Натуральный логарифм

График функции натурального логарифма. Функция медленно приближается к положительной бесконечности при увеличении x и быстро приближается к отрицательной бесконечности, когда x стремится к 0

Натуральный логарифм — логарифм по основанию e, где $e$ — трансцендентная константа, равная приблизительно 2,718. Он обозначается как $\ln x$ , $\log_{e} x$ или иногда просто $\log x$ , если основание $e$ подразумевается^[1]. Обычно число $x$ под знаком логарифма вещественное, но можно расширить это понятие и на комплексные числа.

Из определения следует, что логарифмическая зависимость есть обратная функция для экспоненты $y = e^{x}$ , поэтому их графики симметричны относительно биссектрисы первого и третьего квадрантов (см. рисунок справа). Как и экспонента, логарифмическая функция относится к категории трансцендентных функций.

Натуральные логарифмы полезны для решения алгебраических уравнений, в которых неизвестная присутствует в качестве показателя степени, они незаменимы в математическом анализе.

В приложениях натуральный логарифм участвует в математическом описании таких процессов, в которых скорость изменения некоторого количества в каждый момент обратно пропорциональна самому количеству. Например, логарифмы используются для нахождения постоянной распада для известного периода полураспада радиоактивного вещества: чем больше атомов распадается, тем меньше их становится и тем медленнее идёт дальнейший процесс. Натуральные логарифмы играют важную роль во многих областях математики и прикладных наук, применяются в сфере финансов для решения различных задач, (например, нахождение сложных процентов).

Определение

Натуральный логарифм числа $a$ — это показатель степени, в которую нужно возвести число e, чтобы получить $a$ . Другими словами, натуральный логарифм $\ln a$ есть решение $x$ уравнения $e^{x} = a .$

Примеры:

\ln e = 1

, потому что

e^{1} = e

;

\ln 1 = 0

, потому что

e^{0} = 1

.

Вещественный натуральный логарифм

Натуральный логарифм $\ln a$ для вещественного числа $a$ определён и однозначен для любого положительного числа $a .$

Натуральный логарифм может быть также определён геометрически для любого положительного вещественного числа a как площадь под кривой $y = \frac{1}{x}$ на промежутке $[1; a]$ . Простота этого определения, которое согласуется со многими другими формулами, в которых применяется данный логарифм, объясняет происхождение названия «натуральный».

Свойства

Из определения логарифма следует основное логарифмическое тождество^[2]:

e^{\ln a} = a

Приведём сводку формул в предположении, что все значения положительныШаблон:Sfn:

	Формула	Пример
Произведение	$\ln (x y) = \ln x + \ln y$	$\ln (4 \cdot 3) = \ln 4 + \ln 3$
Частное	$\ln (\frac{x}{y}) = \ln x - \ln y$	$\ln (\frac{1}{e^{2}}) = \ln (1) - \ln (e^{2}) = 0 - 2 = - 2$
Степень	$\ln (x^{p}) = p \ln x$	$\ln (64) = \ln (2^{6}) = 6 \ln 2$
Корень	$\ln \sqrt[p]{x} = \frac{\ln x}{p}$	$\ln \sqrt{10} = \frac{1}{2} \ln 10$

Другие свойства:

Из равенства двух вещественных логарифмов следует равенство логарифмируемых выражений.
С возрастанием аргумента возрастает и логарифм: если $0 < x < y,$ то $\ln x < \ln y .$
$\frac{h}{1 + h} ⩽ \ln (1 + h) ⩽ h,$ если $h > - 1 .$

Связь с логарифмами по другому основанию

Логарифм может быть определён для любого положительного основания, отличного от $1$ , а не только для $e$ , но логарифмы для других оснований отличаются от натурального логарифма только постоянным множителем.

