Тригонометрические тождества

Тригонометрические тождества — математические выражения для тригонометрических функций, которые выполняются при всех значениях аргумента (из общей области определения). В данной статье приведены только тождества с основными тригонометрическими функциями, но есть тождества и для редко используемых тригонометрических функций.

Пример шести тригонометрических функций угла Шаблон:Math радиан, построенный в единичной окружности. Величины, отмеченные Шаблон:Color, Шаблон:Color и Шаблон:Color равны длинам сегментов луча, исходящего из центра окружности. Величины Шаблон:Color, Шаблон:Color и Шаблон:Color равны высотам над осью Шаблон:Mvar, величины Шаблон:Color, Шаблон:Color и Шаблон:Color равны длинам сегментов оси Шаблон:Mvar от центра окружности.

Основные тригонометрические формулы

№	Формула	Допустимые значения аргумента
1.1	$\sin^{2} α + \cos^{2} α = 1$	$\forall α$
1.2	${tg}^{2} α + 1 = \frac{1}{\cos^{2} α} = \sec^{2} α$	$α \neq \frac{π}{2} + π n, n \in ℤ$
1.3	${ctg}^{2} α + 1 = \frac{1}{\sin^{2} α} = {cosec}^{2} α$	$α \neq π n, n \in ℤ$
1.4	$tg α \cdot ctg α = 1$	$α \neq \frac{π n}{2}, n \in ℤ$

Формула (1.1) является следствием теоремы Пифагора.
Формулы (1.2) и (1.3) получаются из формулы (1.1) делением на $\cos^{2} α$ и $\sin^{2} α$ соответственно.
Формула (1.4) следует из определений тангенса и котангенса.

Формулы сложения и вычитания аргументов

Формулы для двух аргументов

Иллюстрация форм сложения и вычитания синусов и косинусов

№	Формула	Допустимые значения аргумента
2.1	$\sin (α \pm β) = \sin α \cos β \pm \cos α \sin β$	$\forall α$
2.2	$\cos (α \pm β) = \cos α \cos β \mp \sin α \sin β$	$\forall α$
2.3	$tg (α \pm β) = \frac{tg α \pm tg β}{1 \mp tg α tg β}$	$α$ , $β$ , $α \pm β \neq \frac{π}{2} + π n, n \in ℤ$
2.4	$ctg (α \pm β) = \frac{ctg α ctg β \mp 1}{ctg β \pm ctg α}$	$α$ , $β$ , $α \pm β \neq π n, n \in ℤ$

Формула (2.3) получается при делении (2.1) на (2.2), а формула (2.4) — при делении (2.2) на (2.1).

Шаблон:Hider

Формулы для трёх аргументов

№	Формула	Допустимые значения аргумента
2.5	$\sin (α + β + γ) = \sin α \cos β \cos γ + \cos α \sin β \cos γ + \cos α \cos β \sin γ - \sin α \sin β \sin γ,$	$\forall α$ , $β$ , $γ$
2.6	$\cos (α + β + γ) = \cos α \cos β \cos γ - \sin α \sin β \cos γ - \sin α \cos β \sin γ - \cos α \sin β \sin γ .$	$\forall α$ , $β$ , $γ$
2.7	$tg (α + β + γ) = \frac{tg α + tg β + tg γ - tg α tg β tg γ}{1 - tg α tg β - tg α tg γ - tg β tg γ}$	$α$ , $β$ , $γ$ , $α + β + γ \neq \frac{π}{2} + π n, n \in ℤ$
2.8	$ctg (α + β + γ) = \frac{ctg α ctg β ctg γ - ctg α - ctg β - ctg γ}{ctg α ctg β + ctg α ctg γ + ctg β tg γ - 1}$	$α$ , $β$ , $γ$ , $α + β + γ \neq π n, n \in ℤ$

Формулы кратных углов

Формулы кратных углов следуют из формул сложения при равенстве аргументов.

