Свёртка (математический анализ)

Шаблон:Значения Свёртка, конволюция — операция в функциональном анализе, которая при применении к двум функциям $f$ и $g$ возвращает третью функцию, соответствующую взаимнокорреляционной функции $f(x)$ и $g(-x)$. Операцию свёртки можно интерпретировать как «схожесть» одной функции с отражённой и сдвинутой копией другой. Понятие свёртки обобщается для функций, определённых на произвольных измеримых пространствах, и может рассматриваться как особый вид интегрального преобразования. В дискретном случае свёртка соответствует сумме значений $f$ с коэффициентами, соответствующими смещённым значениям $g$, то есть $(f*g)(x)=f(1)g(x-1)+f(2)g(x-2)+f(3)g(x-3)+\dots$

Свёртка двух прямоугольных импульсов: в результате даёт треугольный импульс.

Свёртка прямоугольного импульса (входного сигнала) с импульсным откликом RC цепи

Определение

Пусть $f,g:{ℝ}^n\to ℝ$ — две функции, интегрируемые относительно меры Лебега на пространстве ${ℝ}^n$. Тогда их свёрткой называется функция $f*g:{ℝ}^n\to ℝ$, определённая формулой

$(f*g)(x)$

$\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}\underset{{ℝ}^n}{\int }f(y)g(x-y)dy=\underset{{ℝ}^n}{\int }f(x-y)g(y)dy.$

В частности, при $n=1$ формула принимает вид

$(f*g)(x)$

$\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(y)g(x-y)dy=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x-y)g(y)dy.$

Свёртка $(f*g)(x)$ определена при почти всех $x\in {ℝ}^n$ и интегрируема.

В случае, когда $x\in ℝ$, а функции $f(x),g(x)$ определены на промежутке $[0,+\mathrm{\infty })$, свёртку можно записать в виде

$(f*g)(x)$

$\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}\underset{0}{\overset{x}{\int }}f(y)g(x-y)dy=\underset{0}{\overset{x}{\int }}f(x-y)g(y)dy.$

Впервые интегралы, являющиеся свёрткой двух функций, встречаются в трудах Леонарда Эйлера (1760-е годы); позднее свёртка появляется у Лапласа, Лакруа, Фурье, Коши, Пуассона и других математиков. Обозначение свёртки функций при помощи звёздочки впервые предложил Вито Вольтерра в 1912 году на своих лекциях в Сорбонне (опубликованы годом позже).

Свойства

Коммутативность:

$f*g=g*f$.

Ассоциативность:

$f*(g*h)=(f*g)*h$.

Линейность (дистрибутивность по сложению и ассоциативность с умножением на скаляр):

$(f_1+f_2)*g=f_1*g+f_2*g$,

$f*(g_1+g_2)=f*g_1+f*g_2$,

$(af)*g=a(f*g)=f*(ag),\mathrm{\forall }a\in ℝ$.

Правило дифференцирования:

$\mathrm{D}(f*g)=\mathrm{D}f*g=f*\mathrm{D}g$,

где $\mathrm{D}f$ обозначает производную функции $f$ по любой переменной.

Преобразование Лапласа:

$ℒ\{f(x)*g(x)\}=ℒ\{f(x)\}\cdot ℒ\{g(x)\}$.

Свойство фурье-образа:

$𝔉[f*g]=𝔉[f]\cdot 𝔉[g]$,

где $𝔉[]$ обозначает преобразование Фурье функции.

Если $𝒲$ является матрицей дискретного преобразования Фурье, то:

$𝒲(C^{(1)}x\ast C^{(2)}y)=(𝒲C^{(1)}\bullet 𝒲C^{(2)})(x\otimes y)=𝒲C^{(1)}x\circ 𝒲C^{(2)}y$,

где $\bullet$ — символ торцевого произведения матриц, $\otimes$ обозначает произведение Кронекера, $\circ$ — символ произведения Адамара (тождество является следствием свойств отсчётного скетча).

Пример

График функции $g(x)$— количество выпавшего снега в килограммах на начало часа.

Пусть стоит задача вычислить, как будет изменяться количество снега на каком-либо участке земли в зависимости от времени. Решение этой задачи можно разделить на два этапа:

1. построить модель выпадения снега и модель таяния снега.
2. каким-то образом соединить эти две модели в одну.

   

   График $f(x)$ зависимости количества нерастаявшего снега от времени прошедшего с момента его выпадения.

Задачи первого этапа решаются путём наблюдений и опытов, а задачи второго этапа — свёрткой получившихся на первом этапе моделей.

Пусть в результате решения задачи на первом этапе было построено две зависимости (математические модели):

• зависимость количества выпавшего снега от текущего времени $g(t)$,
• зависимость доли нерастаявшего снега от времени, прошедшего с момента его выпадения $f(\tau )$.

Если бы снег не начинал таять, количество всех выпавших осадков $G$ можно было бы посчитать путём сложения в дискретном случае:

$G=\sum _{t=0}^{T}g(t)$,

или путём интегрирования в случае непрерывном:

$G=\underset{0}{\overset{T}{\int }}g(t)dt$.