Логарифм $\log_{a} b$ по основанию $a$ можно преобразоватьШаблон:Sfn в натуральный логарифм и обратно:

\ln b = \frac{\log_{a} b}{\log_{a} e} = \log_{a} b \cdot \ln a

\log_{a} b = \frac{\ln b}{\ln a}

Связь десятичного ( $\lg x$ ) и натурального логарифмовШаблон:Sfn:

\ln x \approx 2, 30259 \lg x; \lg x \approx 0, 43429 \ln x

Связь двоичного ( $lb x$ ) и натурального логарифмов:

\ln x \approx 0, 693147 lb x; lb x \approx 1, 442695 \ln x

Логарифмическая функция

Графики логарифмических функций; красная кривая — натуральный логарифм

Если рассматривать логарифмируемое число как переменную, мы получим логарифмическую функцию $y = \ln x$ . Она определена при $x > 0$ . Область значений: $E (y) = (- \infty; + \infty)$ . Эта кривая часто называется логарифмикой^[3]. Из формулы замены основания логарифма видно, что графики логарифмических функций с разными основаниями, бо́льшими единицы, отличаются один от другого только масштабом по оси $y$ ; графики для оснований, меньших единицы, являются их зеркальным отражением относительно горизонтальной оси.

Функция является строго возрастающей, она непрерывна и неограниченно дифференцируема всюду в своей области определения.

Ось ординат ( $x = 0$ ) является вертикальной асимптотой, поскольку:

\lim_{x \to 0 +} \ln x = - \infty

Производная натуральной логарифмической функции равна:

\frac{d}{d x} \ln x = \frac{1}{x}

Простота этой формулы — одна из причин широкого использования именно натурального логарифма в анализе и при решении дифференциальных уравнений.

Натуральный логарифм равен площади под гиперболой

Проинтегрировав формулу для производной в интервале от $x = 1$ до $x = b$ , мы получаем:

\ln b = \int_{1}^{b} \frac{d x}{x}

Другими словами, натуральный логарифм $\ln b$ равен площади под гиперболой $y = \frac{1}{x}$ для указанного интервала $[1, b]$ .

С точки зрения общей алгебры, логарифмическая функция осуществляет (единственно возможный) изоморфизм мультипликативной группы положительных вещественных чисел и аддитивной группы всех вещественных чисел. Другими словами, логарифмическая функция есть единственное (определённое для всех положительных значений аргумента) непрерывное решение функционального уравнения Шаблон:Sfn:

f (x y) = f (x) + f (y)

Аналитические свойства функции

Из формулы для производной натурального логарифма следует, что первообразная для гиперболы $y = 1 / x$ имеет вид:

\int \frac{d x}{x} = \ln | x | + C,

где $C$ — произвольная константа интегрирования. Поскольку функция $y = 1 / x$ состоит из двух ветвей (одна для положительных, другая для отрицательных $x$ ), семейство первообразных для $y = 1 / x$ тоже состоит из двух подсемейств, причём константы интегрирования у них независимы одна от другой.

Неопределённый интеграл от натурального логарифма легко найти интегрированием по частям:

\int \ln x d x = x \ln x - x + C

В математическом анализе и теории дифференциальных уравнений большую роль играет понятие логарифмической производной функции $f (x)$ :

\frac{d}{d x} \ln (f (x)) = \frac{f^{'} (x)}{f (x)}

Методы вычисления логарифма

Разложим натуральный логарифм в ряд Тейлора вблизи единицы: Шаблон:EF Этот ряд, называемый «рядом Меркатора», сходится при $- 1 < x ⩽ 1$ . В частности: Шаблон:EF Формула Шаблон:Eqref непригодна для практического расчёта логарифмов из-за того, что ряд сходится очень медленно и только в узком интервале. Однако нетрудно получить из неё более удобную формулу: Шаблон:EF Этот ряд сходится быстрее, а кроме того, левая часть формулы теперь может выразить логарифм любого положительного числа $z = \frac{1 + x}{1 - x}$ , ибо тогда $x = \frac{z - 1}{z + 1}$ по абсолютной величине меньше единицы. Данный алгоритм уже пригоден для реальных численных расчётов значений логарифмов, однако не является наилучшим с точки зрения трудоёмкости.

Для вычисления натурального логарифма с большим количеством цифр точности ряд Тейлора не является эффективным, поскольку его сходимость медленная. Альтернативой является использование метода Ньютона, чтобы инвертировать в экспоненциальную функцию, ряд которой сходится быстрее.

