Комплексное число

Иерархия чисел

Ко́мпле́ксные чи́сла (от Шаблон:Lang-la — связь, сочетание; о двойном ударении см. примечание) — числа вида $a+bi$, где $a$ и $b$ — вещественные числа, а $i$ — мнимая единица, то есть число, для которого выполняется равенство: $i^2=-1$. Множество комплексных чисел обычно обозначается символомШаблон:Nbsp$ℂ$. Вещественные числа можно рассматривать как частный случай комплексных, они имеют вид $a+0i$. Главное свойство $ℂ$ — в нём выполняется основная теорема алгебры, то есть любой многочлен $n$-й степени ($n⩾1$) имеет $n$ корней. ДоказаноШаблон:Переход, что система комплексных чисел логически непротиворечива.

Так же как и для вещественных чисел, для комплексных чисел определены операции сложения, вычитанияШаблон:Переход, умноженияШаблон:Переход и деленияШаблон:Переход. Однако многие свойства комплексных чисел отличаются от свойств вещественных чисел; например, нельзя указать, какое из двух комплексных чисел больше или меньшеШаблон:Переход. Удобно представлять комплексные числа $a+bi$ точками на комплексной плоскостиШаблон:Переход; например, для изображения сопряжённых чисел используется операция отражения относительно горизонтальной осиШаблон:Переход. Альтернативное представление комплексного числа в тригонометрической записи оказалось полезным для вычисления степеней и корнейШаблон:Переход. Функции комплексного аргумента изучаются в комплексном анализеШаблон:Переход.

Первоначально идея о необходимости использования комплексных чисел возникла в результате формального решения кубических уравнений, при котором в формуле Кардано под знаком квадратного корня получалось отрицательное числоШаблон:Sfn. Большой вклад в исследование комплексных чисел внесли Эйлер, который ввёл общепризнанное обозначение $i$ для мнимой единицы, Декарт, ГауссШаблон:Переход. Сам термин «комплексное число» ввёл в науку Гаусс в 1831 годуШаблон:Sfn.

Уникальные свойства комплексных чисел и функций нашли широкое применение для решения многих практических задач в различных областях математики, физики и техники: в электротехнике, обработке сигналов, теории управления, электромагнетизме, теории колебаний, теории упругости и многих другихШаблон:SfnШаблон:Переход. Преобразования комплексной плоскости оказались полезны в картографии и гидродинамике. Современная физика полагается на описание мира с помощью квантовой механики, которая опирается на систему комплексных чисел.

Известно также несколько обобщений комплексных чисел — например, кватернионыШаблон:Переход.

Комплексная арифметика

Связанные определения

Всякое комплексное число $z=a+bi$ состоит из двух компонентовШаблон:Sfn:

• Величина $a$ называется вещественной частью числа $z$ и согласно международным стандартам ISO 31-11 и ISO 80000-2 обозначается $\mathrm{Re}z$ или $\mathrm{Re}\left(z\right)$. В источниках иногда встречается готический символ: $\mathrm{\Re }\left(z\right)$.
  • Если $a=0$, то $z$ называется чисто мнимым числом. Вместо $0+bi$ обычно пишут просто $bi$. В некоторых источниках такие числа называются просто мнимыми, однако в других источниках мнимыми могут называться любые комплексные числа $z=a+bi$, у которых $b\ne 0$. Поэтому термин мнимое число неоднозначен, и использовать его без дополнительных разъяснений не рекомендуется.
• Величина $b$ называется мнимой частью числа $z$ и согласно международным стандартам ISO 31-11 и ISO 80000-2 обозначается $\mathrm{Im}z$ или $\mathrm{Im}\left(z\right)$. В источниках иногда встречается готический символ: $\mathrm{\Im }\left(z\right)$.
  • Если $b=0$, то $z$ является вещественным числом. Вместо $a+0i$ обычно пишут просто $a$. Например, комплексный ноль $0+0i$ обозначается просто как $0$.

Противоположным для комплексного числа $z=a+bi$ является число $-z=-a-bi$. Например, для числа $1-2i$ противоположным будет число $-1+2i$.

В отличие от вещественных, комплексные числа нельзя сравнивать на больше/меньше; доказано, что нет способа распространить порядок, заданный для вещественных чисел, на все комплексные так, чтобы порядок был согласован с арифметическими операциями (чтобы из $a<b$ вытекало $a+c<b+c$, а из $0<a$ и $0<b$ вытекало $0<ab$). Однако, комплексные числа можно сравнивать на равно/не равно:

• $a+bi=c+di$ означает, что $a=c$ и $b=d$ (два комплексных числа равны между собой тогда и только тогда, когда равны их вещественные и мнимые части).

Четыре арифметические операции для комплексных чисел (определённые ниже) имеют те же свойства, что и аналогичные операции с вещественными числами.

Сложение и вычитание

Определение сложения и вычитания комплексных чисел:

$(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i$,

$(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i$.

Следующая таблица показывает основные свойства сложения для любых комплексных $u,v,w$.

Свойство	Алгебраическая запись
Коммутативность (переместительность)	$u+v=v+u$
Ассоциативность (сочетательность)	$u+(v+w)=(u+v)+w$
Свойство нуля	$u+0=u$
Свойство противоположного элемента	$u+(-u)=0$
Выполнение вычитания через сложение	$u-v=u+(-v)$

Умножение

Определение произведения комплексных чисел $a+bi$ и $c+di:$

$(a+bi)\cdot (c+di)=ac+bci+adi+bd{i}^2=(ac+bd{i}^2)+(bc+ad)i=(ac-bd)+(bc+ad)i.$

Следующая таблица показывает основные свойства умножения для любых комплексных $u,v,w$.

Свойство	Алгебраическая запись
Коммутативность (переместительность)	$u\cdot v=v\cdot u$
Ассоциативность (сочетательность)	$u\cdot (v\cdot w)=(u\cdot v)\cdot w$
Свойство единицы	$u\cdot 1=u$
Свойство нуля	$u\cdot 0=0$
Дистрибутивность (распределительность) умножения относительно сложения	$u\cdot (v+w)=u\cdot v+u\cdot w$

Правила для степеней мнимой единицы:

$i^1=i;i^2=-1;i^3=-i;i^4=1;i^5=i$ и т. д.

То есть для любого целого числа $n$ верна формула $i^n=i^{nmod4}$, где выражение $nmod4$ означает получение остатка от деления $n$ на 4.

