Единичная окружность

Единичная окружность — окружность с радиусом 1 и центром в начале координатШаблон:Sfn. Это понятие широко используется для определения и исследования тригонометрических функций.

Свойства и связанные понятия

Внутренность единичной окружности называется единичным кругом.

Для координат всех точек на единичной окружности, согласно теореме Пифагора, выполняется равенство $x^2+y^2=1$. Это равенство можно рассматривать как уравнение единичной окружности.

Тригонометрические функции

Все тригонометрические функции угла θ могут быть сконструированы геометрически при помощи единичной окружности.

С помощью единичной окружности могут быть наглядно описаны тригонометрические функции (в контексте такого описания единичную окружность иногда называют «тригонометрическим кругом», что не слишком удачно, так как рассматривается именно окружность, а не круг).

Синус и косинус могут быть описаны следующим образом: если соединить любую точку $(x,y)$ на единичной окружности с началом координат $(0,0)$, получается отрезок, находящийся под углом $\alpha$ относительно положительной полуоси абсцисс. Тогда получимШаблон:Sfn:

$\cos \alpha =x$,

$\sin \alpha =y$.

При подстановке этих значений в уравнение окружности $x^2+y^2=1$ получается:

${\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha =1$.

Тут же наглядно описывается периодичность тригонометрических функций, так как соответствующее углу положение отрезка не зависит от количества «полных оборотов»:

$\sin (x+2\pi k)=\sin (x)$

$\cos (x+2\pi k)=\cos (x)$

для всех целых чисел $k$, то есть для $k\in \mathbb{Z}$.

Комплексная плоскость

Шаблон:См. также В комплексной плоскости единичная окружность — это множество комплексных чисел, модуль которых равен 1:

$G=\{z:|z|=1\}=\{z:z=e^{i\varphi },0⩽\varphi <2\pi \}$

Любое ненулевое комплексное число $z$ может быть однозначно записано в виде $z=|z|u,$ где число $u$ имеет модуль 1 и поэтому принадлежит единичной окружности,

Множество $G$ является подгруппой группы комплексных чисел по умножению. В свою очередь, $G$ содержит важные в алгебре конечные группы корней $n$-й степени из единицы, образующие вдоль единичной окружности вершины правильного $n$-угольника.

Радиан как длина дуги единичной окружности

Радианная мера

Радианную меру угла можно определить как длину той дуги, которую высекает из единичной окружности данный угол (центр окружности совпадает с вершиной угла)Шаблон:Sfn.

Вариации и обобщения

Понятие единичной окружности обобщается до $n$-мерного пространства ($n>2$), в таком случае говорят о «единичной сфере».

Литература

• Шаблон:Книга

Ссылки

• Шаблон:H