Кубика

Набор кубик

Куби́ка или ку́бика — плоская алгебраическая кривая 3-го порядка, то есть множество точек плоскости (проективной или аффинной), заданных кубическим уравнением

$F(x,y,z)=0,$

которое применяется к однородным координатам на проективной плоскости. Чтобы перейти к аффинной версии, достаточно положить Шаблон:Math.

Иногда кубикой также называют гиперповерхность 3-го порядка в пространстве произвольной размерности.

Ударение

В Математическом энциклопедическом словаре приведено ударение «куби́ка». В другом словаре — «ку́бика». В разговорном языке употребляется произношение с ударением на первый слог: «ку́бика».

Классификация

Первая классификация кубик была дана Ньютоном в 1704 году.

Ньютон доказал, что для любой кубики можно подобрать систему координат, в которой она будет иметь один из следующих видов:

• $x{y}^2+ey=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$;
• $xy=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$;
• $y^2=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$;
• $y=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$.

Далее Ньютон поделил все кривые на классы, роды и типы, пропустив при этом, однако, Шаблон:Num. Полную классификацию дал Плюккер.

По состоянию на 2008 год, аналогичной классификации для кривых n-го порядка не найдено, эта задача составляет 16-ю проблему Гильберта.

Свойства

Кубика Шаблон:Math. Параметризация: Шаблон:Math

• Теорема о девяти точках на кубике (теорема Шаля): даны две кубики Шаблон:Math и Шаблон:Math, имеющие Шаблон:Num точек. Если третья кубика Шаблон:Math проходит через 8 из них, то она проходит и через девятую.
• На кубике взяли точку Шаблон:Math и провели из неё Шаблон:Num к кубике — одна касается кубики в точке Шаблон:Math, другая — в точке Шаблон:Math. Пусть площади сегментов, отсекаемых этими касательными от графика кубики, равны Шаблон:Math и Шаблон:Math. Тогда Шаблон:Math.
• Известно, что некоторые кубики являются трисектрисами, то есть если на плоскости нарисован график такой кубики и дан угол, то его можно разделить циркулем и линейкой на Шаблон:Num части. Открытая проблема: любая ли кубика является трисектрисой?
• Максимально возможное число компонент связности у графика кубики в Шаблон:Math естьШаблон:Nbsp4. Например, у кубики Шаблон:Math график состоит из трёх удаляющихся на бесконечность кривых и одной изолированной точки.
• Если прямая проходит через две точки перегиба кубики, то она проходит и через третью.
• На кубиках можно ввести сложение точек и умножение их на число, получив тем самым алгебраическую структуру, называемую эллиптической кривой.
• Прямая пересекает кубику в точках Шаблон:Math, Шаблон:Math, Шаблон:Math. Касательные, восстановленные к кубике в точках Шаблон:Math, Шаблон:Math, Шаблон:Math, пересекают кубику второй раз в точках Шаблон:Math, Шаблон:Math, Шаблон:Math. Тогда точки Шаблон:Math, Шаблон:Math, Шаблон:Math также лежат на одной прямой.

Применения

• Кубические кривые применяются в языке PostScript, включая шрифты формата TypeШаблон:Nbsp1 (в TrueType используются только квадратичные кривые).
• Изучение кубик долгое время считалось примером чистой математики (не имеющей никакого прикладного применения и перспективы такового). Однако в последние Шаблон:Num XXШаблон:Nbspвека были придуманы криптографические алгоритмы, использующие глубокие свойства кубик, которые сегодня используются (в частности) при банковском шифровании, что дало толчок изучению свойств кубик, см. Эллиптическая криптография.
• Большое число замечательных точек треугольника складываются в несколько кубик.
• Фрэнк Морли доказал известную теорему, названную в его честь, изучая свойства кубик.

См. также

• Теорема о девяти точках на кубике
• Кубики, связанные с треугольником
• Эллиптическая кривая
• Классификации кубик Ньютона
• Аффинная классификация кубик
• Изометрическая эквивалентность
• Аффинная эквивалентность

Ссылки

• Библиотеки для интерактивного рисования кубик (без изолированных точек) на языках Flash и Java.