После определения операций с комплексными числами выражение $a+bi$ можно воспринимать не как формальную запись, а как выражение, составленное по приведённым выше правилам сложения и умножения. Чтобы это показать, раскроем все входящие в него переменные, следуя вышеприведённым соглашениям и определению сложения и умножения:

$(a+0i)+(b+0i)\cdot (0+1i)=(a+0i)+(0+bi)=a+bi$.

Деление

Комплексное число $\overline{z}=x-iy$ называется сопряжённым к комплексному числу $z=x+iy$ (подробнее ниже).

Для каждого комплексного числа $a+bi$, кроме нуля, можно найти обратное к немуШаблон:Sfn комплексное число $\frac{1}{a+bi}$. Для этого умножим числитель и знаменатель дроби на число $a-bi$, комплексно сопряжённое знаменателю

$\frac{1}{a+bi}=\frac{a-bi}{(a+bi)(a-bi)}=\frac{a-bi}{a^2+b^2}=\frac{a}{a^2+b^2}-\frac{b}{a^2+b^2}i$.

Определим результат деления комплексного числа $a+bi$ на ненулевое число $c+di:$

$\frac{a+bi}{c+di}=\frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}=\frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{bc-ad}{c^2+d^2}i$.

Как и для вещественных чисел, деление можно заменить умножением делимого на число, обратное к делителю.

Другие операции

Для комплексных чисел определены также извлечение корня, возведение в степень и логарифмирование.

Основные отличия комплексных чисел от вещественных

Уже упоминалось, что комплексные числа нельзя сравнивать на больше-меньше (иными словами, на множестве комплексных чисел не задано отношение порядка). Другое отличие: любой многочлен степени $n>0$ с комплексными (в частности, вещественными) коэффициентами имеет, с учётом кратности, ровно $n$ комплексных корней (основная теорема алгебры)Шаблон:Sfn.

В системе вещественных чисел из отрицательного числа нельзя извлечь корень чётной степени. Для комплексных чисел возможно извлечение корня из любого числа любой степени, однако результат неоднозначен — комплексный корень $n$-й степени из ненулевого числа имеет $n$ различных комплексных значений. См., например, корни из единицы.

Дополнительные отличия имеют функции комплексного переменногоШаблон:Переход.

Замечания

Число $i$ не является единственным числом, квадрат которого равен $-1$. Число $-i$ также обладает этим свойством.

Выражение $\sqrt{-1}$, ранее часто использовавшееся вместо $i$, в современных учебниках считается некорректным, и под знаком радикала стали допускаться только неотрицательные выражения (см. «Арифметический корень»). Во избежание ошибок, выражение с квадратными корнями из отрицательных величин в настоящее время принято записывать как $5+i\sqrt{3}$, а не $5+\sqrt{-3}$, несмотря на то, что даже в XIX веке второй вариант записи считался допустимымШаблон:Sfn.

Пример возможной ошибки при неосторожном использовании устаревшей записи:

$\sqrt{-3}\cdot \sqrt{-3}=\sqrt{(-3)\cdot (-3)}=\sqrt{{(-3)}^2}=\sqrt{9}=3$.

Эта ошибка связана с тем, что квадратный корень из $-3$ определён неоднозначно (см. ниже #Формула Муавра и извлечение корней). При использовании современной записи такой ошибки не возникло бы:

$\left(i\sqrt{3}\right)\cdot \left(i\sqrt{3}\right)={(i\cdot \sqrt{3})}^2=i^2\cdot {\left(\sqrt{3}\right)}^2=-3$.

Геометрическое представление

Комплексная плоскость

Геометрическое представление комплексного числа

Комплексные числа можно представить на плоскости с прямоугольной системой координат: числу $z=x+iy$ соответствует точка плоскости с координатами $\{x,y\}$ (а также радиус-вектор, соединяющий начало координат с этой точкой). Такая плоскость называется комплексной. Вещественные числа на ней расположены на горизонтальной оси, мнимая единица изображается единицей на вертикальной оси; по этой причине горизонтальная и вертикальная оси называются соответственно вещественной и мнимой осямиШаблон:Sfn.

Модуль $r$ и аргумент $\phi$ комплексного числа

Бывает удобно рассматривать на комплексной плоскости также полярную систему координат (см. рисунок справа), в которой координатами точки являются расстояние $r$ до начала координат (модульШаблон:Переход) и угол $\phi$ радиус-вектора точки с горизонтальной осью (аргументШаблон:Переход).

В этом представлении сумма комплексных чисел соответствует векторной сумме соответствующих радиус-векторов, а вычитанию чисел соответствует вычитание радиус-векторов. При перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются (последнее несложно вывести из формулы Эйлера или из тригонометрических формул суммы). Если модуль второго сомножителя равенШаблон:Nbsp1, то умножение на него соответствует повороту радиус-вектора первого числа на угол, равный аргументу второго числа. Этот факт объясняет широкое использование комплексного представления в теории колебаний, где вместо терминов «модуль» и «аргумент» используются термины «амплитуда» и «фаза».

Пример: умножение на $i$ поворачивает радиус-вектор числа на прямой угол в положительном направлении, а после умножения на $-i$ радиус-вектор поворачивается на прямой угол в отрицательном направлении.

Модуль

Модулем (абсолютной величиной) комплексного числа называется длина радиус-вектора соответствующей точки комплексной плоскости (или, что то же самое, расстояние от точки комплексной плоскости до начала координат). Модуль комплексного числа $z=x+iy$ обозначается $\left|z\right|$ (иногда $r$ или $\rho$) и определяется выражением

$\left|z\right|=\sqrt{x^2+y^2}$.

Если $z$ является вещественным числом, то $\left|z\right|$ совпадает с абсолютной величиной этого числа в вещественном понимании термина.

Для любых комплексных $z,z_1,z_2$ имеют место следующие свойства модуляШаблон:SfnШаблон:Sfn:

1) $\left|z\right|⩾0$, причём $\left|z\right|=0$ только при $z=0$;

2) $|z_1+z_2|⩽\left|z_1\right|+\left|z_2\right|$ (неравенство треугольника);

3) $|z_1\cdot z_2|=\left|z_1\right|\cdot \left|z_2\right|$;

4) $\left|\frac{z_1}{z_2}\right|=\frac{\left|z_1\right|}{\left|z_2\right|}$;

5) для пары комплексных чисел $z_1$ и $z_2$ модуль их разности $|z_1-z_2|$ равен расстоянию между соответствующими точками комплексной плоскости;

6) модуль числа $z$ связан с вещественной и мнимой частями этого числа соотношениями:

$-\left|z\right|⩽\mathrm{Re}(z)⩽\left|z\right|;-\left|z\right|⩽\mathrm{Im}(z)⩽\left|z\right|;\left|z\right|⩽|\mathrm{Re}\left(z\right)|+|\mathrm{Im}\left(z\right)|$.

