Алгебраическая кривая

Кубика Чирнгауза — алгебраическая кривая третьего порядка.

Алгебраическая кривая, или плоская алгебраическая кривая, — это, в простейшем случае, множество нулей многочлена двух переменных. Степенью, или порядком, алгебраической кривой называется степень этого многочлена.

Например, единичная окружность, задающаяся уравнением $x^2+y^2=1$, является алгебраической кривой второй степени, поскольку совпадает с множеством нулей многочлена $x^2+y^2-1$.

Плоские алгебраические кривые с первой по восьмую степень соответственно называют прямыми, кониками, кубиками, квартиками, пентиками, секстиками, септиками и октиками. В алгебраической геометрии также рассматривают не только вещественные нули многочленов, но и комплексные. Более того, многочлены могут рассматриваться над произвольными полями.

Так, обобщенная плоская аффинная алгебраическая кривая над полем $k$ определяется как множество тех пар из $K\times K$, где $K$ — алгебраическое замыкание поля $k$, которые являются корнями многочлена от двух переменных с коэффициентами в $k$. Такие пары называются точками этой кривой. Те точки кривой, каждая координата которых лежит в $k$, называются $k$-точками, а множество $k$-точек называется $k$-частью кривой.

Например, точка $(2,\sqrt{-3})$ принадлежит рассмотренной выше единичной окружности, однако не принадлежит её вещественной $ℝ$-части. Кроме того, многочлен $x^2+y^2+1$ задаёт алгебраическую кривую, вещественная часть которой пуста. Тем не менее, сама кривая не является пустой.

Также в алгебраической геометрии рассматривают более общие алгебраические кривые, которые содержатся не обязательно в двумерных, а в пространствах с большим числом измерений, и также в проективных пространствах.

Оказывается, многие свойства алгебраической кривой не зависят от выбора конкретного вложения в некоторое пространство, что приводит к следующему общему определению алгебраической кривой.

Алгебраическая кривая — это алгебраическое многообразие размерностиШаблон:Nbsp1. Иными словами, алгебраическая кривая — это алгебраическое многообразие, каждое алгебраическое подмногообразие которого является одноточечным.

Примеры алгебраических кривых

Рациональные кривые

Рациональная кривая, также известная как уникурсальная кривая, — это кривая, бирационально эквивалентная аффинной прямой (или проективной прямой); другими словами, кривая, допускающая рациональную параметризацию.

Более конкретно, рациональная кривая в Шаблон:Math-мерном пространстве может быть параметризована (за исключением некоторого числа изолированных «особых точек») при помощи Шаблон:Math рациональных функций от единственного параметра Шаблон:Math.

Любое коническое сечение над полем рациональных чисел, содержащее хотя бы одну рациональную точку, является рациональной кривой. Её можно параметризовать, проведя через рациональную точку прямую с произвольным угловым коэффициентом t и сопоставив данному t вторую точку пересечения прямой и коники (их не может быть больше двух).

Эллипс. Шаблон:Math

Например, рассмотрим эллипс Шаблон:Math с рациональной точкой (−1, 0). Проведя через неё прямую Шаблон:Math, подставив выражение Шаблон:Math через Шаблон:Math в уравнение и решив относительно Шаблон:Math, получим уравнения

$x=\frac{1-t^2}{1+t+t^2},$

$y=t(x+1)=\frac{t(t+2)}{1+t+t^2},$

задающие рациональную параметризацию эллипса. В таком виде представимы все точки эллипса, кроме точки (−1, 0); можно сопоставить ей Шаблон:Math, то есть параметризовать эллипс проективной прямой.

Эту рациональную параметризацию можно рассматривать как параметризацию «эллипса в проективном пространстве», перейдя к однородным координатам, то есть заменив Шаблон:Math на Шаблон:Math, а Шаблон:Math — на Шаблон:Math соответственно. Параметризация эллипса Шаблон:Math проективной прямой примет следующий вид:

$X=U^2-T^2,Y=T(T+2U),Z=T^2+TU+U^2.$

Эллиптические кривые

Рациональные кривые (над алгебраически замкнутым полем) — это в точности алгебраические кривые рода 0 (см. ниже), в этой терминологии эллиптические кривые — это кривые рода 1 с рациональной точкой. Любая такая кривая может быть представлена как кубика без особенностей.

Эллиптическая кривая несёт на себе структуру абелевой группы. Сумма трёх точек на кубике равна нулю тогда и только тогда, когда эти точки коллинеарны.

Пересечение двух коник является кривой четвёртого порядка рода 1, а значит, эллиптической кривой, если содержит хотя бы одну рациональную точку. В противном случае пересечение может быть рациональной кривой четвёртого порядка с особенностями, или быть разложимым на кривые меньшего порядка (кубика и прямая, две коники, коника и две прямые или четыре прямые).

Связь с полями функций

Изучение алгебраических кривых может быть сведено к изучению неприводимых кривых (то есть не раскладывающихся в объединение двух меньших кривых). Каждой такой кривой можно сопоставить поле рациональных функций на ней; оказывается, что кривые бирационально эквивалентны тогда и только тогда, когда их поля функций изоморфны. Это значит, что категория алгебраических кривых и рациональных отображений двойственна категории одномерных полей алгебраических функций, то есть полей, являющихся алгебраическими расширениями поля $k(x)$.

Комплексные кривые как действительные поверхности

Комплексная алгебраическая кривая, вложенная в аффинное или проективное пространство, имеет топологическую размерность 2, другими словами, является поверхностью. В частности, комплексная алгебраическая кривая без особенностей является двумерным ориентируемым многообразием.

Топологический род этой поверхности совпадает с родом алгебраической кривой (который можно вычислить алгебраическими способами). Если проекция кривой без особенностей на плоскость является алгебраической кривой степени Шаблон:Math с простейшими особенностями (обыкновенными двойными точками), то исходная кривая имеет род Шаблон:Math, где Шаблон:Math — число этих особенностей.

Изучение компактных римановых поверхностей состоит фактически в изучении комплексных алгебраических кривых без особенностей, рассматриваемых как поверхности с дополнительной аналитической структурой. Более точно, следующие категории эквивалентны:

• Категория проективных алгебраических кривых без особенностей (с рациональными отображениями в качестве морфизмов).
• Категория компактных римановых поверхностей и голоморфных функций.

Классификация особенностей

Шаблон:Math

Особые точки включают в себя несколько типов точек, в которых кривая «пересекает сама себя», а также различные типы точек возврата. Например, на рисунке показана кривая Шаблон:Math с точкой возврата в начале координат.

Особые точки можно классифицировать по их инвариантам. Например, особую точку с дельта-инвариантом δ можно интуитивно описать как точку, в которой встречаются сразу δ «самопересечений». В случае точки Шаблон:Math на неприводимой кривой δ можно вычислить как длину модуля $\widetilde{{𝒪}_P}/{𝒪}_P$, где ${𝒪}_P$ — локальное кольцо в точке Шаблон:Math и $\widetilde{{𝒪}_P}$ — его целое замыкание. Вычисление дельта-инвариантов всех особых точек позволяет вычислить род кривой по формуле:

$g=\frac{1}{2}(d-1)(d-2)-\sum _P{\delta }_P,$

Другие важные инварианты: кратность Шаблон:Math особенности (максимальное целое число, такое что все производные задающего кривую многочлена, порядок которых не превосходит Шаблон:Math, равны нулю) и Шаблон:Не переведено 5.

См. также

• Категория Алгебраические кривые

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• специальные плоские кривые [1] Шаблон:WaybackШаблон:Ref-ru