Альтернативой для очень высокой точности расчёта является формула:^[4]^[5]:

\ln x \approx \frac{π}{2 M (1, 4 / s)} - m \ln 2

где $M$ обозначает арифметико-геометрическое среднее 1 и 4/s, и

s = x 2^{m} > 2^{p / 2},

m выбрано так, что p знаков точности достигается. (В большинстве случаев значение 8 для m вполне достаточно.) В самом деле, если используется этот метод, может быть применена инверсия Ньютона натурального логарифма для эффективного вычисления экспоненциальной функции. Константы ln 2 и пи могут быть предварительно вычислены до желаемой точности, используя любой из известных быстро сходящихся рядов.

Вычислительная сложность натуральных логарифмов (с помощью арифметико-геометрического среднего) равна O(M(n) ln n). Здесь n — число цифр точности, для которой натуральный логарифм должен быть оценен, а M(n) — вычислительная сложность умножения двух n-значных чисел.

Полезные пределы

Приведём несколько полезных пределов, связанных с логарифмамиШаблон:Sfn:

\lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + x)}{x} = 1

\lim_{x \to 0 +} x^{b} \ln x = 0 (b > 0)

\lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x^{b}} = 0 (b > 0)

\ln x = \lim_{n \to \infty} n (\sqrt[n]{x} - 1) = \lim_{n \to \infty} n (1 - \frac{1}{\sqrt[n]{x}})

\ln x = \lim_{h \to 0} \frac{x^{h} - 1}{h}

Трансцендентность

Из теоремы Линдемана — Вейерштрасса (1885) вытекает следующее следствие: если аргумент $x$ есть алгебраическое число, отличное от единицы, то значение $\ln x$ есть не только иррациональное, но и трансцендентное число^[6].

Непрерывные дроби

Хотя для представления логарифма отсутствуют классические непрерывные дроби, но можно использовать несколько «обобщённых непрерывных дробей», в том числе:

\ln (1 + x) = \frac{x^{1}}{1} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{5}}{5} - \dots = \frac{x}{1 - 0 \cdot x + \frac{1^{2} x}{2 - 1 \cdot x + \frac{2^{2} x}{3 - 2 x + \frac{3^{2} x}{4 - 3 x + \frac{4^{2} x}{5 - 4 x + ⋱}}}}}

\ln (1 + \frac{2 x}{y}) = \frac{2 x}{y + \frac{x}{1 + \frac{x}{3 y + \frac{2 x}{1 + \frac{2 x}{5 y + \frac{3 x}{1 + ⋱}}}}}} = \frac{2 x}{y + x - \frac{(1 x)^{2}}{3 (y + x) - \frac{(2 x)^{2}}{5 (y + x) - \frac{(3 x)^{2}}{7 (y + x) - ⋱}}}}

История

Шаблон:Main Впервые натуральные логарифмы в современном понимании появились в 1619 году, когда лондонский учитель математики Джон Спайдел переиздал логарифмические таблицы Непера, исправленные и дополненные так, что они фактически стали таблицами натуральных логарифмов^[7]. В 1649 году бельгийский математик Грегуар де Сен-Венсан показал, что площадь под гиперболой $y = \frac{1}{x}$ меняется по логарифмическому закону, и предложил называть этот вид логарифмов «гиперболическим»^[8].

Термин «натуральный логарифм» ввели в употребление Пьетро Менголи (1659 год) и Николас Меркатор в фундаментальном труде «Logarithmotechnia» (1668)^[9]^[10]. Там же Меркатор описал разложение натурального логарифма в «ряд Меркатора».

Первые попытки распространить логарифмы на комплексные числа предпринимали на рубеже XVII—XVIII веков Лейбниц и Иоганн Бернулли, однако создать целостную теорию им не удалось — в первую очередь по той причине, что тогда ещё не было ясно определено само понятие логарифмаШаблон:Sfn. Дискуссия по этому поводу велась сначала между Лейбницем и Бернулли, а в середине XVIII века — между Д’Аламбером и Эйлером. Бернулли и Д’Аламбер считали, что следует определить $\log (- x) = \log (x)$ , в то время как Лейбниц доказывал, что логарифм отрицательного числа есть мнимое число^[11]. Полная теория логарифмов отрицательных и комплексных чисел была опубликована Эйлером в 1747—1751 годах и по существу ничем не отличается от современной^[12].

Комплексные логарифмы

Шаблон:Main Комплексный логарифм — аналитическая функция, получаемая распространением вещественного логарифма на всю комплексную плоскость (кроме нуля). В отличие от вещественного случая, функция комплексного логарифма многозначна.