Аргумент

Аргументом ненулевого комплексного числа называется угол $\phi$ между радиус-вектором соответствующей точки и положительной вещественной полуосью. Аргумент числа $z$ измеряется в радианах и обозначается $\mathrm{Arg}\left(z\right)$. Из этого определения следует, что

$\mathrm{tg}\phi =\frac{y}{x};\cos \phi =\frac{x}{\left|z\right|};\sin \phi =\frac{y}{\left|z\right|}$.

Для комплексного нуля значение аргумента не определено, для ненулевого числа $z$ аргумент определяется с точностью до $2\pi k$, где $k$ — любое целое число. Главным значением аргумента называется такое значение $\phi$, что $-\pi <\phi ⩽\pi$. Главное значение может обозначаться $\arg \left(z\right)$Шаблон:Sfn.

Некоторые свойства аргумента:

1) аргумент обратного числа отличается знаком от аргумента исходного:

$\mathrm{Arg}\left(\frac{1}{z}\right)=-\mathrm{Arg}\left(z\right)$;

2) аргумент произведения равен сумме аргументов сомножителей:

$\mathrm{Arg}(z_1{z}_2)=\mathrm{Arg}(z_1)+\mathrm{Arg}(z_2)$;

3) аргумент частного от деления равен разности аргументов делимого и делителя:

$\mathrm{Arg}\frac{z_1}{z_2}=\mathrm{Arg}(z_1)-\mathrm{Arg}(z_2)$.

Сопряжённые числа

Геометрическое представление сопряжённых чисел

Если комплексное число $z$ равно $x+iy$, то число $\overline{z}=x-iy$ называется сопряжённым (или комплексно-сопряжённым) к $z$ (обозначается также $z^{*}$). На комплексной плоскости сопряжённые числа получаются друг из друга зеркальным отражением относительно вещественной оси. Модуль сопряжённого числа такой же, как исходного, а их аргументы различаются знакомШаблон:Sfn:

• $\left|\overline{z}\right|=\left|z\right|;\mathrm{Arg}(\overline{z})=-\mathrm{Arg}(z)$.

Переход к сопряжённому числу можно рассматривать как одноместную операцию, которая сохраняет все арифметические и алгебраические свойства. Эта операция имеет следующие свойства:

• $z=\overline{z}$ тогда и только тогда, когда $z$ — вещественное число.
• $\overline{\overline{z}}=z$ (сопряжённое к сопряжённому есть исходное; иначе говоря, операция сопряжения является инволюцией).

Произведение комплексно-сопряжённых чисел — неотрицательное вещественное число, равное нулю только для нулевого z:

• $z\cdot \overline{z}={\left|z\right|}^2=x^2+y^2$.

Сумма комплексно-сопряжённых чисел — вещественное число:

• $z+\overline{z}=2\mathrm{Re}\left(z\right)=2x$.

Другие соотношения:

• $\mathrm{Re}z=\frac{z+\overline{z}}{2};\mathrm{Im}z=\frac{z-\overline{z}}{2i}$.
• $\overline{z_1+z_2}={\overline{z}}_1+{\overline{z}}_2$;
• $\overline{z_1-z_2}={\overline{z}}_1-{\overline{z}}_2$;
• $\overline{z_1\cdot z_2}={\overline{z}}_1\cdot {\overline{z}}_2$;
• $\overline{z_1/z_2}={\overline{z}}_1/{\overline{z}}_2$;

Или, в общем виде: $\overline{p\left(z\right)}=p\left(\overline{z}\right)$, где $p\left(z\right)$ — произвольный многочлен с вещественными коэффициентами. В частности, если комплексное число $z$ является корнем многочлена с вещественными коэффициентами, то сопряжённое число $\bar{z}$ тоже является его корнем. Из этого следует, что существенно комплексные корни такого многочлена (то есть корни, не являющиеся вещественными) разбиваются на комплексно-сопряжённые пары.

Пример

Тот факт, что произведение $z\overline{z}$ есть вещественное число, можно использовать, чтобы выразить комплексную дробь в канонической форме, то есть избавиться от мнимости в знаменателе. Для этого надо умножить числитель и знаменатель на сопряжённое к знаменателю выражение, например:

$\frac{2+5i}{3-4i}=\frac{(2+5i)(3+4i)}{(3-4i)(3+4i)}=\frac{-14+23i}{25}=-\frac{14}{25}+\frac{23}{25}i$.

Формы представления комплексного числа

Алгебраическая форма

Выше использовалась запись комплексного числа $z$ в виде $x+iy$; такая запись называется алгебраической формой комплексного числа. Две другие основные формы записи связаны с представлением комплексного числа в полярной системе координат.

Тригонометрическая форма

Тригонометрическое представление

Если вещественную $x$ и мнимую $y$ части комплексного числа выразить через модуль $r=\left|z\right|$ и аргумент $\phi$ (то есть $x=r\cos \phi$, $y=r\sin \phi$), то всякое комплексное число $z$, кроме нуля, можно записать в тригонометрической форме:

$z=r(\cos \phi +i\sin \phi )$

Как уже сказано выше, для нуля аргумент $\phi$ не определён; для ненулевого числа $\phi$ определяется с точностью до целого кратного $2\pi$.

Показательная форма

Фундаментальное значение в комплексном анализе имеет формула Эйлера:

$e^{i\phi }=\cos \phi +i\sin \phi$,

где $e$ — число Эйлера, $\cos$, $\sin$ — косинус и синус, $e^{i\phi }$ — комплексная экспонента, продолжающая вещественную на случай общего комплексного показателя степени.

Применяя эту формулу к тригонометрической форме, получим показательную форму комплексного числа:

$z=r{e}^{i\phi }$.

Следствия

(1) Модуль выражения $e^{i\phi }$, где число $\phi$ вещественно, равен 1.

(2) $\cos \phi =\frac{e^{i\phi }+e^{-i\phi }}{2};\sin \phi =\frac{e^{i\phi }-e^{-i\phi }}{2i}$ — при существенно комплексном аргументе $\phi$ эти равенства могут служить определением (комплексного) косинуса и синуса.