Формулы двойного угла

№	Формула	Допустимые значения аргумента
3.1	$\sin 2 α = 2 \sin α \cos α$	$\forall α$
3.2	$\cos 2 α = \cos^{2} α - \sin^{2} α$ $\cos 2 α = 2 \cos^{2} α - 1 = 1 - 2 \sin^{2} α$	$\forall α$
3.3	$tg 2 α = \frac{2 tg α}{1 - {tg}^{2} α}$	$α = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}, n \in ℤ$ $α = \frac{π}{2} + π n, n \in ℤ$
3.4	$ctg 2 α = \frac{{ctg}^{2} α - 1}{2 ctg α}$	$α = \frac{π n}{2}, n \in ℤ$

Формулы тройного угла

Формулы тройного угла бывает удобным использовать в виде произведения, к которому их можно привести, применяя формулы преобразования суммы ниже.

№	Формула	Допустимые значения аргумента
3.5	$\sin 3 α = 3 \sin α - 4 \sin^{3} α = 4 \sin α \sin (\frac{π}{3} - α) \sin (\frac{π}{3} + α)$	$\forall α$
3.6	$\cos 3 α = 4 \cos^{3} α - 3 \cos α = 4 \cos α \cos (\frac{π}{3} - α) \cos (\frac{π}{3} + α)$	$\forall α$
3.7	$tg 3 α = \frac{3 tg α - {tg}^{3} α}{1 - 3 {tg}^{2} α} = tg α tg (\frac{π}{3} - α) tg (\frac{π}{3} + α)$	$α = \frac{π}{6} + \frac{π n}{3}, n \in ℤ$
3.8	$ctg 3 α = \frac{3 ctg α - {ctg}^{3} α}{1 - 3 {ctg}^{2} α} = ctg α ctg (\frac{π}{3} - α) ctg (\frac{π}{3} + α)$	$α = \frac{π n}{3}, n \in ℤ$

Формулы четверного угла

№	Формула	Допустимые значения аргумента
3.9	$\sin 4 α = 4 \sin α \cos α - 8 \sin^{3} α \cos α = 8 \sin α \cos^{3} α - 4 \sin α \cos α$	$\forall α$
3.10	$\cos 4 α = 8 \cos^{4} α - 8 \cos^{2} α + 1 = 8 \sin^{4} α - 8 \sin^{2} α + 1,$	$\forall α$
3.11	$tg 4 α = \frac{4 tg α - 4 {tg}^{3} α}{1 - 6 {tg}^{2} α + {tg}^{4} α},$	$α = \frac{π}{8} + \frac{π n}{4}, n \in ℤ$ $α = \frac{π}{2} + π n, n \in ℤ$
3.12	$ctg 4 α = \frac{{ctg}^{4} α - 6 {ctg}^{2} α + 1}{4 {ctg}^{3} α - 4 ctg α},$	$α = \frac{π n}{4}, n \in ℤ$

Общий случай

№	Формула	Допустимые значения аргумента
3.13	$\sin (n α) = \sum_{k = 0}^{[(n - 1) / 2]} (- 1)^{k} (\binom{n}{2 k + 1}) \cos^{n - 2 k - 1} α \sin^{2 k + 1} α$	$\forall α$
3.14	$\cos (n α) = \sum_{k = 0}^{[n / 2]} (- 1)^{k} (\binom{n}{2 k}) \cos^{n - 2 k} α \sin^{2 k} α$	$\forall α$
3.15	$t g (n α) = \frac{\sin (n α)}{\cos (n α)} = \frac{\sum_{k = 0}^{[(n - 1) / 2]} (- 1)^{k} (\binom{n}{2 k + 1}) {t g}^{2 k + 1} α}{\sum_{k = 0}^{[n / 2]} (- 1)^{k} (\binom{n}{2 k}) {t g}^{2 k} α}$	$α = \frac{π}{2 n} + \frac{π m}{n}, m \in ℤ$ $α = \frac{π}{2} + π m, m \in ℤ$
3.16	$c t g (n α) = \frac{\cos (n α)}{\sin (n α)} = \frac{\sum_{k = 0}^{[n / 2]} (- 1)^{k} (\binom{n}{2 k}) {c t g}^{n - 2 k} α}{\sum_{k = 0}^{[(n - 1) / 2]} (- 1)^{k} (\binom{n}{2 k + 1}) {c t g}^{n - 2 k - 1} α}$	$α = \frac{π m}{n}, m \in ℤ$

