Неравенство Чебышёва

Файл:Неравенство Чебышёва, домноженное на c. Демонстрирующая анимация.gif

Неравенство в стандартной формулировкеШаблон:Ниже, домноженное на $c.$ Демонстрирующая анимация

Нера́венство Чебышёва (или неравенство Бьенеме — Чебышёва) — неравенство в теории меры и теории вероятностей. Оно было первый раз получено Бьенеме в 1853 году, и позже также Чебышёвым (в статье «О средних величинах» 1867 года).

Неравенство, использующееся в теории меры, является более общим, в теории вероятностей используется его следствие.

В теории меры

Неравенство Чебышёва в теории меры описывает взаимосвязь интеграла Лебега и меры. Аналог этого неравенства в теории вероятностей — неравенство Маркова. Неравенство Чебышёва также используется для доказательства вложения пространства $L_p$ в слабое пространство $L_p$.

Шаблон:ЯкорьСтандартная формулировка

Пусть $(X,ℱ,\mu )$ — пространство с мерой. Если функция $f(x)$ интегрируема и неотрицательна на множестве $A$, то для любой положительной константы $c$ мера множества всех $x$ из $A$, для которых значение $f(x)$ не меньше $c$, сама не больше интеграла от $f(x)$ по $A$, делённого на $c$:

$\mu \{x\in A:f(x)⩾c\}⩽\frac{1}{c}\underset{A}{\int }f(x)\mu (dx).$

Шаблон:ЯкорьОбобщённая формулировка

Стандартной формулировке можно сделать следующее обобщение. Пусть $g(x)$ также интегрируема и неотрицательна на множестве $A$, но она к тому же не убывает (не обязательно всюду, достаточно лишь неубывания на всей области значения $f(x)$ и в точке $c$). Тогда мера множества всех $x$ из $A$, для которых значение $f(x)$ не меньше $c$, сама не больше интеграла от композиции $g(f(x))$ по $A$, делённому на $g(c)$:

$\mu \{x\in A:f(x)⩾c\}⩽\frac{1}{g(c)}\underset{A}{\int }g(f(x))\mu (dx).$

Для перехода к стандартной формулировке достаточно взять $g(x)=x.$

Шаблон:ЯкорьФормулировка в терминах пространства Lₚ

Пусть $\varphi (x)\in L_p$. Тогда

$\mu \left(\right\{x\in A||\varphi (x)|>t\})⩽\frac{\Vert \varphi {\Vert }_p^p}{t^p}.$

В теории вероятностей

Неравенство Чебышёва, ограничивающее вероятность больших отклонений случайной величины от своего математического ожидания

Неравенство Чебышёва в теории вероятностей утверждает, что случайная величина в основном принимает значения, близкие к своему среднему. А более точно, оно даёт оценку вероятности того, что случайная величина примет значение, далёкое от своего среднего.

Неравенство Чебышёва является следствием неравенства Маркова.

Формулировка

Пусть случайная величина $X:\mathrm{\Omega }\to ℝ$ определена на вероятностном пространстве $(\mathrm{\Omega },ℱ,\mathbb{P})$, а её математическое ожидание $\mu$ и дисперсия ${\sigma }^2$ конечны. Тогда

$\mathbb{P}(|X-\mu |⩾a)⩽\frac{{\sigma }^2}{a^2}$, где $a>0$.

Если $a=k\sigma$, где $\sigma$ — стандартное отклонение и $k>0$, то получаем

$\mathbb{P}(|X-\mu |⩾k\sigma )⩽\frac{1}{k^2}$.

В частности, случайная величина с конечной дисперсией отклоняется от среднего больше, чем на $2$ стандартных отклонения, с вероятностью меньше $25\mathrm{\%}$. Отклоняется от среднего на $3$ стандартных отклонения с вероятностью меньше $11.12\mathrm{\%}$. Иными словами, случайная величина укладывается в $2$ стандартных отклонения с вероятностью $75\mathrm{\%}$ и в $3$ стандартных отклонения с вероятностью $88.88\mathrm{\%}$

Для важнейшего случая Шаблон:Нп3 распределений неравенство Высочанского — Петунина существенно усиливает неравенство Чебышёва, включая в себя дробь $\frac{4}{9}$. Таким образом, граница в $3$ стандартных отклонения включает $95.06\mathrm{\%}$ значений случайной величины. В отличие от нормального распределения, где $3$ стандартных отклонения включают $99.73\mathrm{\%}$ значений случайной величины.

Доказательство

Докажем теорему в обобщённой формулировкеШаблон:См. выше. Обозначим за $A_c$ искомое множество $\{x\in A:f(x)⩾c\}.$ Тогда интеграл от композиции по $A$ можно разбить на сумму двух интегралов: по $A_c$ и по $A\setminus A_c$, оба из которых неотрицательны, так что интеграл от композиции по $A$ не меньше, чем интеграл по $A_c$ — один из них. В то же время на всём множестве $A_c$ функция $f(x)$ не меньше $c$ по построению, поэтому на нём значение композиции $g(f(x))$ не меньше $g(c)$ в силу свойств неубывания, а потому и интеграл от композиции по $A_c$ больше или равен интегралу от $g(c)$ по $A_c$. Последний равен произведению меры $A_c$ на $g(c)$, ведь $g(c)$ константа. Поделив на $g(c)$, получим исходное соотношение. Формализуя вышесказанное получаем доказываемое неравенство:

$\frac{1}{g(c)}\underset{A}{\int }g(f(x))\mu (dx)=\frac{1}{g(c)}\left(\underset{A_c}{\int }g\right(f(x))\mu (dx)+\underset{A\setminus A_c}{\int }g(f(x))\mu (dx))⩾\frac{1}{g(c)}\underset{A_c}{\int }g(f(x))\mu (dx)⩾\frac{1}{g(c)}\underset{A_c}{\int }g(c)\mu (dx)=\frac{1}{g(c)}\cdot g(c)\mu A_c=\mu A_c.$

См. также

• Оценка Чернова

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга

Ссылки

• П. Л. Чебышевъ, «О среднихъ величинахъ», Матем. сб., 2:1 (1867), 1-9