(3)Шаблон:Sfn $\overline{z}=r{e}^{-i\phi };r=\sqrt{z\overline{z}};e^{i\phi }=\sqrt{\frac{z}{\overline{z}}}$.

ПримерШаблон:Sfn. Представим в тригонометрической и показательной форме число $z=-1-\sqrt{3}i:$

$|z|=\sqrt{(-1{)}^2+(-\sqrt{3}{)}^2}=\sqrt{1+3}=2$;

$\phi =-\pi +\mathrm{arctg}\left(\frac{-\sqrt{3}}{-1}\right)=-\pi +\mathrm{arctg}(\sqrt{3})=-\frac{2\pi }{3}$ (поскольку $z$ находится в III координатной четверти).

Отсюда:

$z=2(\cos \frac{-2\pi }{3}+i\sin \frac{-2\pi }{3})=2e^{i\frac{-2\pi }{3}}$.

Формула Муавра и извлечение корней

Шаблон:Main Эта формула помогает возводить в целую степень ненулевое комплексное число, представленное в тригонометрической форме. Формула Муавра имеет видШаблон:Sfn:

$z^n={\left[r(\cos \phi +i\sin \phi )\right]}^n=r^n(\cos n\phi +i\sin n\phi )$,

где $r$ — модуль, а $\phi$ — аргумент комплексного числа. В современной символике она опубликована Эйлером в 1722 году. Приведённая формула справедлива при любом целом $n$, не обязательно положительном.

Аналогичная формула применима также и при вычислении корней $n$-й степени из ненулевого комплексного числаШаблон:Sfn:

$\begin{array}{cc}{z}^{1/n}& ={\left[r(\cos (\phi +2\pi k)+i\sin (\phi +2\pi k))\right]}^{1/n}=\\ & =\sqrt[n]{r}(\cos \frac{\phi +2\pi k}{n}+i\sin \frac{\phi +2\pi k}{n}),\\ \end{array}$

Корни пятой степени из единицы (вершины пятиугольника)

где k принимает все целые значения от $k=0$ до $k=n-1$. Это значит, что корни $n$-й степени из ненулевого комплексного числа существуют для любого натурального $n$, и их количество равно $n$. На комплексной плоскости, как видно из формулы, все эти корни являются вершинами правильного Шаблон:Nobr, вписанного в окружность радиуса $\sqrt[n]{r}$ с центром в начале координат (см. рисунок).

Главное значение корня

Если в формуле Муавра в качестве аргумента $\phi$ выбрано его главное значение, то значение корня при $k=0$ называется главным значением корня. Например, главное значение корня числа $\sqrt[3]{2+11i}$ равно $2+i$.

Квадратный корень

Для извлечения квадратного корня из комплексного числа можно преобразовать это число в тригонометрическую форму и воспользоваться формулой Муавра для $n=2$. Но существует и чисто алгебраическое представление для двух значений корня. При $b\ne 0$ корнями из числа $a+bi$ является пара чисел: $\pm (c+di)$, гдеШаблон:Sfn:

$c=\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2+b^2}}{2}}$,

$d=\mathrm{sgn}(b)\sqrt{\frac{-a+\sqrt{a^2+b^2}}{2}}$.

Здесь $\mathrm{sgn}$ — функция «знак», а радикалы обозначают обычный арифметический корень из неотрицательного вещественного числа. Формула легко проверяется возведением $c+di$ в квадрат. Число $c+di$ является главным значением квадратного корня.

Пример: для квадратного корня из $3+4i$ формулы дают два значения: $2+i;-2-i$.

История

Зарождение понятия комплексного числа исторически было связано с желанием «легализовать» квадратные корни из отрицательных чисел. Как постепенно выяснилось, комплексные числа обладают богатыми алгебраическими и аналитическими свойствами; в частности, извлечение корней из них всегда возможно, хотя и неоднозначно.

Впервые, по-видимому, мнимые величины были упомянуты в труде Кардано «Великое искусство, или об алгебраических правилах» (1545), в рамках формального решения задачи по вычислению двух чисел, сумма которых равнаШаблон:Nbsp10, а произведение равноШаблон:Nbsp40. Он получил для этой задачи квадратное уравнение, корни которого: $5+\sqrt{-15}$ и $5-\sqrt{-15}$. В комментарии к решению он написал: «эти сложнейшие величины бесполезны, хотя и весьма хитроумны», и «арифметические соображения становятся всё более неуловимыми, достигая предела столь же утончённого, сколь и бесполезного».

Возможность использования мнимых величин при решении кубического уравнения впервые описал Бомбелли (1572), он же дал правила сложения, вычитания, умножения и деления комплексных чисел. Уравнение $x^3=15x+4$ имеет вещественный корень $x=4$, однако по формулам Кардано получаем: $x=\sqrt[3]{2+11i}+\sqrt[3]{2-11i}.$ Бомбелли обнаружил, что $\sqrt[3]{2\pm 11i}=2\pm i$, так что сумма этих величин даёт нужный вещественный корень. Он отметил, что в подобных (неприводимых) случаях комплексные корни уравнения всегда сопряжены, поэтому в сумме и получается вещественное значение. Разъяснения Бомбелли положили начало успешному применению в математике комплексных чисел.

Выражения, представимые в виде $a+b\sqrt{-1}$, появляющиеся при решении квадратных и кубических уравнений, где $b\ne 0$, стали называть «мнимыми» в XVI—XVII веках с подачи Декарта, который называл их так, отвергая их реальность. Для многих других крупных учёных XVII века природа и право на существование мнимых величин тоже представлялись весьма сомнительными. Лейбниц, например, в 1702 году писал: «Дух божий нашёл тончайшую отдушину в этом чуде анализа, уроде из мира идей, двойственной сущности, находящейся между бытием и небытием, которую мы называем мнимым корнем из отрицательной единицы». Несмотря на эти сомнения, математики уверенно применяли к «мнимым» числам привычные для вещественных величин алгебраические правила и получали корректные результаты.

Долгое время было неясно, все ли операции над комплексными числами приводят к комплексным результатам или же, например, извлечение корня может привести к открытию ещё какого-то нового типа чисел. Задача о выражении корней степени $n$ из данного числа была решена в работах Муавра (1707) и Котса (1722)Шаблон:Sfn.

Символ $i$ для обозначения мнимой единицы предложил Эйлер (1777, опубл. 1794), взявший для этого первую букву латинского слова Шаблон:Lang-la2 — «мнимый». Он же распространил все стандартные функции, включая логарифм, на комплексную область. Эйлер также высказал в 1751 году мысль, что в системе комплексных чисел любой многочлен имеет корень (основная теорема алгебры, до Эйлера сходные предположения высказывали Альбер Жирар и Рене Декарт). К такому же выводу пришёл д’Аламбер (1747), но первое строгое доказательство этого факта принадлежит Гауссу (1799). Гаусс и ввёл в широкое употребление термин «комплексное число» в 1831 году (ранее термин использовал в том же смысле французский математик Лазар Карно в 1803 году, но тогда он не получил распространения).

Геометрическое представление комплексных чисел, немало способствовавшее их легализации, предложили в конце XVIII — начале XIX веков сначала Вессель и Арган (их работы не привлекли внимания), а затем Гаусс. Арифметическая (стандартная) модель комплексных чисел как пар вещественных чисел была построена Гамильтоном («Теория алгебраических пар», 1837); это доказало непротиворечивость их свойств. Термины «модуль», «аргумент» и «сопряжённое число» ввёл в начале XIX века Коши, значительно продвинувший комплексный анализ. С XIX века началось бурное и чрезвычайно плодотворное развитие исследований функций комплексного переменного.

С учётом этого успешного подхода начались поиски способа представления векторов в трёхмерном пространстве, аналогичное комплексной плоскости. В результате пятнадцатилетних поисков Гамильтон предложил в 1843 году обобщение комплексных чисел — кватернионы, которые он был вынужден сделать не трёхмерными, а четырёхмерными (трёхмерные векторы изображала мнимая часть кватернионов); также Гамильтону пришлось отказаться от коммутативности операции умножения.

В 1893 году Чарлз Штейнмец предложил использовать комплексные числа для расчётов электрических цепей переменного тока (см. ниже).

Комплексные функции

Аналитические функции

Шаблон:Main Комплексная функция одной переменной — это функция $w=f(z)$, которая определена на некоторой области комплексной плоскости и ставит в соответствие точкам $z$ этой области комплексные значения $w$. Примеры:

$w=z^2+z+1;w=z+\frac{1}{z}$.

Каждая комплексная функция $w=f(z)=f(x+iy)$ может рассматриваться как пара вещественных функций от двух переменных: $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$, определяющих её вещественную и мнимую часть соответственно. Функции $u$, $v$ называются компонентами комплексной функции $f(z)$. Аналогично определяется функция нескольких комплексных переменных.

Наглядное представление комплексной функции графиком затруднительно, так как даже для функции одной комплексной переменной график требует четырёх измерений (два на область определения и ещё два для области значений). Если вместо значения функции рассматривать её модуль $|w|=|f(z)|$, то полученный рельеф функции размещается в трёх измерениях и даёт некоторое представление о поведении функцииШаблон:Sfn.

Все стандартные функции анализа — многочлен, дробно-линейная функция, степенная функция, экспонента, тригонометрические функции, обратные тригонометрические функции, логарифм — могут быть распространены на комплексную плоскость. При этом для них будут иметь место те же алгебраические, дифференциальные и другие тождества, что и для вещественного оригинала, например:

${\sin }^{2}z+{\cos }^{2}z=1;e^u\cdot e^v=e^{u+v}$.

Для комплексных функций определяются понятия предела, непрерывности и производной так же, как в вещественном анализе, с заменой абсолютной величины на комплексный модульШаблон:Sfn.

Дифференцируемые комплексные функции (то есть функции, имеющие производную) обладают рядом особенностей по сравнению с вещественнымиШаблон:Sfn.

• Вещественная и мнимая часть дифференцируемой функции — гармонические функции, связанные условиями Коши — Римана.
• Всякая дифференцируемая в некоторой окрестности точки $z$ комплексная функция дифференцируема неограниченное число раз в этой точке (то есть аналитична, или голоморфна).

Определённый интеграл для функций одной комплексной переменной, вообще говоря, зависит от пути интегрирования (то есть выбора кривой от начальной до конечной точки в комплексной плоскости). Однако если интегрируемая функция аналитична в односвязной области, то её интеграл внутри этой области не зависит от путиШаблон:Sfn.

Преобразования комплексной плоскости

Всякая комплексная функция может рассматриваться как преобразование комплексной плоскости (или как преобразование одной комплексной плоскости в другую). Примеры:

• $w=z+c$ — параллельный перенос, определяемый радиус-вектором точки $c$.
• $w=uz$, где $u$ — комплексное число с единичным модулем, — это поворот вокруг начала координат на угол, равный аргументу $u$;
• $w=\overline{z}$ — зеркальное отражение относительно вещественной оси.

Поскольку любое движение на плоскости есть комбинация перечисленных трёх преобразований, функции $w=uz+c$ и $w=u\overline{z}+c$ дают общее выражение для движения на комплексной плоскости.

Другие линейные преобразования:

• $w=rz$, где $r$ — положительное вещественное число, задаёт растяжение с коэффициентом $r$, если $r>1$, или сжатие в $\frac{1}{r}$ раз, если $r<1$;
• преобразования $w=az+b$ и $w=a\overline{z}+b$, где $a,b$ — произвольные комплексные числа, задают преобразование подобия;
• преобразование $w=az+b\overline{z}+c$, где $|a|\ne |b|$, — общий вид аффинного преобразования комплексной плоскости (при $|a|=|b|$ преобразование не будет аффинным, так как оно будет вырождать плоскость в прямую).

Важную роль в комплексном анализе играют дробно-линейные преобразованияШаблон:Sfn:

$w=\frac{az+b}{cz+d}$.

При этом $ad\ne bc$ (иначе функция $w(z)$ вырождается в константу). Характеристическое свойство дробно-линейного преобразования: оно переводит окружности и прямые в окружности и прямые (то есть в так называемые обобщённые окружности, в число которых входят «окружности бесконечного радиуса» — прямые). При этом образом окружности может оказаться прямая, и наоборот.

Среди других практически полезных функций преобразования: инверсия $w=1/\overline{z}$, функция Жуковского. Инверсия, как и дробно-линейное преобразование, переводит обобщённые окружности в обобщённые окружности.

Аналитическая геометрия на комплексной плоскости

Исследование плоских фигур нередко облегчается, если перенести их на комплексную плоскость. Многие теоремы планиметрии допускают наглядную и компактную запись с помощью комплексных чисел, напримерШаблон:Sfn:

• Три (различные) точки $z_1,z_2,z_3$ лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда выполняется условие:

$\frac{z_1-z_3}{z_2-z_3}$ является вещественным числом.