Формулы половинного угла

Из формулы двойного угла для косинуса (3.2) выводятся формулы половинного угла, в частности тангенса половинного угла:

№	Формулы половинного угла
4.1	$\sin \frac{α}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos α}{2}}$
4.2	$\cos \frac{α}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos α}{2}}$
4.3	$tg \frac{α}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos α}{1 + \cos α}} = \frac{\sin α}{1 + \cos α} = \frac{1 - \cos α}{\sin α}$
4.4	$ctg \frac{α}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos α}{1 - \cos α}} = \frac{\sin α}{1 - \cos α} = \frac{1 + \cos α}{\sin α}$

Шаблон:Комментарий

Шаблон:Важно

Формулы понижения степени

Формулы понижения степени выводятся из формул (3.2):

№	Синус	№	Косинус	№	Произведение
5.1	$\sin^{2} α = \frac{1 - \cos 2 α}{2}$	5.5	$\cos^{2} α = \frac{1 + \cos 2 α}{2}$	5.9	$\sin^{2} α \cos^{2} α = \frac{1 - \cos 4 α}{8}$
5.2	$\sin^{3} α = \frac{3 \sin α - \sin 3 α}{4}$	5.6	$\cos^{3} α = \frac{3 \cos α + \cos 3 α}{4}$	5.10	$\sin^{3} α \cos^{3} α = \frac{3 \sin 2 α - \sin 6 α}{32}$
5.3	$\sin^{4} α = \frac{3 - 4 \cos 2 α + \cos 4 α}{8}$	5.7	$\cos^{4} α = \frac{3 + 4 \cos 2 α + \cos 4 α}{8}$	5.11	$\sin^{4} α \cos^{4} α = \frac{3 - 4 \cos 4 α + \cos 8 α}{128}$
5.4	$\sin^{5} α = \frac{10 \sin α - 5 \sin 3 α + \sin 5 α}{16}$	5.8	$\cos^{5} α = \frac{10 \cos α + 5 \cos 3 α + \cos 5 α}{16}$	5.12	$\sin^{5} α \cos^{5} α = \frac{10 \sin 2 α - 5 \sin 6 α + \sin 10 α}{512}$

Формулы преобразования произведения функций

Формулы преобразования произведения функций выводятся из формул сложения аргументов (2.1) и (2.2).

№	Синус и косинус	№	Тангенс и котангенс
6.1	$\sin α \sin β = \frac{\cos (α - β) - \cos (α + β)}{2}$	6.4	$tg α tg β = \frac{tg α + tg β}{ctg α + ctg β} = - \frac{tg α - tg β}{ctg α - ctg β}$
6.2	$\sin α \cos β = \frac{\sin (α - β) + \sin (α + β)}{2}$	6.5	$ctg α ctg β = \frac{ctg α + ctg β}{tg α + tg β} = - \frac{ctg α - ctg β}{tg α - tg β}$
6.3	$\cos α \cos β = \frac{\cos (α - β) + \cos (α + β)}{2}$	6.6	$tg α ctg β = \frac{tg α + ctg β}{ctg α + tg β} = - \frac{tg α - ctg β}{ctg α - tg β}$

Аналогичные формулы для произведений синусов и косинусов трёх углов:

№	Формула
6.7	$\sin α \sin β \sin γ = \frac{\sin (α + β - γ) + \sin (β + γ - α) + \sin (α - β + γ) - \sin (α + β + γ)}{4},$
6.8	$\sin α \sin β \cos γ = \frac{- \cos (α + β - γ) + \cos (β + γ - α) + \cos (α - β + γ) - \cos (α + β + γ)}{4},$
6.9	$\sin α \cos β \cos γ = \frac{\sin (α + β - γ) - \sin (β + γ - α) + \sin (α - β + γ) + \sin (α + β + γ)}{4},$
6.10	$\cos α \cos β \cos γ = \frac{\cos (α + β - γ) + \cos (β + γ - α) + \cos (α - β + γ) + \cos (α + β + γ)}{4} .$

