Сигма-алгебра

σ-алгебра (си́гма-а́лгебра, си́гма-а́лгебра множеств) — алгебра множеств, замкнутая относительно операции счётного объединения. Сигма-алгебры играют важнейшую роль в теории меры и интегралов Лебега, а также в теории вероятностей.

Определение

Семейство $𝔖$ подмножеств множества $X$ называется σ-алгеброй, если оно удовлетворяет следующим свойствам:

1. $𝔖$ содержит множество $X$.
2. Если $E\in 𝔖$, то и его дополнение $X\mathrm{\setminus }E\in 𝔖$.
3. Объединение или пересечение счётного подсемейства из $𝔖$ принадлежит $𝔖$

Пояснения

• Из пунктов 1 и 2 определения следует, что любая σ-алгебра содержит пустое множество $\varnothing$.
• Поскольку

  $\bigcap _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_n=X\mathrm{\setminus }(\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(X\mathrm{\setminus }{A}_n)),$

в пункте 3 достаточно требовать, чтобы только пересечение или только объединение принадлежало $𝔖$.

• Требование в пункте 1 избыточно, так как из пункта 3 следует, что пересечение или объединение конечного числа элементов из $𝔖$ принадлежит $𝔖$ (обратное в общем случае неверно), откуда по пунктам 2 и 3 имеем $\mathrm{\varnothing }=E\cap (X\mathrm{\setminus }E)\in 𝔖$ и $X=X\mathrm{\setminus }\mathrm{\varnothing }\in 𝔖$.
• Для любой системы множеств $𝒮$ существует наименьшая сигма-алгебра $\sigma (𝒮)$, являющаяся её надмножеством.
• Сигма-алгебры являются естественной областью определения счётно-аддитивных мер. Если мера определена частично (на семействе множеств $𝒮$) так, что выполнено условие сигма-аддитивности (синоним счётной аддитивности), эта частичная мера имеет единственное продолжение на $\sigma (𝒮)$, то есть на наименьшую сигма-алгебру, это семейство содержащую, и при этом свойство сигма-аддитивности не нарушится.
• σ-алгебра, порождённая случайной величиной $\xi :X\to ℝ$, определяется следующим образом:

$\sigma (\xi )=\{{\xi }^{-1}(B)\mid B\in ℬ(ℝ)\}$,

где $ℬ(ℝ)$ — борелевская сигма-алгебра на вещественной прямой. Это — наименьшая сигма-алгебра на пространстве $X$, относительно которой случайная величина $\xi$ всё ещё остаётся измеримой. Эта же конструкция применяется и в том случае, если на пространстве $X$ вообще не выделена никакая сигма-алгебра, в этом случае с помощью функции $\xi$ её можно ввести и наделить таким образом пространство $X$ структурой измеримого пространства, так что функция $\xi$ будет измеримой.

Измеримое пространство

Шаблон:Main Измеримое пространство — пара $(X,ℱ)$, где $X$ — множество, а $ℱ$ — некоторая сигма-алгебра его подмножеств.

Примеры

• Борелевская сигма-алгебра
• Для любого множества $X$ существует тривиа́льная σ-алгебра $\{X,\varnothing \}$.
• Для любого множества $X$ существует σ-алгебра, которая содержит все его подмножества.

Литература

• Шаблон:Книга