• Четыре (различные) точки $z_1,z_2,z_3,z_4$ лежат на одной обобщённой окружности (окружности или прямой) тогда и только тогда, когда выполняется условие:

отношение $\frac{z_1-z_3}{z_2-z_3}:\frac{z_1-z_4}{z_2-z_4}$ является вещественным числом.

• Если даны три вершины параллелограмма: $z_1,z_2,z_3,$ то четвёртая определяется равенствомШаблон:Sfn: $z_4=z_1-z_2+z_3$.

Параметрическое уравнение прямой на комплексной плоскости имеет видШаблон:Sfn:

$z=ut+v$, где $u,v$ — комплексные числа, $u\ne 0,t$ — произвольный вещественный параметр.

Угол между двумя прямыми $z=ut+v$ и $z=u^{\prime }t+v^{\prime }$ равен $\arg (u^{\prime }/u)$. В частности, прямые перпендикулярны, только когда $u^{\prime }/u$ — чисто мнимое число. Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда $u^{\prime }/u$ есть вещественное число; если при этом $(v^{\prime }-v)/u$ также вещественно, то обе прямые совпадают. Каждая прямая $z=ut+v$ рассекает комплексную плоскость на две полуплоскости: на одной из них выражение $t=\mathrm{Im}\frac{z-v}{u}$ положительно, на другой — отрицательно.

Уравнение окружности с центром $c$ и радиусом $r$ имеет чрезвычайно простой вид: $|z-c|=r$. Неравенство $|z-c|<r$ описывает внутренность окружности (открытый круг). Часто удобна параметрическая форма уравнения окружностиШаблон:Sfn: $z=c+e^{i\phi }$.

Место в общей алгебре, топологии и теории множеств

Множество комплексных чисел $ℂ$ образует поле, которое является конечным расширением степени 2 поля вещественных чисел $ℝ$. Основное алгебраическое свойство $ℂ$ — оно алгебраически замкнуто, то есть в нём любой многочлен имеет (комплексные) корни и, следовательно, распадается на линейные множители. Говорят также, что $ℂ$ есть алгебраическое замыканиеШаблон:Sfn поля $ℝ$.

Характеристика комплексного поля равна нулю, мощность $ℂ$ как множества та же, что и у поля вещественных чисел, то есть континуум. Теорема Фробениуса установила, что существуют только два тела, являющиеся конечными расширениями $ℝ$ — поле комплексных чисел и тело кватернионовШаблон:Sfn.

Превратить поле комплексных чисел в упорядоченное поле невозможно, потому что в упорядоченном поле квадрат любого элемента неотрицателен, и мнимая единица в нём не может существовать.

Из свойств модуля следует, что комплексные числа образуют структуру двумерного нормированного пространства над полем $ℝ$.

Поле $ℂ$ допускает бесконечно много автоморфизмов, но только один из них (не считая тождественного) оставляет вещественные числа на местеШаблон:Sfn.

Поля $ℝ$ и $ℂ$ — единственные связные локально компактные топологические поля.

Некоторые практические применения

Те особенности комплексных чисел и функций, которые отличают их от вещественных, оказались полезными, а часто и незаменимыми в математике, в естественных науках и технике.

Математика

Приложения комплексных чисел сами по себе занимают видное место в математике — в частности, понятия алгебраических чисел, нахождение корней многочленов, теория Галуа, комплексный анализ и т. д.

Перенеся геометрическую задачу с обычной плоскости на комплексную, мы нередко получаем возможность значительно упростить её решениеШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Многие сложные задачи теории чисел (например, теория биквадратичных вычетов) и вещественного математического анализа (например, вычисление сложных или несобственных интегралов) удалось решить только с помощью средств комплексного анализа. Мощным инструментом для открытий в теории чисел оказались, например, гауссовы числа вида $a+bi$, где $a,b$ — целые числаШаблон:Sfn. Для исследования распределения простых чисел понадобилась комплексная дзета-функция Римана.

Нередко проблемы вещественного анализа проясняются при их комплексном обобщении. Классический пример — разложение в ряд Тейлора

$\frac{1}{1+x^2}=1-x^2+x^4-x^6+\dots$

Этот ряд сходится только в интервале $(-1;1)$, хотя точки $\pm 1$ не являются какими-то особенными для приведённой функции. Положение проясняется при переходе к функции комплексного переменного $f(z)=\frac{1}{1+z^2}$, у которой обнаруживаются две особые точки: полюса $\pm i$. Соответственно, эту функцию можно разложить в ряд только в круге единичного радиусаШаблон:Sfn.

При решении линейных дифференциальных уравнений важно сначала найти все комплексные корни характеристического многочлена, а затем попытаться решить систему в терминах базовых экспонент. В разностных уравнениях используются для аналогичной цели комплексные корни характеристического уравнения системы разностных уравнений. С помощью теории вычетов, являющейся частью комплексного анализа, вычисляются многие сложные интегралы по замкнутым контурамШаблон:Sfn..

Исследование функции часто связано с анализом её частотного спектра с помощью комплексного преобразования Фурье или ЛапласаШаблон:Sfn.

О представлении комплексных чисел в информатике и компьютерной поддержке комплексной арифметики изложено в статье Комплексный тип данных.

Конформное отображение

Пример конформного преобразования

Шаблон:Main Как уже отмечалось выше, всякая комплексная функция может рассматриваться как преобразование одной комплексной плоскости в другую. Гладкая (аналитическая) функция обладает двумя особенностями: если в заданной точке производная не равна нулю, то коэффициент растяжения/сжатия при этом преобразовании одинаков по всем направлениям, угол поворота также постоянен (конформное отображение)Шаблон:Sfn. С этим фактом связано широкое применение комплексных функций в картографии и гидродинамике.

Квантовая механика

Шаблон:Main Основой квантовой механики является понятие комплексной волновой функции. Для описания динамики квантовой системы используются дифференциальные уравнения с комплексными коэффициентами типа уравнения Шрёдингера. Решения этих уравнений заданы в комплексном гильбертовом пространстве. Операторы, соответствующие наблюдаемым величинам, эрмитовы. Коммутатор операторов координаты $\hat{x}$ и импульса ${\hat{p}}_x$ представляет собой мнимое число:

$[\hat{x},{\hat{p}}_x]=\hat{x}{\hat{p}}_x-{\hat{p}}_x\hat{x}=i\hslash$.

Здесь $\hslash$ — редуцированная постоянная Планка $h$, то есть $h/2\pi$ (постоянная Дирака).