Определение. Натуральный логарифм $L n z$ комплексного числа $z$ представляет собой^[3] решение $w$ уравнения $e^{w} = z .$

Ненулевое число $z$ можно представить в показательной форме:

z = r \cdot e^{i (φ + 2 π k)},

где

k

— произвольное целое число

Тогда $L n z$ находится по формуле^[13]:

L n z = \ln r + i (φ + 2 π k)

Здесь $\ln r = \ln | z |$ — вещественный логарифм. Отсюда вытекает: Шаблон:Рамка Комплексный логарифм $L n z$ существует для любого $z \neq 0$ , и его вещественная часть определяется однозначно, в то время как мнимая часть имеет бесконечное множество значений, различающихся на целое кратное $2 π .$ |} Из формулы видно, что у одного и только одного из значений мнимая часть находится в интервале $(- π, π]$ . Это значение называется главным значением комплексного натурального логарифма^[3]. Соответствующая (уже однозначная) функция называется главной ветвью логарифма и обозначается $\ln z$ . Если $z$ — вещественное число, то главное значение его логарифма совпадает с обычным вещественным логарифмом.

Логарифм отрицательного числа находится по формулеШаблон:Sfn:

L n (- x) = \ln x + i π (2 k + 1) (x > 0, k = 0, \pm 1, \pm 2 \dots)

Примеры:

\ln (1) = 0; L n (1) = 2 k π i

\ln (- 1) = i π; L n (- 1) = (2 k + 1) i π

\ln (i) = i \frac{π}{2}; L n (i) = i \frac{4 k + 1}{2} π

Следует быть осторожным при преобразованиях комплексных логарифмов, принимая во внимание, что они многозначны, и поэтому из равенства логарифмов каких-либо выражений не следует равенство этих выражений. Пример ошибочного рассуждения:

i π = \ln (- 1) = \ln ((- i)^{2}) = 2 \ln (- i) = 2 (- i π / 2) = - i π

— явная ошибка.

Отметим, что слева стоит главное значение логарифма, а справа — значение из нижележащей ветви ( $k = - 1$ ). Причина ошибки — неосторожное использование свойства $\log_{a} (b^{p}) = p \log_{a} b$ , которое, вообще говоря, подразумевает в комплексном случае весь бесконечный набор значений логарифма, а не только главное значение.

Функции натурального логарифма на комплексной плоскости (главная ветвь)
$z = R e (\ln (x + i y)) |$
$z = I m (\ln (x + i y)) |$
$z = | \ln (x + i y) |$
Суперпозиция трёх предыдущих графиков

Функция натурального логарифма комплексного числа может быть также определена как аналитическое продолжение вещественного логарифма на всю комплексную плоскость, кроме нуля. Пусть кривая $Γ$ начинается в единице, заканчивается в z, не проходит через нуль и не пересекает отрицательную часть вещественной оси. Тогда главное значение логарифма в конечной точке $w$ кривой $Γ$ можно определить по формулеШаблон:Sfn:

\ln z = \int_{Γ} \frac{d u}{u}

Некоторые применения

Теория чисел

Распределение простых чисел асимптотически подчиняется простым законам^[14]:

Число простых чисел в интервале от 1 до $n$ приблизительно равно $\frac{n}{\ln n}$ .
k-е простое число приблизительно равно $k \ln k$ .

Математический анализ

Шаблон:Also Логарифмы нередко возникают при нахождении интегралов и при решении дифференциальных уравнений. Примеры:

\int tg x d x = - \ln | \cos x | + C; \int \frac{d x}{\sqrt{x^{2} + a}} = - \ln | x + \sqrt{x^{2} + a} | + C

Теория вероятностей и статистика

В статистике и теории вероятностей логарифм входит в ряд практически важных вероятностных распределений. Например, логарифмическое распределение^[15] используется в генетике и физике. Логнормальное распределение часто встречается в ситуациях, когда исследуемая величина есть произведение нескольких независимых положительных случайных переменных^[16].

Для оценки неизвестного параметра широко применяются метод максимального правдоподобия и связанная с ним логарифмическая функция правдоподобия^[17].

Флуктуации при случайном блуждании описывает закон Хинчина-Колмогорова.

