

при отсутствии множителя $\frac{1}{\sqrt{2\pi }}$ в преобразовании Фурье:

$\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}f(k)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}\hat{f}(2\pi n)$

$\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}\hat{f}\left(k\right)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}f\left(2\pi n\right)$

Данные формулы могут быть получены из Шаблон:Iw, которая задана для другой формы определения преобразования Фурье.

• Преобразование Фурье обобщённых функций. Преобразование Фурье можно определить для широкого класса обобщённых функций. Определим вначале пространство гладких быстро убывающих функций (пространство Шварца):

$S(ℝ):=\{\phi \in C^{\mathrm{\infty }}(ℝ):\mathrm{\forall }n,m\in \mathbb{N}{x}^n{\phi }^{(m)}(x)\stackrel{x\to \mathrm{\infty }}{\to }0\}.$

Ключевым свойством этого пространства является то, что это инвариантное подпространство по отношению к преобразованию Фурье.

Теперь определим его двойственное пространство $S^{*}(ℝ)$. Это некоторое подпространство в пространстве всех обобщённых функций — так называемые обобщённые функции медленного роста. Теперь для функции $f\in S^{*}(ℝ)$ её преобразованием Фурье называется обобщённая функция $\hat{f}\in S^{*}(ℝ)$, действующая на основные функции по правилу

$⟨\hat{f},\phi ⟩=⟨f,\hat{\phi }⟩.$

Например, вычислим преобразование Фурье дельта-функции (при наличии множителя $\frac{1}{\sqrt{2\pi }}$ в преобразовании Фурье):

$⟨\hat{\delta },\phi ⟩=⟨\delta ,\hat{\phi }⟩=⟨\delta ,\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\phi (x)e^{-i\omega x}dx⟩=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\phi (x)\cdot 1dx=⟨\frac{1}{\sqrt{2\pi }},\phi ⟩.$

Таким образом, преобразованием Фурье дельта-функции является константа $\frac{1}{\sqrt{2\pi }}$.

Принцип неопределённости

Рассмотрим сигнал $x(t)$, для которого преобразование Фурье имеет вид: $F(\omega )=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}x(t)e^{-i\omega t}dt$.

Перейдя от частоты $\omega =2\pi f$ к частоте $f$ получим: $F(f)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}x(t)e^{-i2\pi ft}dt$.

Чем больше концентрация сигнала $x(t)$ во временной области, тем более размазанным должен быть модуль его преобразования Фурье $|F(f)|$. В частности, свойство масштабирования преобразования Фурье можно представить так: если сжать функцию в Шаблон:Mvar раз, то её преобразование Фурье растягивается в Шаблон:Mvar раз. Невозможно произвольно сконцентрировать как функцию, так и её преобразование Фурье.

Предположим, что $f(t)$ — квадратично-интегрируемая функция. Тогда норма или энергия сигнала выражается как:

$E=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{f}^2(t)dt$.

Среднее значение для распределения энергии сигнала по времени имеет вид:

$t_0=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}t{f}^2(t)dt$.

В качестве меры длительности сигнала можно использовать удвоенную величину среднеквадратичной длительности $\mathrm{\Delta }t=2\sqrt{D_t}$, называемую эффективной длительностью сигнала, где

$D_t=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(t-t_0{)}^2{f}^2(t)dt$.

В терминах теории вероятности $D_t$ — это центральный второй момент функции $f(t)$.

Среднее значение для распределения энергии сигнала в частотной области имеет вид:

$F_0=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f|F(f){|}^{2}df=0$,

так как подынтегральная функция нечётна.

В качестве меры локализации сигнала в частотной области можно использовать величину $\mathrm{\Delta }f=2\sqrt{D_f}$, называемую эффективной шириной полосы частот сигнала, где

$D_f=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(f-F_0{)}^2|F(f){|}^{2}df=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{f}^2|F(f){|}^{2}df$.

В терминах теории вероятности $D_f$ — это центральный второй момент функции $|F(f)|$.

Принцип неопределённости гласит, что для дифференцируемых вещественных сигналов $x(t)$ с энергией $E$, для которых интеграл $t_0$ сходится (то есть $t_0<\mathrm{\infty }$) и $\underset{t\to \pm \mathrm{\infty }}{\lim }t{f}^2(t)=0$, произведение эффективной длительности сигнала $\mathrm{\Delta }t$ и эффективной ширины полосы частот сигнала $\mathrm{\Delta }f$ ограничено снизу:

$\mathrm{\Delta }t\mathrm{\Delta }f\ge \frac{E}{\pi }$,

Равенство $\mathrm{\Delta }t\mathrm{\Delta }f=\frac{E}{\pi }$ достигается только в случае гауссова импульса $f(t)=C{e}^{-k{t}^2}$, где $k$ и $C$ некоторые константы ($k>0$).