Важную роль в квантовой механике играют матрицы Паули и матрицы Дирака, некоторые из них содержат комплексные значения. Ю. Вигнер уточнял, что «…использование комплексных чисел в квантовой механике не является вычислительным трюком прикладной математики; они входят в самую суть формулировки основных законов квантовой механики».

Электротехника

Шаблон:Main Поскольку переменный ток есть колебательный процесс, его удобно описывать и исследовать с применением комплексных чисел. Вводятся также понятия импеданса, или комплексного сопротивления, для реактивных элементов электрической цепи, таких как ёмкость и индуктивность, — это помогает рассчитать токи в цепиШаблон:Sfn. Ввиду того, что традиционно символ $i$ в электротехнике обозначает величину тока, мнимую единицу там обозначают буквой $j$. Во многих областях электротехники (в основном радиочастотной и оптической) используется не запись уравнений тока и напряжения для цепи, а напрямую уравнения Максвелла в их спектральном представлении, физические величины которых заданы в комплексной плоскости, и при переходе из Шаблон:Math- в Шаблон:Math-пространство (где Шаблон:Math — время, Шаблон:Math — координата, Шаблон:Math — угловая частота, Шаблон:Math — волновой вектор) посредством преобразования Фурье получаются более простые уравнения без производных.

Логические основания

Расширение поля вещественных чисел до комплексных, как и любое другое расширение алгебраической структуры, ставит множество вопросов, основные из которых — это вопросы о том, как определить операции над новым типом чисел, какие свойства будут иметь новые операции и (главный вопрос) допустимо ли такое расширение, не приведёт ли оно к неустранимым противоречиям.

Для анализа подобных вопросов в теории комплексных чисел надо сформировать набор аксиом.

Аксиоматика комплексных чисел

Можно определить аксиоматику множества комплексных чисел $ℂ$, если опираться на аксиоматическую теорию вещественных чисел $ℝ$. А именно, определим $ℂ$ как минимальное поле, содержащее множество вещественных чисел и по меньшей мере одно число, вторая степень которого равна −1, — мнимую единицу. Говоря более строго, аксиомы комплексных чисел следующиеШаблон:SfnШаблон:Sfn.

С1: Для всяких комплексных чисел $u,v$ определена их сумма $u+v$.

С2: Сложение коммутативно: $u+v=v+u$. Далее в некоторых аксиомах для краткости будем опускать оговорку «для всяких $u,v,w$».

С3: Сложение ассоциативно: $(u+v)+w=u+(v+w)$.

С4: Существует элемент 0 (ноль) такой, что $u+0=u$.

С5: Для всякого комплексного числа $u$ существует противоположный ему элемент $-u$ такой, что $u+(-u)=0$.

С6: Для всяких комплексных чисел $u,v$ определено их произведение $uv$.

С7: Умножение коммутативно: $uv=vu$.

С8: Умножение ассоциативно: $(uv)w=u(vw)$.

С9: Умножение связано со сложением распределительным (дистрибутивным) законом: $(u+v)w=uw+vw$.

С10: Существует элемент 1 (единица), не равный нулю и такой, что $u\cdot 1=u$.

С11: Для всякого ненулевого числа $u$ существует обратное ему число $u^{\prime }$ такое, что $u\cdot u^{\prime }=1$.

С12: Множество комплексных чисел $ℂ$ содержит подполе, изоморфное полю вещественных чисел $ℝ$. Для простоты далее это подполе обозначается той же буквой $ℝ$.

С13: Существует элемент $i$ (мнимая единица) такой, что $i^2+1=0$.

С14 (аксиома минимальности): Пусть $M$ — подмножество $ℂ$, которое: содержит $ℝ$ и мнимую единицу и замкнуто относительно сложения и умножения. Тогда $M$ совпадает со всем $ℂ$.

Из этих аксиом вытекают как следствия все прочие свойства. Первые 11 аксиом означают, что $ℂ$ образует поле, а 12-я аксиома устанавливает, что это поле является расширением $ℝ$. Приведённая аксиоматика категорична, то есть любые её модели изоморфныШаблон:Sfn.

Существуют и другие варианты аксиоматики комплексных чисел. Например, вместо того, чтобы опираться на уже построенное упорядоченное поле вещественных чисел, можно в качестве базы использовать аксиоматику теории множеств.

Непротиворечивость и модели

Стандартный способ доказать непротиворечивость новой структуры — смоделировать (интерпретировать) её аксиомы с помощью объектов другой структуры, чья непротиворечивость сомнений не вызывает. В нашем случае мы должны реализовать эти аксиомы на базе вещественных чиселШаблон:Sfn.

Стандартная модель

Рассмотрим всевозможные упорядоченные пары вещественных чисел. В данной модели каждая такая пара $(a,b)$ будет соответствовать комплексному числу $a+bi$.Шаблон:Sfn

Далее определим:

1. пары $(a,b)$ и $(c,d)$ считаются равными, если $a=c$ и $b=d$;
2. сложение: сумма пар $(a,b)$ и $(c,d)$ определяется как пара $(a+c,b+d)$;
3. умножение: произведение пар $(a,b)$ и $(c,d)$ определяется как пара $(ac-bd,ad+bc)$.

Пояснение: сложное, на первый взгляд, определение умножения легко выводится из соотношения $i^2=-1:$

$(a+bi)(c+di)=(a+bi)c+(a+bi)di=ac+bci+adi+bd{i}^2=(ac-bd)+i(ad+bc)$.

Несложно убедиться, что описанная структура пар образует поле и удовлетворяет всему приведённому перечню аксиом комплексных чисел. Вещественные числа моделируются парами $(a,0)$, образующими подполе $ℝ$, причём операции с такими парами согласованы с обычными сложением и умножением вещественных чисел. Пары $(0,0)$ и $(1,0)$ соответствуют нулю и единице поля. Такой способ является частным случаем процедуры Кэли — Диксона.

Мнимая единица — это пара $(0,1)$, Квадрат её равен $(-1,0)$, то естьШаблон:Nbsp$-1$. Любое комплексное число можно записать в виде $(a,b)=(a,0)(1,0)+(b,0)(0,1)=a(1,0)+b(0,1)=a+bi$.

Описанная модель доказывает, что приведённая аксиоматика комплексных чисел непротиворечива. Потому что если бы в ней было противоречие, то это означало бы противоречие и в базовой для данной модели арифметике вещественных чисел, которую мы заранее предположили непротиворечивой.

