Передаточная функция

Пeрeда́точная фу́нкция — один из способов математического описания динамической системы. Используется в основном в теории управления, связи и цифровой обработке сигналов. Представляет собой дифференциальный оператор, выражающий связь между входом и выходом линейной стационарной системы. Зная входной сигнал системы и передаточную функцию, можно восстановить выходной сигнал.

В теории управления передаточная функция непрерывной системы представляет собой отношение преобразования Лапласа выходного сигнала к преобразованию Лапласа входного сигнала при нулевых начальных условиях.

Так как передаточная функция системы полностью определяет ее динамические свойства, то первоначальная задача расчета САР сводится к определению ее передаточной функции. При расчете настроек регуляторов широко используются достаточно простые динамические модели промышленных объектов управления. Передаточная функция является дробно-рациональной функцией комплексной переменной для разных систем.

Линейные стационарные системы

Пусть $u(t)$ — входной сигнал линейной стационарной системы, а $y(t)$ — её выходной сигнал. Тогда передаточная функция $W(s)$ такой системы записывается в виде:

$W(s)=\frac{Y(s)}{U(s)},$

где $s=\sigma +j\omega$ — оператор передаточной функции в преобразовании Лапласа,

$U(s)$ и $Y(s)$ — преобразования Лапласа для сигналов $u(t)$ и $y(t)$ соответственно:

$U(s)=ℒ\{u(t)\}\equiv \underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}u(t)e^{-st}dt,$

$Y(s)=ℒ\{y(t)\}\equiv \underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}y(t)e^{-st}dt.$

Дискретная передаточная функция

Для дискретных и дискретно-непрерывных систем вводится понятие дискретной передаточной функции. Пусть $u(k)$ — входной дискретный сигнал такой системы, а $y(k)$ — её дискретный выходной сигнал, $k=0,1,2,\dots$. Тогда передаточная функция $W(z)$ такой системы записывается в виде:

$W(z)=\frac{Y(z)}{U(z)}$,

где $U(z)$ и $Y(z)$ — z-преобразования для сигналов $u(k)$ и $y(k)$ соответственно:

$U(z)=𝒵\{u(k)\}\equiv \sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}u(k)z^{-k}$,

$Y(z)=𝒵\{y(k)\}\equiv \sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}y(k)z^{-k}$.

Связь с другими динамическими характеристиками

• АФЧХ системы можно получить из передаточной функции с помощью формальной замены комплексной переменной $s$ на $j\omega$:

$W(j\omega )\equiv W(s),s=j\omega$.

• Импульсная переходная функция является оригиналом (в смысле преобразования Лапласа) для передаточной функции.

Свойства передаточной функции, полюсы и нули передаточной функции

1. Для стационарных систем (т. е. систем с неизменяемыми параметрами компонентов) и с сосредоточенными параметрами передаточная функция — это дробно-рациональная функция комплексной переменной $s$:

$W(s)=\frac{R(s)}{Q(s)}=\frac{b_0{s}^m+b_1{s}^{m-1}+\dots +b_m}{a_0{s}^n+a_1{s}^{n-1}+\dots +a_n}$.

2. Знаменатель и числитель передаточной функции — это характеристические полиномы дифференциального уравнения движения линейной системы. Полюсами передаточной функции называют корни характеристического полинома знаменателя, нули — корни характеристического полинома числителя.

3. В физически реализуемых системах порядок полинома числителя передаточной функции $m$ не может превышать порядка полинома её знаменателя $n$, то есть $m\le n$

4. Импульсная переходная функция представляет собой оригинал (преобразования Лапласа) для передаточной функции.

5. При формальной замене $s=j\omega$ в $W(s)$ получается комплексная передаточная функция системы, описывающая одновременно амплитудно-частотную (в виде модуля этой функции) и фазо-частотную характеристики системы как её аргумент.

Матричная передаточная функция

Для MIMO-систем вводится понятие матричной передаточной функции. Матричная передаточная функция от вектора входа системы $U(t)$ до вектора выхода $Y(t)$ — это матрица $W=\{w_{i,j}\}$, элемент $i$-й строки $j$-го столбца представляет собой передаточную функцию системы от $i$-й координаты вектора входа системы до $j$-й координаты вектора выхода.

См. также

• ЛАФЧХ
• Частотный отклик
• АФЧХ
• Билинейное преобразование
• Активационная функция

Ссылки

• Передаточная функция
• Программа преобразования передаточной функции в разностное уравнение