Билинейное преобразование

Шаблон:Не путать Шаблон:Не путать Билине́йное преобразова́ние (или преим. в зап. литературе преобразование Та́стина (англ.: Tustin’s method transformation)) — конформное отображение, используемое для преобразования передаточной функции $H_a(s)$ линейной стационарной системы (например, корректирующего звена системы управления, электронного фильтра и т. п.) непрерывной формы в передаточную функцию $H_d(z)$ линейной системы в дискретной форме.

Оно отображает точки $j\omega$-оси, $Re[s]=0$, на s-плоскости в окружность единичного радиуса, $|z|=1$, на z-плоскости.

Это преобразование сохраняет устойчивость исходной непрерывной системы и существует для всех точек её передаточной функции. То есть, для каждой точки передаточной функции или АФЧХ исходной системы существует подобная точка с идентичными фазой и амплитудой дискретной системы. Однако эта точка может быть расположена на другой частоте. Эффект сдвига частот практически незаметен при небольших частотах, однако существенен на частотах, близких к частоте Найквиста.

Билинейное преобразование представляет собой функцию, аппроксимирующую натуральный логарифм, который является точным отображением z-плоскости на s-плоскость. При применении преобразования Лапласа над дискретным сигналом (представляющего последовательность отсчётов), результатом является Z-преобразование с точностью до замены переменных:

$z$ $=e^{sT}$ $=\frac{e^{sT/2}}{e^{-sT/2}}$ $\approx \frac{1+sT/2}{1-sT/2},$

где $T$ — период дискретизации (обратная к частоте дискретизации величина).

Аппроксимация, приведённая выше и является билинейным преобразованием.

Обратное преобразование из s-плоскости в z-плоскость и его билинейная аппроксимация записываются следующим образом:

$s$ $=\frac{1}{T}\ln (z)$ $=\frac{2}{T}[\frac{z-1}{z+1}+\frac{1}{3}{\left(\frac{z-1}{z+1}\right)}^3+\frac{1}{5}{\left(\frac{z-1}{z+1}\right)}^5+\frac{1}{7}{\left(\frac{z-1}{z+1}\right)}^7+\dots ]$ $\approx \frac{2}{T}\frac{z-1}{z+1}\approx$ $\approx \frac{2}{T}\frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}.$

Билинейное преобразование использует это соотношения для замены передаточной функции $H_a(s)$ на её дискретный аналог:

$s\leftarrow \frac{2}{T}\frac{z-1}{z+1},$

то есть:

$H_d(z)=H_a(s){|}_{s=\frac{2}{T}\frac{z-1}{z+1}}=H_a\left(\frac{2}{T}\frac{z-1}{z+1}\right).$

Билинейное преобразование — частный случай преобразования Мёбиуса, определяемого как:

$z^{\prime }=\frac{az+b}{cz+d}.$

Источники

1Шаблон:Недоступная ссылка на с. 47

2 глава 3.2.2 Метод билинейного преобразования