В квантовой механике импульс и положение волновой функции являются парами преобразований Фурье с точностью до постоянной Планка. При правильном учёте этой постоянной, неравенство выше становится утверждением принципа неопределённости Гейзенберга.

Более сильным принципом неопределённости является принцип неопределённости Хиршмана, который выражается как:

$H\left({\left|x\right|}^2\right)+H\left({\left|F\right|}^2\right)\ge \ln \left(\frac{e}{2}\right)$

где $H(p)$ — дифференциальная энтропия функции плотности вероятности $p(z)$:

$H(p)=-\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}p(z)\ln (p(z))dz$,

Равенство достигается для функции Гаусса, как и в предыдущем случае.

Применения

Преобразование Фурье используется во многих областях науки — в физике, теории чисел, комбинаторике, обработке сигналов, теории вероятностей, статистике, криптографии, акустике, океанологии, оптике, геометрии и многих других. В обработке сигналов и связанных областях преобразование Фурье обычно рассматривается как декомпозиция сигнала на частоты и амплитуды, то есть обратимый переход от временно́го пространства в частотное пространство. Богатые возможности применения основываются на нескольких полезных свойствах преобразования:

• Преобразования являются линейными операторами и, с соответствующей нормализацией, унитарными (свойство, известное как теорема Парсеваля, или, в более общем случае, как теорема Планшереля).
• Преобразования обратимы, причём обратное преобразование имеет практически такую же форму, как и прямое преобразование.
• Синусоидальные базисные функции (вернее, комплексные экспоненты) являются собственными функциями дифференцирования, что означает, что данное представление превращает линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами в обычные алгебраические.
• По теореме о свёртке, преобразование Фурье превращает сложную операцию свёртки в простое умножение, что означает, что они обеспечивают эффективный способ вычисления основанных на свёртке операций, таких как умножение многочленов.
• Дискретная версия преобразования Фурье может быть быстро рассчитана на компьютерах с использованием алгоритма быстрого преобразования Фурье (БПФ).

Разновидности

Многомерное преобразование

Преобразование Фурье функций, заданных на пространстве ${ℝ}^n$, определяется формулой

$\hat{f}(\omega )=\frac{1}{(2\pi {)}^{n/2}}\underset{{ℝ}^n}{\int }f(x)e^{-ix\cdot \omega }dx.$

Здесь $\omega$ и $x$ — векторы пространства ${ℝ}^n$, $x\cdot \omega$ — их скалярное произведение. Обратное преобразование в этом случае задаётся формулой

$f(x)=\frac{1}{(2\pi {)}^{n/2}}\underset{{ℝ}^n}{\int }\hat{f}(\omega )e^{ix\cdot \omega }d\omega .$

Эта формула может быть интерпретирована как разложение функции $f$ в линейную комбинацию (суперпозицию) «плоских волн» вида $e^{ix\cdot \omega }$ с амплитудами $\frac{1}{(2\pi {)}^{n/2}}|\hat{f}(\omega )|$, частотами $\omega$ и фазовыми сдвигами $\arg \hat{f}(\omega )$ соответственно. Как и прежде, в разных источниках определения многомерного преобразования Фурье могут отличаться выбором константы перед интегралом.

Замечание относительно области задания преобразования Фурье и его основные свойства остаются справедливыми и в многомерном случае, со следующими уточнениями:

• Взятие частных производных под действием преобразования Фурье превращается в умножение на одноимённую координату:

$\widehat{\frac{\partial f}{\partial x_k}}=i{\omega }_k\hat{f}(\omega ).$

• Изменяется константа в теореме о свёртке:

$\widehat{(f\ast g)}=(2\pi {)}^{n/2}\hat{f}\hat{g}.$

• Преобразование Фурье и сжатие координат:

$\widehat{\left(f\left(\frac{x}{|a|}\right)\right)}=|a{|}^n\hat{f}(\omega |a|).$

• Более общо, если $A:{ℝ}^n\to {ℝ}^n$ — обратимое линейное отображение, то

$\widehat{(f(Ax))}=|\det (A){|}^{-1}\hat{f}((A^T{)}^{-1}\omega ).$

Ряды Фурье

Шаблон:Основная статья Непрерывное преобразование само фактически является обобщением более ранней идеи рядов Фурье, которые определены для $2\pi$-периодических функций и представляют собой разложение таких функций в (бесконечную) линейную комбинацию гармонических колебаний с целыми частотами:

$f(x)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\hat{f}}_n{e}^{inx}.$

Разложение в ряд Фурье применимо также к функциям, заданным на ограниченных промежутках, поскольку такие функции могут быть периодически продолжены на всю прямую.