Формулы преобразования суммы функций

№	Синус и косинус	№	Тангенс и котангенс
7.1	$\sin α \pm \sin β = 2 \sin \frac{α \pm β}{2} \cos \frac{α \mp β}{2}$	7.4	$tg α \pm tg β = \frac{\sin (α \pm β)}{\cos α \cos β}$
7.2	$\cos α + \cos β = 2 \cos \frac{α + β}{2} \cos \frac{α - β}{2}$	7.5	$ctg α \pm ctg β = \frac{\sin (β \pm α)}{\sin α \sin β}$
7.3	$\cos α - \cos β = - 2 \sin \frac{α + β}{2} \sin \frac{α - β}{2}$	7.6	$ctg α \pm tg β = \frac{\cos (α \mp β)}{\sin α \cos β}$

Шаблон:Hider

Справедливы также следующие частные случаи перехода от суммы к произведению и следствия из них:

№	Формула	Допустимые значения аргумента
7.7.1	$\sin α + \sin β + \sin γ - \sin (α + β + γ) = 4 \sin \frac{α + β}{2} \sin \frac{α + γ}{2} \sin \frac{β + γ}{2}$	$\forall α$ , $β$ , $γ$
7.7.2	$\sin α + \sin β + \sin γ = 4 \cos \frac{α}{2} \cos \frac{β}{2} \cos \frac{γ}{2}$	$α + β + γ = π$
7.7.3	$\sin α + \sin β + \sin γ = 4 \sin \frac{α}{2} \sin \frac{β}{2} \sin \frac{γ}{2}$	$α + β + γ = 2 π$
7.8.1	$\cos α + \cos β + \cos γ + \cos (α + β + γ) = 4 \cos \frac{α + β}{2} \cos \frac{α + γ}{2} \cos \frac{β + γ}{2}$	$\forall α$ , $β$ , $γ$
7.8.2	$\cos α + \cos β + \cos γ = 4 \sin \frac{α}{2} \sin \frac{β}{2} \sin \frac{γ}{2} + 1$	$α + β + γ = π$
7.8.3	$\cos α + \cos β + \cos γ = - 4 \cos \frac{α}{2} \cos \frac{β}{2} \cos \frac{γ}{2} - 1$	$α + β + γ = 2 π$

Решение простых тригонометрических уравнений

$\sin x = a .$

Если

| a | > 1

— вещественных решений нет.

Если

| a | ⩽ 1

— решением является число вида

x = (- 1)^{n} \arcsin a + π n,

где

n \in ℤ .

$\cos x = a .$

Если

| a | > 1

— вещественных решений нет.

Если

| a | ⩽ 1

— решением является число вида

x = \pm \arccos a + 2 π n, n \in ℤ .

$tg x = a .$

Решением является число вида

x = arctg a + π n, n \in ℤ .

$ctg x = a .$

Решением является число вида

x = arcctg a + π n, n \in ℤ .

Универсальная тригонометрическая подстановка

Шаблон:Main Любая тригонометрическая функция может быть выражена через тангенс или котангенс половинного угла:

$\sin α = \frac{2 tg \frac{α}{2}}{1 + {tg}^{2} \frac{α}{2}} = \frac{2 ctg \frac{α}{2}}{{ctg}^{2} \frac{α}{2} + 1}$	$\cos α = \frac{1 - {tg}^{2} \frac{α}{2}}{1 + {tg}^{2} \frac{α}{2}} = \frac{{ctg}^{2} \frac{α}{2} - 1}{{ctg}^{2} \frac{α}{2} + 1}$
$tg α = \frac{2 tg \frac{α}{2}}{1 - {tg}^{2} \frac{α}{2}} = \frac{2 ctg \frac{α}{2}}{{ctg}^{2} \frac{α}{2} - 1}$	$ctg α = \frac{1 - {tg}^{2} \frac{α}{2}}{2 tg \frac{α}{2}} = \frac{{ctg}^{2} \frac{α}{2} - 1}{2 ctg \frac{α}{2}}$
$\sec α = \frac{1 + {tg}^{2} \frac{α}{2}}{1 - {tg}^{2} \frac{α}{2}} = \frac{{ctg}^{2} \frac{α}{2} + 1}{{ctg}^{2} \frac{α}{2} - 1}$	$\csc α = \frac{1 + {tg}^{2} \frac{α}{2}}{2 tg \frac{α}{2}} = \frac{{ctg}^{2} \frac{α}{2} + 1}{2 ctg \frac{α}{2}}$