Но в данном случае таяние снега имеет место и, более того, оно зависит не только от текущего общего количества снега, но и от того, в какой момент времени выпал этот конкретный объём снега. Так снег, выпавший две недели назад, может уже испариться, в то время как снег, выпавший полчаса назад, ещё будет лежать и даже не начнёт подтаивать.

Получается, что для снега, выпавшего в разное время, нужно построить свою модель таяния и как-то сложить все эти модели вместе.

Для этих целей и можно использовать понятие математической свёртки. Пусть в момент времени $t$ рассматривается снег, который выпал в момент времени $\tau$, тогда

• $\tau$ — время выпадения снега. Например, 13:00;
• $g(\tau )$ — количество выпавшего в момент $\tau$ снега. Например, 7 кг;
• $t$ — момент времени, для которого нам нужно узнать состояние выпавшего в $\tau$ снега. Например, 15:00;
• $t-\tau$ — количество времени, прошедшее с момента выпадения до момента расчёта оставшейся доли снега. То есть Шаблон:S;
• $f(t-\tau )$ — доля снега, которая не растаяла после того, как пролежала $t-\tau$ часов.

Нужно для каждого количества $g(\tau )$ снега, выпавшего в момент времени $\tau$, сложить множество моделей $f(t-\tau )$ в одну функцию. Если это сделать, получится сумма в дискретном случае:

$w(t)=\sum _{\tau =0}^{t}g(\tau )f(t-\tau ),$

или интеграл в непрерывном:

$w(t)=\underset{\tau =0}{\overset{t}{\int }}g(\tau )f(t-\tau )d\tau .$

Графически функция

$w(t)$

изображена ниже, где разными цветами представлены вклады каждой кучи снега из графика

$g(x)$

.

График функции $w(t)$, где разным цветом представлен вклад каждой кучи снега (цвета вкладов соответствуют цветам куч выпавшего снега на графике $g(x)$ выше)

Функция

$w(t)$

полностью моделирует поведение снега, выпавшего согласно модели

$g(x)$

. Так, на графике выше видно, что общее количество снега увеличивается тремя скачками, но снег начинает таять сразу, не дожидаясь выпадения других осадков.

Свёртка на группах

Пусть $G$ — группа, оснащённая мерой $m$, и $f,g:G\to ℝ$ — две функции, определённые на $G$. Тогда их свёрткой называется функцияШаблон:Нет АИ

$(f*g)(x)=\underset{G}{\int }f(y)g\left(x{y}^{-1}\right)m(dy),\mathrm{\forall }x\in G.$

Свёртка мер

Пусть есть борелевское пространство $(ℝ,ℬ(ℝ))$ и две меры $\mu ,\nu :ℬ(ℝ)\to ℝ$. Тогда их свёрткой называется мераШаблон:Нет АИ

$\mu *\nu (A)=\mu \otimes \nu (\{(x,y)\in {ℝ}^2\mid x+y\in A\}),\mathrm{\forall }A\in ℬ(ℝ),$

где $\mu \otimes \nu$ обозначает произведение мер $\mu$ и $\nu$.

Свойства

• Пусть $\mu ,\nu$ абсолютно непрерывны относительно меры Лебега $m$. Обозначим их производные Радона — Никодима:

$f_{\mu }=\frac{d\mu }{dm},f_{\nu }=\frac{d\nu }{dm}.$

Тогда $\mu *\nu$ также абсолютно непрерывна относительно $m$, и её производная Радона — Никодима $f_{\mu *\nu }=\frac{d\mu *\nu }{dm}$ имеет видШаблон:Нет АИ

$f_{\mu *\nu }=f_{\mu }*f_{\nu }.$

• Если $\mu ,\nu$ — вероятностные меры, то $\mu *\nu$ также является вероятностной мерой.

Свёртка распределений

Если ${\mathbb{P}}^X,{\mathbb{P}}^Y$ — распределения двух независимых случайных величин $X$ и $Y$, тоШаблон:Нет АИ

${\mathbb{P}}^{X+Y}={\mathbb{P}}^X*{\mathbb{P}}^Y,$

где ${\mathbb{P}}^{X+Y}$ — распределение суммы $X+Y$. В частности, если $X,Y$ абсолютно непрерывны и имеют плотности $f_X,f_Y$, то случайная величина $X+Y$ также абсолютно непрерывна и её плотность имеет вид:

$f_{X+Y}=f_X*f_Y.$

См. также

• Обратная свертка (деконволюция)
• Взаимнокорреляционная функция
• Автокорреляционная функция
• Свёртка последовательностей

Литература

• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа, — М.: Наука, 2004 (7-е изд.).
• Ширяев А. Н. Вероятность, — Шаблон:М: Наука. 1989.
• Напалков В. В. Уравнения свертки в многомерных пространствах. — М., Наука, 1982. — Тираж 3500 экз. — 240 с.

Ссылки

• Java-Applet
• Java-Applet
• Шаблон:Cite web