Ряд Фурье является частным случаем преобразования Фурье, если последнее понимать в смысле обобщённых функций. Для любой $2\pi$-периодической функции имеем

$\hat{f}(\omega )=\sqrt{2\pi }\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\hat{f}}_n\delta (\omega -n).$

Иными словами, преобразование Фурье периодической функции представляет собой сумму точечных нагрузок в целых точках и равно нулю вне их.

Дискретное преобразование

Шаблон:Основная статья Дискретное преобразование Фурье — преобразование конечных последовательностей (комплексных) чисел, которое, как и в непрерывном случае, превращает свёртку в поточечное умножение. Используется в цифровой обработке сигналов и в других ситуациях, где необходимо быстро выполнять свёртку, например, при умножении больших чисел.

Пусть $x_0,x_1,\dots ,x_{n-1}$ — последовательность комплексных чисел. Рассмотрим многочлен $f(t)=x_0+x_{1}t+x_2{t}^2+\dots +x_{n-1}{t}^{n-1}$. Выберем какие-нибудь $n$ точек на комплексной плоскости $z_0,z_1,\dots ,z_{n-1}$. Теперь многочлену $f(t)$ мы можем сопоставить новый набор из $n$ чисел: $f_0:=f(z_0),f_1:=f(z_1),\dots ,f_{n-1}:=f(z_{n-1})$. Заметим, что это преобразование обратимо: для любого набора чисел $f_0,f_1,\dots ,f_{n-1}$ существует единственный многочлен $f(t)$ степени не выше $n-1$ с такими значениями в $z_0,\dots ,z_{n-1}$ соответственно (см. Интерполяция).

Набор $\{f_k\}$ и называется дискретным преобразованием Фурье исходного набора $\{x_k\}$. В качестве точек $z_k$ обычно выбирают корни $n$-й степени из единицы:

$z_k=e^{\frac{2\pi ik}{n}}$.

Такой выбор продиктован тем, что в этом случае обратное преобразование принимает простую форму, а также тем, что вычисление преобразования Фурье может быть выполнено особенно быстро. Так, в то время как вычисление свёртки двух последовательностей длины $n$ напрямую требует порядка $n^2$ операций, переход к их преобразованию Фурье и обратно по быстрому алгоритму может быть выполнен за $O(n\log n)$ операций. Для преобразований Фурье свёртке соответствует покомпонентное умножение, которое требует лишь порядка $n$ операций.

Оконное преобразование

$F(t,\omega )=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(\tau )W(\tau -t)e^{-i\omega \tau }d\tau ,$

где $F(t,\omega )$ даёт распределение частот (вообще говоря, несколько искажённое) части оригинального сигнала $f(t)$ в окрестности момента времени $t$.

Классическое преобразование Фурье имеет дело со спектром сигнала, взятым во всём диапазоне существования переменной. Нередко интерес представляет только локальное распределение частот, в то время как требуется сохранить изначальную переменную (обычно время). В этом случае используется обобщение преобразования Фурье — так называемое оконное преобразование Фурье. Для начала необходимо выбрать некоторую оконную функцию $W$, причём эта функция должна иметь хорошо локализованный спектр.

На практике дискретный спектральный анализ реализован в современных цифровых осциллографах и анализаторах спектра. Используется, как правило, выбор окна из 3—10 типов. Применение окон принципиально необходимо, поскольку в реальных приборах исследуется всегда некоторая вырезка из исследуемого сигнала. При этом разрывы сигнала вследствие вырезки резко искажают спектр из-за наложения спектров скачков на спектр сигнала.

