Тригонометрический ряд Фурье

Тригонометрический ряд Фурье — представление произвольной функции $f$ с периодом $2\pi$ в виде ряда

$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(a_n\cos nx+b_n\sin nx)$

(1)

или с использованием комплексной записи, в виде ряда:

$f(x)=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{\hat{f}}_k{e}^{ikx}$.

Скалярное произведение и ортогональность

Пусть ${\varphi }_n$, ${\varphi }_m$ — две функции пространства $L^2[-\frac{\tau }{2},\frac{\tau }{2}]$. Определим их скалярное произведение

$⟨{\varphi }_m(x),{\varphi }_n(x)⟩:=\underset{-\frac{\tau }{2}}{\overset{\frac{\tau }{2}}{\int }}{\varphi }_m(x){\varphi }_n(x)dx$

Условие ортогональности

$\underset{-\frac{\tau }{2}}{\overset{\frac{\tau }{2}}{\int }}{\varphi }_m(x){\varphi }_n(x)dx=\Vert {\varphi }_m(x){\Vert }^2{\delta }_{nm}$

где ${\delta }_{nm}$ — символ Кронекера. Таким образом, скалярное произведение ортогональных функций равно квадрату нормы функции при $n=m$ или нулю в противном случае.

Следующее наблюдение является ключевым в теории рядов Фурье: функции вида $\sin (kx)$, $\cos (kx)$ попарно ортогональны относительно этого скалярного произведения, то есть при всех целых неотрицательных $k\ne l$:

$\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}\sin (kx)\sin (lx)dx=\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}\cos (kx)\cos (lx)dx=0$

и при всех целых неотрицательных $k$, $l$

$\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}\cos (kx)\sin (lx)dx=0$.

Ещё одно важное свойство состоит в том, что тригонометрическая система функций является базисом в пространстве $L^2[0,2\pi ]$. Иными словами, если некоторая функция из этого пространства ортогональна всем функциям вида $\cos (kx),\sin (kx),k\in \mathbb{Z}$, то она тождественно равна нулю (если точнее, то равна нулю почти всюду).

Классическое определение

Тригонометрическим рядом Фурье функции $f\in L_2([-\pi ,\pi ])$ называют функциональный ряд вида

$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(a_n\cos nx+b_n\sin nx)$

(1)

где

$a_0=\frac{1}{\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}f(x)dx,$

$a_n=\frac{1}{\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}f(x)\cos (nx)dx,$

$b_n=\frac{1}{\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}f(x)\sin (nx)dx.$

Числа $a_0$, $a_n$ и $b_n$ ($n=1,2,\dots$) называются коэффициентами Фурье функции $f$. Формулы для них можно объяснить следующим образом. Предположим, мы хотим представить функцию $f\in L_2([-\pi ,\pi ])$ в виде ряда (1), и нам надо определить неизвестные коэффициенты $a_0$, $a_n$ и $b_n$. Если умножить правую часть (1) на $\cos (kx)$ и проинтегрировать по промежутку $[-\pi ,\pi ]$, благодаря ортогональности в правой части все слагаемые обратятся в нуль, кроме одного. Из полученного равенства легко выражается коэффициент $a_k$. Аналогично для $b_k$

Ряд (1) сходится к функции $f$ в пространстве $L_2([-\pi ,\pi ])$. Иными словами, если обозначить через $S_k(x)$ частичные суммы ряда (1):

$S_k(x)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^k(a_n\cos nx+b_n\sin nx)$,

то их среднеквадратичное отклонение от функции $f$ будет стремиться к нулю:

$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}(f(x)-S_k(x){)}^{2}dx=0$.

Несмотря на среднеквадратичную сходимость, ряд Фурье функции, вообще говоря, не обязан сходиться к ней поточечно(см.ниже).

Комплексная запись

Часто при работе с рядами Фурье бывает удобнее в качестве базиса использовать вместо синусов и косинусов экспоненты мнимого аргумента. Мы рассматриваем пространство $L^2([-\pi ,\pi ],ℂ)$ комплекснозначных функций со скалярным произведением

$⟨f,g⟩:=\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}f(x)\overline{g(x)}dx$.

Мы также рассматриваем систему функций

${\phi }_k(x)=e^{ikx}=\cos (kx)+i\sin (kx),k\in \mathbb{Z}$.

Как и прежде, эти функции являются попарно ортогональными и образуют полную систему, и, таким образом, любая функция $f\in L^2([-\pi ,\pi ],ℂ)$ может быть разложена по ним в ряд Фурье:

$f(x)=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{\hat{f}}_k{e}^{ikx}$,

где ряд в правой части сходится к $f$ по норме в $f\in L^2([-\pi ,\pi ],ℂ)$. Здесь

${\hat{f}}_k=\frac{1}{2\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}f(x)e^{-ikx}dx$.

Коэффициенты : ${\hat{f}}_k$ связаны с классическими коэффициентами Фурье по следующим формулам:

${\hat{f}}_k=(a_k-i{b}_k)/2,k>0;$

${\hat{f}}_0=a_0/2;$

${\hat{f}}_k=(a_{|k|}+i{b}_{|k|})/2,k<0;$

$a_k={\hat{f}}_k+{\hat{f}}_{-k},k>0;$

$b_k=i({\hat{f}}_k-{\hat{f}}_{-k}),k>0.$

• Комплексная функция вещественной переменной раскладывается в такой же ряд Фурье по мнимым экспонентам, как и вещественная, но, в отличие от последней, для её разложения ${\hat{f}}_k$ и ${\hat{f}}_{-k}$ не будут, вообще говоря, комплексно сопряженными.

Свойства тригонометрического ряда Фурье

Все утверждения этого параграфа верны в предположении, что участвующие в них функции (и результаты операций с ними) лежат в пространстве $L^2([-\pi ,\pi ],ℂ)$.

• Вычисление коэффициентов Фурье является линейной операцией:

${\widehat{(\alpha f+\beta g)}}_k=\alpha {\hat{f}}_k+\beta {\hat{g}}_k$

• Справедливо равенство Парсеваля:

$2\pi \sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{\widehat{|f|}}_k^2=\Vert f{\Vert }^2$.

• Коэффициенты Фурье производной легко выражаются через коэффициенты Фурье самой функции:

${\widehat{(f^{\prime })}}_k=ik{\hat{f}}_k$

• коэффициенты Фурье произведения двух функций выражаются свёрткой коэффициентов Фурье сомножителей:

${\widehat{(fg)}}_k=\sum _{j=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\hat{f}}_j{\hat{g}}_{k-j}$

• рассмотрим операцию свертки функций:

$(f\ast g)(t):=\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}f(t-x)g(x)dx,$

где функции предполагаются периодически продолженными с промежутка $[-\pi ,\pi ]$ на всю прямую. Тогда

${\widehat{(f\ast g)}}_k=2\pi {\hat{f}}_k{\hat{g}}_k$

Разложения некоторых функций в ряд Фурье

Функция	Ряд Фурье
	$\frac{4a}{\pi }(\frac{\sin t}{1}+\frac{\sin 3t}{3}+\frac{\sin 5t}{5}+\dots )$
	$\frac{4a}{\pi }\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2n-1}\sin \frac{2\pi (2n-1)t}{T}$

См. также

• Ряд Фурье
• Преобразование Фурье
• Быстрое преобразование Фурье

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга