Интеграл Фреше

Интеграл Фреше — интеграл, задаваемый на множестве элементов $F$ произвольной природы.

Для определения интеграла Фреше на множестве $F$ рассматривается некоторое $\sigma$-кольцо множеств $T$ с заданной на нём счётно-аддитивной функцией множества $\mathrm{\Phi }(E)$ c вариациями $\bar{W}(\mathrm{\Phi },E)$ и $\underset{\_}{W}(\mathrm{\Phi },E)$. Пусть $f(x)$ — неотрицательная действительная функция элемента $x$ пространства $F$. Функция $f(x)$ называется суммируемой относительно $\mathrm{\Phi }$ на множестве $E\subset T$, если сходится ряд $\sum _i{M}_{i}W(\mathrm{\Phi },E_i)$ при некотором разбиении множества $E$ на непересекающиеся слагаемые $E_i$, $E_i\subset T$, $M_i=\underset{E_i}{\sup }f$.

Интеграл в смысле Фреше от функции $f(x)$ определяется как разность интегралов относительно $\bar{W}(\mathrm{\Phi },E)$ и $\underset{\_}{W}(\mathrm{\Phi },E)$.

Необходимые и достаточные условия существования интеграла Фреше

Для того, чтобы суммируемая функция $f(x)$ была интегрируемой в смысле Фреше, необходимо и достаточно, чтобы при всяком действительном $a$ множество $E_x(f(x)>a)$ отличалось от множества из $\sigma$-кольца $T$ на некоторое подмножество множества меры нуль, принадлежащего $\sigma$-кольцу.

Литература

• Шаблон:Книга