Некоторые анализаторы спектра используют быстрое (или кратковременное) оконное преобразование. При нём сигнал заданной длительности разбивается на ряд интервалов с помощью скользящего окна того или иного типа. Это позволяет получать, исследовать и строить в виде спектрограмм динамические спектры и анализировать их поведение во времени. Спектрограмма строится в трёх координатах — частота, время и амплитуда. При этом амплитуда задаётся цветом или оттенком цвета каждого прямоугольника спектрограммы. Подобные анализаторы спектра называют анализаторами спектра реального времени. Основным их производителем является корпорация Keysight Technologies (США), Rohde & Schwarz (Германия), Tektronix (США). Такие анализаторы появились в конце прошлого века и ныне бурно развиваются. Частотный диапазон исследуемых ими сигналов достигает сотен гигагерц.

Указанные методы спектрального анализа реализуются и в системах компьютерной математики, например, Mathcad, Mathematica, Maple и MATLAB.

Другие варианты

Дискретное преобразование Фурье является частным случаем (и иногда применяется для аппроксимации) дискретного во времени преобразования Фурье (DTFT), в котором $x_k$ определены на дискретных, но бесконечных областях, и таким образом спектр является непрерывным и периодическим. Дискретное во времени преобразование Фурье является по существу обратным для рядов Фурье.

Эти разновидности преобразования Фурье могут быть обобщены на преобразования Фурье произвольных локально компактных абелевых топологических групп, которые изучаются в гармоническом анализе; они преобразуют группу в её дуальную группу. Эта трактовка также позволяет сформулировать теорему о свёртке, которая устанавливает связь между преобразованиями Фурье и свёртками. См. также дуализм Понтрягина.

Интерпретация в терминах времени и частоты

В терминах обработки сигналов преобразование берёт представление функции сигнала в виде временны́х рядов и отображает его в частотный спектр, где $\omega$ — угловая частота. То есть оно превращает функцию времени в функцию частоты; это разложение функции на гармонические составляющие на различных частотах.

Когда функция $f$ является функцией времени и представляет физический сигнал, преобразование имеет стандартную интерпретацию как спектр сигнала. Абсолютная величина получающейся в результате комплексной функции $F(\omega )$ пропорциональна амплитудам соответствующих частот $\omega$, в то время как фазовые сдвиги являются аргументами этой комплексной функции.

Однако преобразования Фурье не ограничиваются функциями времени и временными частотами. Они могут в равной степени применяться для анализа пространственных частот, также как для практически любых других функций.

Примеры формул

Следующая таблица содержит список формул для преобразования Фурье. $F(\omega )$ и $G(\omega )$ обозначают Фурье компоненты функций $f(t)$ и $g(t)$, соответственно. $f$ и $g$ должны быть интегрируемыми функциями или обобщёнными функциями.