Шаблон:Обратите внимание

Вспомогательный аргумент (формулы сложения гармонических колебаний)

Сумма двух гармонических колебаний с одинаковой частотой будет вновь гармоническим колебанием. В частности,

a \cos x + b \sin x = \sqrt{a^{2} + b^{2}} \sin (x + φ),

где $a, b \in ℝ,$ $a$ и $b$ не равны нулю одновременно, $φ$ — это угол, называемый вспомогательным аргументом, который может быть найден из системы уравнений:

{\begin{matrix} \sin φ = \frac{a}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}, \\ \cos φ = \frac{b}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} . \end{matrix}

Примечание. Из вышеприведённой системы при $b \neq 0$ следует, что $t g φ = \frac{a}{b}$ , однако нельзя всегда считать, что $φ = arctg \frac{a}{b}$ , так как арктангенс определяет угол от $- π / 2$ до $π / 2$ , а угол может быть, вообще говоря, любым. Нужно учитывать знаки $a$ и $b,$ чтобы определить, к какой четверти принадлежит угол $φ$ , в результате чего добавлять или убавлять $π$ при необходимости.

Представление тригонометрических функций в комплексной форме

Шаблон:Main

Формула Эйлера утверждает, что для любого вещественного числа $x$ выполнено следующее равенство:

e^{i x} = \cos x + i \sin x,

где $e$ — основание натурального логарифма,

i

— мнимая единица.

При помощи формулы Эйлера можно определить функции $\sin x$ и $\cos x$ следующим образом:

\sin x = \frac{e^{i x} - e^{- i x}}{2 i}, \cos x = \frac{e^{i x} + e^{- i x}}{2} .

Отсюда следует, что

tg x = - i \frac{e^{i x} - e^{- i x}}{e^{i x} + e^{- i x}}, ctg x = i \frac{e^{i x} + e^{- i x}}{e^{i x} - e^{- i x}},

\sec x = \frac{2}{e^{i x} + e^{- i x}}, cosec x = \frac{2 i}{e^{i x} - e^{- i x}} .

Все эти тождества аналитически обобщаются на любые комплексные значения.

См. также

Шаблон:Тригонометрия

Тригонометрические тождества

Содержание

Основные тригонометрические формулы

Формулы сложения и вычитания аргументов

Формулы для двух аргументов

Формулы для трёх аргументов

Формулы кратных углов

Формулы двойного угла

Формулы тройного угла

Формулы четверного угла

Общий случай

Формулы половинного угла

Формулы понижения степени

Формулы преобразования произведения функций

Формулы преобразования суммы функций

Решение простых тригонометрических уравнений

Универсальная тригонометрическая подстановка

Вспомогательный аргумент (формулы сложения гармонических колебаний)

Представление тригонометрических функций в комплексной форме

См. также

Навигация

Тригонометрические тождества

Основные тригонометрические формулы

Формулы сложения и вычитания аргументов

Формулы для двух аргументов

Формулы для трёх аргументов

Формулы кратных углов

Формулы двойного угла

Формулы тройного угла

Формулы четверного угла

Общий случай

Формулы половинного угла

Формулы понижения степени

Формулы преобразования произведения функций

Формулы преобразования суммы функций

Решение простых тригонометрических уравнений

Универсальная тригонометрическая подстановка

Вспомогательный аргумент (формулы сложения гармонических колебаний)

Представление тригонометрических функций в комплексной форме

См. также

Навигация

Поиск