Интеграл Лебега

Сверху интегрирование по Риману, снизу — по Лебегу

Интеграл Лебе́га — это обобщение интеграла Римана на более широкий класс функций.

Все функции, определённые на конечном отрезке числовой прямой и интегрируемые по Риману, являются также интегрируемыми по Лебегу, причём в этом случае оба интеграла равны. Однако существует большой класс функций, определённых на отрезке и интегрируемых по Лебегу, но неинтегрируемых по Риману. Также интеграл Лебега может иметь смысл для функций, заданных на произвольных множествах (интеграл Фреше).

Идея построения интеграла Лебега состоит в том, что вместо разбиения области определения подынтегральной функции на части и составления потом интегральной суммы из значений функции на этих частях, на интервалы разбивают её область значений, а затем суммируют с соответствующими весами меры прообразов этих интервалов.

Определение

Интеграл Лебега определяют пошагово, переходя от более простых функций к сложным. Будем считать, что дано пространство с мерой $(X,ℱ,\mu )$, и на нём определена измеримая функция $f:(X,ℱ)\to (ℝ,ℬ(ℝ))$, где $ℬ(ℝ)$ — борелевская $\sigma$-алгебра на вещественной оси.

Определение 1. Пусть $f$ — индикатор некоторого измеримого множества, то есть $f(x)={\mathrm{𝟏}}_A(x)$, где $A\in ℱ$. Тогда интеграл Лебега функции $f$ по определению:

$\underset{X}{\int }f(x)\mu (dx)\equiv \underset{A}{\int }d\mu =\mu (A).$

Определение 2. Пусть $f$ — простая функция, то есть $f(x)=\sum _{i=1}^n{f}_i{\mathrm{𝟏}}_{F_i}(x)$, где $\{f_i{\}}_{i=1}^n\subset ℝ$, а $\{F_i{\}}_{i=1}^n\subset ℱ$ — конечное разбиение $X$ на измеримые множества. Тогда

$\underset{X}{\int }f(x)\mu (dx)=\sum _{i=1}^n{f}_i\mu (F_i)$.

Определение 3. Пусть теперь $f$ — неотрицательная функция, то есть $f(x)⩾0\mathrm{\forall }x\in X$. Рассмотрим все простые функции $\{f_s\}$, такие что $f_s(x)⩽f(x)\mathrm{\forall }x\in X$. Обозначим это семейство ${𝒫}_f$. Для каждой функции из этого семейства уже определён интеграл Лебега. Тогда интеграл от $f$ задаётся формулой:

$\underset{X}{\int }f(x)\mu (dx)=\sup \{\underset{X}{\int }{f}_s(x)\mu (dx)|f_s\in {𝒫}_f\}$.

Наконец, если функция $f$ произвольного знака, то её можно представить в виде разности двух неотрицательных функций. Действительно, легко видеть, что:

$f(x)=f^{+}(x)-f^{-}(x),$

где

$f^{+}(x)=\max (f(x),0),f^{-}(x)=-\min (0,f(x))$.

Определение 4. Пусть $f$ — произвольная измеримая функция. Тогда её интеграл задаётся формулой:

$\underset{X}{\int }f(x)\mu (dx)=\underset{X}{\int }{f}^{+}(x)\mu (dx)-\underset{X}{\int }{f}^{-}(x)\mu (dx)$.

Определение 5. Пусть наконец $A\in ℱ$ произвольное измеримое множество. Тогда по определению

$\underset{A}{\int }f(x)\mu (dx)=\underset{X}{\int }f(x){\mathrm{𝟏}}_A(x)\mu (dx)$,

где ${\mathrm{𝟏}}_A(x)$ — индикатор-функция множества $A$.

Пример

Рассмотрим функцию Дирихле $f(x)\equiv {\chi }_{{\mathbb{Q}}_{[0,1]}}(x)$, заданную на $([0,1],ℬ([0,1]),m)$, где $ℬ([0,1])$ — борелевская σ-алгебра на $[0,1]$, а $m$ — мера Лебега. Эта функция принимает значение $1$ в рациональных точках и $0$ в иррациональных. Легко увидеть, что $f$ не интегрируема в смысле Римана. Однако, она является простой функцией на пространстве с конечной мерой, ибо принимает только два значения, а потому её интеграл Лебега определён и равняется:

$\underset{[0,1]}{\int }f(x)m(dx)=1\cdot m({\mathbb{Q}}_{[0,1]})+0\cdot m([0,1]\setminus {\mathbb{Q}}_{[0,1]})=1\cdot 0+0\cdot 1=0.$

Действительно, мера отрезка $[0,1]$ равна 1, и так как множество рациональных чисел счётно, то его мера равна 0, а значит мера иррациональных чисел равна $1-0=1$.

