Асимптота

Для гиперболы $y=\frac{1}{x}$ асимптотами являются оси абсцисс и ординат. Кривая может приближаться к своей асимптоте, оставаясь с одной стороны от неё

Асимпто́та, или аси́мптота (от Шаблон:Lang-grc — несовпадающая, не касающаяся кривой с бесконечной ветвью), — прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки кривой до этой прямой стремится к нулю при удалении точки вдоль ветви в бесконечность. Термин впервые появился у Аполлония Пергского, хотя асимптоты гиперболы исследовал ещё Архимед.

Затухающие колебания. $y=e^{-0.1x}\sin (x)$. Кривая может бесконечное множество раз пересекать асимптоту

Пример асимптоты для кривой в пространстве. Спираль бесконечно приближается к прямой

Виды асимптот графиков

Вертикальная

Прямая вида $x=a$ является вертикальной асимптотой при выполнении хотя бы одного из равенств:

1. $\underset{x\to a^{-}}{\lim }f(x)=\pm \mathrm{\infty }$
2. $\underset{x\to a^{+}}{\lim }f(x)=\pm \mathrm{\infty }$.

Вертикальных асимптот может быть любое количество.

Прямая не может быть вертикальной асимптотой, если функция непрерывна в точке $a$. Поэтому вертикальные асимптоты следует искать в точках разрыва функции.

Шаблон:Якорь Шаблон:Якорь Горизонтальная и наклонная

На графике функции x+1/x, ось y (x = 0) и линия y=x являются асимптотами.

Наклонная асимптота — прямая вида $y=kx+b$, если выполняется хотя бы одно из равенств:

1. $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }(f(x)-kx)=b$
2. $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }(f(x)-kx)=b$.

При этом, если выполняется первое условие, то говорят, что эта прямая является асимптотой при $x\to +\mathrm{\infty }$, а если второе, то асимптотой при $x\to -\mathrm{\infty }$.

Если $k=0$, то асимптота также называется горизонтальной.

Замечание 1: Число наклонных асимптот у функции не может быть больше двух: одна при $x\to +\mathrm{\infty }$ и одна при $x\to -\mathrm{\infty }$, но она может быть одна или их вовсе может не быть.

Замечание 2: Некоторые источники включают требование, чтобы кривая не пересекала эту прямую в окрестности бесконечности.

Замечание 3: В некоторых случаях, таких как алгебраическая геометрия, асимптота определена, как прямая, которая является «касательной» к кривой на бесконечности.

Функция y=arctgx с двумя горизонтальными асимптотами

Обыкновенная и оскулирующая

Обыкновенная асимптота имеет с кривой на бесконечности касание первого порядка, оскулирующая асимптота — касание второго порядка. Эти асимптоты кубик отличаются друг от друга следующими свойствамиШаблон:Sfn:

• обыкновенная прямолинейная асимптота пересекает кубику на конечном расстоянии в одной и только одной точке;
• оскулирующая прямолинейная асимптота не пересекает кубику на конечном расстоянии.

Нахождение асимптот

Порядок нахождения асимптот

1. Нахождение точек разрыва, выбор точек, в которых есть вертикальная асимптота (прямой проверкой, что предел в этой точке есть $\pm \mathrm{\infty }$).
2. Проверка, не являются ли конечными пределы $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=b$ и$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=b$. Если да, то существует горизонтальная асимптота $y=b$ при $+\mathrm{\infty }$ и $-\mathrm{\infty }$ соответственно.
3. Нахождение двух пределов $\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{f(x)}{x}=k$
4. Нахождение двух пределов $\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{\lim }(f(x)-kx)=b$, если хотя бы один из пределов в пункте 3 или 4 не существует (или равен $\pm \mathrm{\infty }$), то наклонной асимптоты при $x\to +\mathrm{\infty }$ (или $x\to -\mathrm{\infty }$) не существует.

Наклонная асимптота — выделение целой части

Нахождение наклонной асимптоты графика функции путём выделения целой части

Также наклонную асимптоту можно найти, выделив целую часть. Например:

Дана функция $f(x)=\frac{2x^3+5x^2+1}{x^2+1}$.

Разделив нацело числитель на знаменатель, получим: $f(x)=2x+5+\frac{-2x-4}{x^2+1}=2x+5+(-2)\cdot \frac{x+2}{x^2+1}$.

При $x\to \pm \mathrm{\infty }$, $\frac{x+2}{x^2+1}\to 0$,

и $y=2x+5$ является искомым уравнением наклонной асимптоты, причем с обеих сторон.

Свойства

• Среди конических сечений асимптоты имеют только гиперболы. Асимптоты гиперболы как конического сечения параллельны образующим конуса, лежащим в плоскости, проходящей через вершину конуса параллельно секущей плоскости. Максимальный угол между асимптотами гиперболы для данного конуса равен углу раствора конуса и достигается при секущей плоскости, параллельной оси конуса.

См. также

• Асимптотическая кривая

Литература

• Графики функций: Справочник / Вирченко Н. А., Ляшко И. И., Швецов К. И. — Киев: Наук. думка, 1979, — 320 с.
• Рашевский П. К. Курс дифференциальной геометрии, 4-е изд. М., 1956.
• Шаблон:H

Ссылки

• Шаблон:ВТ-ЭСБЕ
• Шаблон:БСЭ3