Фракталы и размерность

Треугольник Серпинского (справа)

Логарифмы помогают выразить размерность Хаусдорфа для фрактала^[18]. Например, рассмотрим треугольник Серпинского, который получается из равностороннего треугольника последовательным удалением аналогичных треугольников, линейный размер каждого из которых на каждом этапе уменьшается вдвое (см. рисунок). Размерность результата определяется по формуле:

\frac{\ln 3}{\ln 2} \approx 1, 58

Механика и физика

Принцип Больцмана в статистической термодинамике — одна из важнейших функций состояния термодинамической системы, характеризующая степень её хаотичности.

Формула Циолковского применяется для расчёта скорости ракеты.

Химия и физическая химия

Уравнение Нернста связывает окислительно-восстановительный потенциал системы с активностями веществ, входящих в электрохимическое уравнение, а также со стандартными электродными потенциалами окислительно-восстановительных пар.

Логарифм используется в определениях таких величин, как показатель константы автопротолиза (самоионизации молекулы) и водородный показатель (кислотности раствора).

Психология и физиология

Человеческое восприятие многих явлений хорошо описывается логарифмическим законом.

Закон Вебера — Фехнера — эмпирический психофизиологический закон, заключающийся в том, что интенсивность ощущения пропорциональна логарифму интенсивности стимула^[19] — громкости звука^[20], яркости света.

Закон Фиттса: чем дальше или точнее выполняется движение организма, тем больше коррекции необходимо для его выполнения и тем дольше эта коррекция исполняется^[21].

Время на принятие решения при наличии выбора можно оценить по Шаблон:Iw^[22].

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

Шаблон:Книга
- Переиздание: АСТ, 2003, ISBN 5-17-009554-6.
Шаблон:Книга
Шаблон:Книга
Шаблон:Книга
Шаблон:Книга

Ссылки

"Разбираемся с натуральным логарифмом Шаблон:Wayback" — перевод статьи Demystifying the Natural Logarithm (ln) | BetterExplained Шаблон:Ref-en

Шаблон:Внешние ссылки

↑ Шаблон:Книга, Extract of page 9 Шаблон:Wayback
↑ Алгебра и начала анализа. Учебник для 10-11 классов. 12-е издание, М.: Просвещение, 2002. Стр. 233.
↑ ^3,0 ^3,1 ^3,2 Шаблон:Книга
↑ Шаблон:Статья
↑ Шаблон:Статья
↑ Шаблон:Книга
↑ Шаблон:Книга
↑ Шаблон:Cite web
↑ Шаблон:Книга
↑ Шаблон:Cite web
↑ Ошибка цитирования Неверный тег <ref>; для сносок IM3-325 не указан текст
↑ Шаблон:Книга
↑ Ошибка цитирования Неверный тег <ref>; для сносок KORN623 не указан текст
↑ Шаблон:Книга
↑ Шаблон:Cite web
↑ Шаблон:Книга
↑ Шаблон:Книга
↑ Иванов М. Г. Размер и размерность // «Потенциал», август 2006.
↑ Шаблон:Cite web
↑ Шаблон:Статья
↑ Шаблон:Cite web
↑ Шаблон:Книга

[1] Шаблон:Книга, Extract of page 9 Шаблон:Wayback

[2] Алгебра и начала анализа. Учебник для 10-11 классов. 12-е издание, М.: Просвещение, 2002. Стр. 233.

[MATENC-3] 3,0 ^3,1 ^3,2 Шаблон:Книга

[4] Шаблон:Статья

[5] Шаблон:Статья

[6] Шаблон:Книга

[7] Шаблон:Книга

[8] Шаблон:Cite web

[9] Шаблон:Книга

[10] Шаблон:Cite web

[IM3-325-11] Ошибка цитирования Неверный тег <ref>; для сносок IM3-325 не указан текст

[12] Шаблон:Книга

[KORN623-13] Ошибка цитирования Неверный тег <ref>; для сносок KORN623 не указан текст

[14] Шаблон:Книга

[15] Шаблон:Cite web

[16] Шаблон:Книга

[17] Шаблон:Книга

[18] Иванов М. Г. Размер и размерность // «Потенциал», август 2006.

[19] Шаблон:Cite web

[20] Шаблон:Статья

[21] Шаблон:Cite web

[22] Шаблон:Книга

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

Натуральный логарифм

Содержание

Определение