Замечания

Шаблон:ЯкорьПриближение неотрицательной функции всюду монотонной последовательностью простых, сходящихся к ней

Файл:Построение всюду монотонной последовательности простых функций, сходящихся к данной неотрицательной.gif

Указанная функция $f_n$ (коричневая) при возрастающем $n$ на фоне функции $f_n$ (зелёная)

Из семейства ${𝒫}_f$Шаблон:См. выше всегда можно выделить такую последовательность функций $\{f_n\}$, что последовательность их значений $\{f_n(x)\}$ в любой точке $x$ из $X$ одновременно монотонно неубывает и стремится к $f(x).$

Для этого найдём разложение $X={⨆}_{k=1}^{\mathrm{\infty }}{X}_k$, где $X_k$ имеют конечную меру (подразумевается, что мера сигма-конечна). Теперь рассмотрим последовательность $\{f_n\}$ следующих функций. Когда $f(x)$ меньше $2^n$ и $x$ принадлежит объединению ${⨆}_{k=1}^n{X}_k$, функция равна целой части произведения $f(x)\cdot 2^n$, делённой на $2^n$; в таком случае происходит округление $f(x)$ с точностью до соответствующей степени двойки $\frac{1}{2^n}$ (иначе говоря, при $\frac{k}{2^n}⩽f(x)<\frac{k+1}{2^n}⩽2^n$ функция $f_n(x)$ равна $\frac{k}{2^n}$). Когда $f(x)$ не меньше $n$ и $x$ принадлежит указанному объединению, функция равна $2^n$; Когда $x$ этому объединению не принадлежит, она равна нулю. Формализуя вышесказанное,

$$f_n(x)=\{\begin{array}{cc}\frac{\lfloor f(x)\cdot 2^n\rfloor }{2^n},& f(x)<2^n,x\in \underset{k=1}{\overset{n}{⨆}}{X}_k;\\ 2^n,& f(x)⩾2^n,x\in \underset{k=1}{\overset{n}{⨆}}{X}_k;\\ 0,& x\in ̸\underset{k=1}{\overset{n}{⨆}}{X}_k.\end{array}$$

Тогда понятно, что все $f_n$ простые, так как принимают ненулевые только значения из ${\left\{\frac{k}{2^n}\right\}}_{k=0}^{2^{2n}}$, коих конечное количество, на множествах ${⨆}_{k=1}^n{X}_k$ конечной меры. В то же время для целой части верны неравенства

$\frac{\lfloor f(x)\cdot 2^n\rfloor }{2^n}=\frac{2\lfloor f(x)\cdot 2^n\rfloor }{2^{n+1}}=\frac{\lfloor 2\lfloor f(x)\cdot 2^n\rfloor \rfloor }{2^{n+1}}⩽\frac{\lfloor f(x)\cdot 2^{n+1}\rfloor }{2^{n+1}}$ Шаблон:Efn и $2^n⩽f(x)<2^{n+1}\Rightarrow 2^{2n}⩽f(x)\cdot 2^n\Rightarrow 2^n⩽\frac{\lfloor f(x)\cdot 2^n\rfloor }{2^n}$Шаблон:Efn,

из которых следует неубывание всюду.

Другие замечания

• Так как $|f(x)|=f^{+}(x)+f^{-}(x)$, измеримая функция $f(x)$ интегрируема по Лебегу тогда и только тогда, когда функция $|f(x)|$ интегрируема по Лебегу. Это свойство не выполняется в отношении интеграла Римана;
• В зависимости от выбора пространства, меры и функции, интеграл может быть конечным или бесконечным. Если интеграл функции конечен, то функция называется интегрируемой по Лебегу или суммируемой;
• Если функция определена на вероятностном пространстве $(\mathrm{\Omega },ℱ,\mathbb{P})$ и измерима, то она называется случайной величиной, а её интеграл называют математическим ожиданием или средним. Случайная величина интегрируема, если она имеет конечное математическое ожидание.

Свойства

• Интеграл Лебега линеен, то есть

  $\underset{X}{\int }[af(x)+bg(x)]\mu (dx)=a\underset{X}{\int }f(x)\mu (dx)+b\underset{X}{\int }g(x)\mu (dx)$,

где $a,b\in ℝ$ — произвольные константы.

• Интеграл Лебега сохраняет неравенства, то есть если $0⩽f(x)⩽g(x)$ почти всюду, $f(x)$ измерима и $g(x)$ интегрируема, то интегрируема и $f(x)$, и более того

  $0⩽\underset{X}{\int }f(x)\mu (dx)⩽\underset{X}{\int }g(x)\mu (dx)$.