Матричная модель

Комплексные числа можно также определить как подкольцо кольца вещественных матрицШаблон:Nbsp2×2 вида

$\left(\begin{array}{cc}x& -y\\ y& x\end{array}\right)$

с обычным матричным сложением и умножением. Вещественной единице будет соответствовать

$\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$,

мнимой единице —

$\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)$.

Множество таких матриц является двумерным векторным пространством. Умножение на комплексное число $x+iy$ является линейным оператором. В базисе $e_1=1,e_2=i$ линейный оператор умножения на $x+iy$ представляется указанной выше матрицей, так как:

$(x+iy)\cdot 1=x\cdot 1+y\cdot i$;

$(x+iy)\cdot i=(-y)\cdot 1+x\cdot i.$

Матричная модель позволяет легко продемонстрировать связь между комплексными числами и линейными преобразованиями плоскости определённого типа. А именно, существует взаимно однозначное соответствие между комплексными числами и поворотными гомотетиями плоскости (комбинациями растяжения относительно точки и поворота): каждая поворотная гомотетия может быть представлена на комплексной плоскости как умножение на комплексное число.

Модель факторкольца многочленов

Рассмотрим кольцо многочленов $ℝ[x]$ с вещественными коэффициентами и построим его факторкольцо по модулю многочлена $x^2+1$ (или, что то же, по идеалу, порождённому указанным многочленом). Это значит, что два многочлена из $ℝ[x]$ мы будем считать эквивалентными, если при делении на многочлен $x^2+1$ они дают одинаковые остатки. Например, многочлен $x^2$ будет эквивалентен константе $-1$, многочлен $x^3$ будет эквивалентен $-x$ Шаблон:Итд

Множество классов эквивалентности образует кольцо с единицей. Так как многочлен $x^2+1$ неприводим, то это факторкольцо является полем. Роль мнимой единицы играет многочлен $i(x)=x$, поскольку квадрат его (см. выше) эквивалентен $-1$. Каждый класс эквивалентности содержит остаток вида $a+bx$ (от деления на $x^2+1$), который в силу сказанного можно записать как $a+bi$. Следовательно, это поле изоморфно полю комплексных чисел.

Данный изоморфизм был обнаружен Коши в 1847 году. Этот подход может быть использован для построения обобщений комплексных чисел, таких как алгебры Клиффорда.

Расширенное комплексное поле как фактор-поле рациональных дробей полиномов с вещественными коэффициентами

Нетривиальная факторизация поля в поле невозможна, но поля, расширенные бесконечностью, могут нетривиально факторизоваться. Более того, возможны нетривиальные факторизации обычных полей в расширенные. В частности, обычное или расширенное поле рациональных дробей полиномов одной переменной с вещественными коэффициентами факторизуется в расширенное поле комплексных чисел (сферу Римана) путём отождествления полинома $x^2+1$ с нулём. Каждая дробь при этом заменяется на частное остатков от деления числителя и знаменателя своего несократимого представления на $x^2+1$. В силу несократимости, при этом не может образоваться неопределённость $0/0$, в остальных случаях знаменатель, равный нулю, означает бесконечность, случай знаменателя, не равного нулю, рассматриваются в стандартной технике (домножением на сопряжённый знаменателю). Другим способом получения того же результата является параметризация полиномов числителя и знаменателя несократимого представления дроби мнимой единицей.

Параметризуя рациональные дроби полиномов различными числами, можно получать различные факторизации: при параметризации вещественным числом — расширенное поле вещественных, комплексным (не вещественным) — комплексных чисел. Число, используемое для параметризации, есть корень простого (над вещественным полем) полинома, отождествляемого с нулём, т. е. по модулю которого берутся числители и знаменатели (в случае вещественного числа — первой степени, комплексного — квадратный с отрицательным дискриминантом и, соответственно, двумя сопряжёнными комплексными корнями).

Алгебраическая характеризация

Как уже упоминалось выше, поле комплексных чисел алгебраически замкнуто и имеет характеристику ноль (из последнего свойства вытекает, что оно содержит подполе рациональных чисел $\mathbb{Q}$). Кроме того, любой базис трансцендентности $ℂ$ над $\mathbb{Q}$ имеет мощность континуум. Этих трёх свойств достаточно, чтобы задать поле комплексных чисел с точностью до изоморфизма полей — между любыми двумя алгебраически замкнутыми полями характеристики 0 с континуальным базисом трансцендентности существует некоторое отождествление, согласованное с операциями сложения и умножения этих полей.

При этом отождествлении другие структуры, вроде нормы или топологии, могут не сохраняться. Например, алгебраическое замыкание ${\bar{\mathbb{Q}}}_p$ поля $p$-адических чисел также удовлетворяет трём указанным свойствам. Однако Шаблон:S норма не является Шаблон:Iw и, следовательно, не эквивалентна обычной норме комплексных чисел при любом выборе изоморфизма. Поэтому они задают различную структуру топологического векторного пространства: множество из любого элемента векторного пространства и его целозначных кратностей дискретно в комплексном случае и компактно — в $p$-адическом.

Вариации и обобщения

Ближайшее обобщение комплексных чисел было обнаружено в 1843 году. Им оказалось тело кватернионов, которое, в отличие от поля комплексных чисел, содержит три мнимые единицы, традиционно обозначаемые $i,j,k$. Согласно теореме Фробениуса, комплексные числа являются одним из трёх возможных случаев конечномерной алгебры с делением над полем вещественных чисел. В 1919 году выяснилось, что и комплексные числа из вещественных, и кватернионы из комплексных чисел могут быть получены единой процедурой удвоения размерности, также известной как «процедура Кэли — Диксона».

Дальнейшим применением этой процедуры образуются числа, описанные Артуром Кэли в 1845 году, до обнаружения этой процедуры, и названные «числами Кэли» (октонионы, октавы). Числа, получаемые следующим применением процедуры, названы седенионами. Несмотря на то, что эту процедуру можно повторять и далее, дальнейшие числа названий пока не имеют.

Другие типы расширений комплексных чисел (гиперкомплексные числа):

• Бикватернионы
• Комплексные числа гиперболического типа (двойные)
• Комплексные числа параболического типа (дуальные)

Примечания

Комментарии Шаблон:Примечания Использованная литература Шаблон:Примечания

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:H

Ссылки

• Шаблон:Cite web
  • (часть 2 из 2), «Математика» № 11 (2001).
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Cite web
• Шаблон:Iw, Йос Лейс, Орельян Альварез. Фильм Dimensions. Главы 5 и 6: Комплексные числа.Шаблон:Ref-ru