Произведение мер

Произведение мер — мера, определяемая на декартовом произведении двух пространств с мерами; однозначно определяется для пространств с $\sigma$-конечными мерами.

Шаблон:ЯкорьДля пространств с мерой $(X_1,{ℱ}_1,{\mu }_1)$ и $(X_2,{ℱ}_2,{\mu }_2)$ (${ℱ}_i$ — $\sigma$-алгебры на $X_i$, ${\mu }_i$ — меры на ${ℱ}_i$) декартово произведение ${ℱ}_1\times {ℱ}_2\to ℝ$ является семейством подмножеств $X_1\times X_2$, и, вообще говоря, не замкнуто относительно счётных объединений, и следовательно не является $\sigma$-алгеброй, в связи с этим измеримое пространство на декартовом произведении $X_1\times X_2$ строится посредством тензорного произведения $\sigma$-алгебр — $\sigma$-алгебре, порождённой декартовыми произведениями множеств исходных семейств:

${ℱ}_1\otimes {ℱ}_2=\sigma (\{B_1\times B_2\mid B_1\in {ℱ}_1,B_2\in {ℱ}_2\})$.

Мера на измеримом пространстве $(X_1\times X_2,{ℱ}_1\otimes {ℱ}_2)$ определяется для $(B_1,B_2)\in F_1\otimes {ℱ}_2)$ как произведение исходных мер исходных множеств:

$({\mu }_1\otimes {\mu }_2)(B_1,B_2)={\mu }_1(B_1)\cdot {\mu }_2(B_2)$.

(При перемножении бесконечной меры с нулевой результат предполагается нулевым.) Согласно теореме Каратеодори о продолжении меры таким образом определённая мера может быть распространена на всё пространство. Если же исходные меры $\sigma$-конечны, то такое произведение мер определено однозначно и для всякого измеримого множества $E$ имеет местоШаблон:Sfn:

$({\mu }_1\otimes {\mu }_2)(E)=\underset{X_1}{\int }{\mu }_2(E{|}_{x_1}){\mu }_1(d{x}_1)=\underset{X_2}{\int }{\mu }_1(E{|}^{x_2}){\mu }_2(d{x}_2)$,

где $E{|}_{x_1}=\{x_2\in X_2\mid (x_1,x_2)\in E\}$ и $E{|}^{x_2}=\{x_1\mid (x_1,x_2)\in E\}$ — сечения $E$ вдоль зафиксированных первой и второй компонент соответственно. В этом $\sigma$-конечном случае ${\mu }_1\otimes {\mu }_2$ называется произведением мер ${\mu }_1$ и ${\mu }_2$, а пространство с мерой $(X_1\times X_2,{ℱ}_1\otimes {ℱ}_2,{\mu }_1\otimes {\mu }_2)$ называется (декартовым, прямым) произведением исходных пространств.

Конструкция произведения над пространствами с $\sigma$-конечными мерами позволяет сформулировать и естественным образом доказать теорему Тонелли — Фубини, сводящую вычисление двойных интегралов к повторным. Мера Лебега $m_n$ на ${ℝ}^n$ может быть получена как произведение $n$ одномерных мер Лебега $m_1$ на $ℝ$:

$ℬ({ℝ}^n)=\underset{i=1}{\overset{n}{⨂}}ℬ(ℝ)$,

где $ℬ(X)$ обозначает борелевскую $\sigma$-алгебру на пространстве $X$, и

$m_n=\underset{i=1}{\overset{n}{⨂}}{m}_1$.

Произведение двух $\sigma$-конечных Шаблон:Iw может не быть полной меройШаблон:Sfn.

При $\sigma$-бесконечности одной из исходных мер произведение, вообще говоря, неоднозначно, но построение из доказательства теоремы Каратеодори о продолжении меры даёт единственную максимальную меру, то есть такую ${\mu }_{\max }$, что если некоторая $\mu$, определённая как произведение мер тензорном произведении исходных $\sigma$-алгебр, конечна для измеримого множества $E$, то ${\mu }_{\max }E=\mu E$. Минимальное произведение мер в этом случае, то есть ${\mu }_{\min }E=\sup \{{\mu }_{\max }F\mid (F\subseteq E)\wedge ({\mu }_{\max }F<\mathrm{\infty })\}$, определено не всегда.

Произведение мер может быть распространено на бесконечный случай: произведение произвольного числа $\sigma$-конечных пространств с мерой $(X_i,{ℱ}_i,{\mu }_i)$ однозначно определеноШаблон:Sfn.

Теория вероятностей

Построение естественным образом переносится на вероятностные пространства, являющиеся измеримыми пространствами с $\sigma$-конечными вероятностными мерами: для двух вероятностных пространств $({\mathrm{\Omega }}_1,{ℱ}_1,{\mathbb{P}}_1)$ и $({\mathrm{\Omega }}_1,{ℱ}_1,{\mathbb{P}}_1)$ их произведение — $({\mathrm{\Omega }}_1\times {\mathrm{\Omega }}_2,{ℱ}_1\otimes {ℱ}_2,{\mathbb{P}}_1\otimes {\mathbb{P}}_2)$.

Если $X,Y:\mathrm{\Omega }\to ℝ$ — случайные величины, то ${\mathbb{P}}^X$ и ${\mathbb{P}}^Y$ — распределения на $ℝ$ $X$ и $Y$ соответственно, а ${\mathbb{P}}^{X,Y}$ — распределение на ${ℝ}^2$ случайного вектора $(X,Y{)}^{\mathrm{\top }}$. Если $X,Y$ — независимы, то:

${\mathbb{P}}^{X,Y}={\mathbb{P}}^X\otimes {\mathbb{P}}^Y$.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга

Ссылки

• Шаблон:PlanetMath reference
• Шаблон:PlanetMath reference