• Интеграл Лебега не зависит от поведения функции на множестве меры нуль, то есть если $f(x)=g(x)$ почти всюду, то

  $\underset{X}{\int }f(x)\mu (dx)=\underset{X}{\int }g(x)\mu (dx)$.

• Модуль интеграла Лебега от некоторой функции не больше интеграла от модуля этой функции:

  $|\underset{X}{\int }f(x)\mu (dx)|⩽\underset{X}{\int }|f(x)|\mu (dx)$.

Шаблон:ЯкорьСвойства интеграла Лебега как функции множества

В следующих свойствах интеграл Лебега рассматривается как функция

$F(X)=\underset{X}{\int }f(x)\mu (dx)$

от измеримого множества $X$ для некоторой измеримой интегрируемой функции $f(x)$Шаблон:Sfn.

• Интеграл Лебега счётно-аддитивен, то есть интеграл по счётному объединению непересекающихся множеств равен сумме интегралов по этим множествам:

  $A=\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\infty }}{⨆}}{A}_n\Rightarrow \underset{A}{\int }f(x)\mu (dx)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\underset{A_n}{\int }f(x)\mu (dx)$.

• Если функция $f(x)$ неотрицательна, интеграл Лебега является счётно-аддитивной мерой на кольце множеств, на которых $f(x)$ интегрируема.
• Неравенство Чебышёва. Если функция $f(x)$ неотрицательна на множестве $A$, то для любого положительного $c$ мера множества всех $x$ из $A$, для которых значение $f(x)$ не меньше $c$, сама не больше интеграла от $f(x)$ по $A$, делённому на $c$:

  $\mu \{x\in A:f(x)⩾c\}⩽\frac{1}{c}\underset{A}{\int }f(x)\mu (dx)$.

• Интеграл Лебега абсолютно непрерывен. Это значит, что для любого положительного $\epsilon$ найдётся такое положительное $\delta$, что модуль интеграла от $f(x)$ по любому множеству $B\subseteq A$, меры меньше $\delta$, меньше $\epsilon$:

  $\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }\delta >0\mathrm{\forall }B,\mu B<\delta :|\underset{B}{\int }f(x)\mu (dx)|<\epsilon$Шаблон:Sfn.

Шаблон:ЯкорьИнтегральные суммы Лебега

Интегральными суммами Лебега для функции $f(x)$ и меры $\mu$ называются суммы вида

$S=\sum _{k=1}^N{y}_k\cdot \mu \{x\in X:y_k<f(x)⩽y_{k+1}\}$,

где $y_1<y_2<\dots <y_N$ — разбиение области значений функции $f(x)$.

Каждая такая сумма является интегралом Лебега от простой функции, аппроксимирующей функцию $f(x)$ в каждой точке она принимает одно из значений $y_1,y_2,\dots ,y_N$ (а именно, $y_k$ на подмножестве $\{x\in X:y_k<f(x)⩽y_{k+1}\}$). Поэтому, если функция $f(x)$ интегрируема по Лебегу, эти суммы сходятся к её интегралу, когда $y_1\to -\mathrm{\infty }$, $y_N\to +\mathrm{\infty }$, и диаметр разбиения $\delta =\max \{y_2-y_1,\dots ,y_N-y_{N-1}\}$ стремится к нулю.

Особенность интегральных сумм Лебега состоит в том, что для их вычисления не требуется вычислять значения интегрируемой функции — нужна на самом деле лишь функция распределения её значений:

$F(y)=\mu \{x\in X:f(x)⩽y\}$

Тогда интегральные суммы Лебега для функции $f(x)$ и меры $\mu$ становятся интегральными суммами Римана-Стилтьеса для функции $y$ и функции распределения $F(y)$:

$S=\sum _{k=1}^N{y}_k(F(y_{k+1})-F(y_k))\to \underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}ydF(y)$.

Если функция распределения $F(y)$ имеет плотность: $dF(y)=\rho (y)dy$, то интегральные суммы Лебега преобразуются в интегральные суммы Римана:

$S=\sum _{k=1}^N{y}_k\rho (y_k)(y_{k+1}-y_k)\to \underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}y\rho (y)dy$.

Поскольку функции распределения естественным образом возникают в теории вероятностей, статистической и квантовой физике, то и интегральные суммы Лебега фактически используются для вычисления интеграла Лебега, в основном, в приложениях этих теорий. Чаще же всего интеграл Лебега вычисляется как равный ему интеграл Римана (в тех случаях, когда последний имеет смысл).

Шаблон:ЯкорьСходимость интегралов Лебега от последовательностей функций

• Теорема Леви о монотонной сходимости
• Теорема Лебега о мажорируемой сходимости
• Лемма Фату

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга

• Шаблон:Книга