	Функция	Образ с множителем $\frac{1}{\sqrt{2\pi }}$	Образ с множителем $1$	Примечания
	$f(x)$	$F(\omega )=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)e^{-ix\omega }dx$	$F(\omega )=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)e^{-ix\omega }dx$
1	$af(t)+bg(t)$	$aF(\omega )+bG(\omega )$	$aF(\omega )+bG(\omega )$	Линейность
2	$f(t-a)$	$e^{-i\omega a}F(\omega )$	$e^{-i\omega a}F(\omega )$	Запаздывание
3	$e^{iat}f(t)$	$F(\omega -a)$	$F(\omega -a)$	Частотный сдвиг
4	$f(at)$	$|a{|}^{-1}F\left(\frac{\omega }{a}\right)$	$|a{|}^{-1}F\left(\frac{\omega }{a}\right)$	Если $a$ большое, то $f(at)$ сосредоточена около нуля, и $|a{|}^{-1}F\left(\frac{\omega }{a}\right)$ становится плоским
5	$\frac{d^{n}f(t)}{d{t}^n}$	$(i\omega {)}^{n}F(\omega )$	$(i\omega {)}^{n}F(\omega )$	Свойство преобразования Фурье от $n$-й производной
6	$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{t}{\int }}f(\tau )d\tau$	$\sqrt{\frac{\pi }{2}}F(0)\delta (\omega )+\frac{1}{\sqrt{2\pi }i\omega }F(\omega )$	$\pi F(0)\delta (\omega )+\frac{1}{i\omega }F(\omega )$	Свойство преобразования Фурье от интеграла
7	$t^{n}f(t)$	$i^n\frac{d^{n}F(\omega )}{d{\omega }^n}$	$i^n\frac{d^{n}F(\omega )}{d{\omega }^n}$	Это обращение правила 5
8	$f(t)*g(t)$	$\sqrt{2\pi }F(\omega )G(\omega )$	$F(\omega )G(\omega )$	Запись $f*g$ означает свёртку $f$ и $g$: $f(t)*g(t)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(\tau )g(t-\tau )d\tau$. Это правило — теорема о свёртке
9	$f(t)g(t)$	$\frac{F(\omega )*G(\omega )}{\sqrt{2\pi }}$	$\frac{F(\omega )*G(\omega )}{2\pi }$	Это обращение 8
10	$\delta (t)$	$\frac{1}{\sqrt{2\pi }}$	$1$	$\delta (t)$ означает дельта-функцию Дирака
11	$1$	$\sqrt{2\pi }\delta (\omega )$	$2\pi \delta (\omega )$	Обращение 10.
12	$t^n$	$i^n\sqrt{2\pi }{\delta }^{(n)}(\omega )$	$i^{n}2\pi {\delta }^{(n)}(\omega )$	Здесь $n$ — натуральное число, ${\delta }^{(n)}(\omega )$ — $n$-я производная дельта-функции Дирака. Следствие правил 7 и 11. Использование его вместе с правилом 1 позволяет делать преобразования любых многочленов
13	$e^{iat}$	$\sqrt{2\pi }\delta (\omega -a)$	$2\pi \delta (\omega -a)$	Следствие 3 и 11
14	$\cos (at)$	$\sqrt{2\pi }\frac{\delta (\omega -a)+\delta (\omega +a)}{2}$	$\pi (\delta (\omega -a)+\delta (\omega +a))$	Следствие 1 и 12 с использованием формулы Эйлера $\cos (at)=\frac{1}{2}(e^{iat}+e^{-iat})$
15	$\sin (at)$	$\sqrt{2\pi }\frac{\delta (\omega -a)-\delta (\omega +a)}{2i}$	$-i\pi (\delta (\omega -a)-\delta (\omega +a))$	Также из 1 и 13
16	$\exp (-a{t}^2)$	$\frac{1}{\sqrt{2a}}\exp \left(\frac{-{\omega }^2}{4a}\right)$	$\sqrt{\frac{\pi }{a}}\exp \left(\frac{-{\omega }^2}{4a}\right)$	Показывает, что функция Гаусса $\exp (-t^2/2)$ совпадает со своим изображением
17	$W\sqrt{\frac{2}{\pi }}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}(Wt)$	$\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}\left(\frac{\omega }{2W}\right)$	$\sqrt{2\pi }\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}\left(\frac{\omega }{2W}\right)$	Прямоугольная функция — передаточная характеристика идеального фильтра нижних частот, а функция sinc(x) — его импульсная характеристика
18	$\frac{1}{t}$	$-i\sqrt{\frac{\pi }{2}}\mathrm{sgn}(\omega )$	$-i\pi \mathrm{sgn}(\omega )$	Здесь $\mathrm{sgn}(\omega )$ — функция sgn. Это правило согласуется с 7 и 11
19	$\frac{1}{t^n}$	$-i\sqrt{\frac{\pi }{2}}\frac{(-i\omega {)}^{n-1}}{(n-1)!}\mathrm{sgn}(\omega )$	$-i\pi \frac{(-i\omega {)}^{n-1}}{(n-1)!}\mathrm{sgn}(\omega )$	Обобщение 18
20	$\mathrm{sgn}(t)$	$\sqrt{\frac{2}{\pi }}\frac{1}{i\omega }$	$\frac{2}{i\omega }$	Обращение 17
21	$\theta (t)$	$\frac{1}{\sqrt{2\pi }}(\frac{1}{i\omega }+\pi \delta (\omega ))$	$\frac{1}{i\omega }+\pi \delta (\omega )$	Здесь $\theta (t)$ — функция Хевисайда. Следует из правил 1 и 20

См. также

• Ортогональные функции
• Дискретное преобразование Фурье над конечным полем
• Вейвлет
• Чирплет
• Преобразование Гильберта — Хуанга
• Гильбертово пространство

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга

Ссылки

• Интегральные преобразования Шаблон:Wayback EqWorld: Мир математических уравнений
• Online Computation of the transform or inverse transform
• «Преобразование Фурье» Шаблон:Wayback — перевод статьи An Interactive Guide To The Fourier Transform | BetterExplained Шаблон:WaybackШаблон:Ref-en
• Рональд Н. Брейсуэлл. Преобразование Фурье. Scientific American. В мире науки. № 8, 1989, стр. 48-56 Шаблон:Wayback