Дисперсия случайной величины

Шаблон:Значения Диспе́рсия случа́йной величины́ — мера разброса значений случайной величины относительно её математического ожидания. Обозначается $D[X]$ в русской литературе и $\mathrm{Var}(X)$ (Шаблон:Lang-en) в зарубежной. В статистике часто употребляется обозначение ${\sigma }_X^2$ или ${\sigma }^2$.

Квадратный корень из дисперсии, равный $\sigma$, называется среднеквадратическим отклонением, стандартным отклонением или стандартным разбросом. Стандартное отклонение измеряется в тех же единицах, что и сама случайная величина, а дисперсия измеряется в квадратах этой единицы измерения.

Из неравенства Чебышёва следует, что вероятность того, что значения случайной величины отстоят от математического ожидания этой случайной величины более чем на $k$ стандартных отклонений, составляет менее $1/k^2$. В специальных случаях оценка может быть усилена. Так, например, как минимум в 95 % случаев значения случайной величины, имеющей нормальное распределение, удалены от её среднего не более чем на два стандартных отклонения, а в примерно 99,7 % — не более чем на три.

Определение

Дисперсией случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания.

Пусть $X$ — случайная величина, определённая на некотором вероятностном пространстве. Тогда дисперсией называется

$D[X]=𝔼\left[\right(X-𝔼[X]{)}^2],$

где символ $𝔼$ обозначает математическое ожидание.

Замечания

• Если случайная величина $X$ дискретная, то

  $D[X]=\sum _{i=1}^n{p}_i(x_i-𝔼[X]{)}^2,$

  $D[X]=\frac{1}{2}\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n{p}_i{p}_j(x_i-x_j{)}^2=\sum _{i=1}^n\sum _{j=i+1}^n{p}_i{p}_j(x_i-x_j{)}^2,$

где $x_i$ — $i$-ое значение случайной величины, $p_i=P(X=x_i)$ — вероятность того, что случайная величина принимает значение $x_i$, $n$ — количество значений, которые принимает случайная величина. Шаблон:Hider

• Если случайная величина $X$ непрерывна, то:

  $D[X]=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}(x-𝔼[X]{)}^{2}f(x)dx$

  $D[X]=\frac{1}{2}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}(x_2-x_1{)}^{2}f(x_1)f(x_2)d{x}_{1}d{x}_2$,

где $f(x)$ — плотность вероятности случайной величины.

• В силу линейности математического ожидания справедлива формула:

  $D[X]=𝔼[X^2]-{(𝔼[X])}^2$

• Дисперсия является вторым центральным моментом случайной величины.
• Дисперсия может быть бесконечной.
• Дисперсия может быть вычислена с помощью производящей функции моментов $U(t)$:

  $D[X]=𝔼[X^2]-{(𝔼[X])}^2=U^{″}(0)-{(U^{\prime }(0))}^2.$

• Дисперсия целочисленной случайной величины может быть вычислена с помощью производящей функции последовательности.
• Формула для вычисления смещённой оценки дисперсии случайной величины $X$ по последовательности реализаций этой случайной величины: $X_1...X_n$ имеет вид:

  ${\bar{S}}^2=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(X_i-\bar{X}{)}^2$, где $\bar{X}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i$ — выборочное среднее (несмещённая оценка $𝔼[X]$).

Для получения несмещённой оценки дисперсии случайной величины значение ${\bar{S}}^2$ необходимо умножить на $\frac{n}{n-1}$.

Несмещённая оценка имеет вид:

${\tilde{S}}^2=\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n(X_i-\overline{X}{)}^2$

Свойства

• Дисперсия любой случайной величины неотрицательна: $D[X]⩾0;$
• Если дисперсия случайной величины конечна, то конечно и её математическое ожидание;
• Если случайная величина равна константе, то её дисперсия равна нулю: $D[a]=0.$ Верно и обратное: если $D[X]=0,$ то $X=𝔼[X]$ почти всюду.
• Дисперсия суммы двух случайных величин равна:

  $D[X+Y]=D[X]+D[Y]+2\text{cov}(X,Y)$, где $\text{cov}(X,Y)$ — их ковариация.

• Для дисперсии произвольной линейной комбинации нескольких случайных величин имеет место равенство:

  $D\left[\sum _{i=1}^n{c}_i{X}_i\right]=\sum _{i=1}^n{c}_i^{2}D[X_i]+2\sum _{1⩽i<j⩽n}{c}_i{c}_j\text{cov}(X_i,X_j)$, где $c_i\in ℝ$.

• В частности, $D[X_1+\dots +X_n]=D[X_1]+\dots +D[X_n]$ для любых независимых или некоррелированных случайных величин, так как их ковариации равны нулю.
• $D\left[aX\right]=a^{2}D[X]$
• $D[-X]=D[X]$
• $D[X+b]=D[X]$
• Если $X=X(\omega ,\tau )$ — случайная величина от пары элементарных событий (случайная величина на декартовом произведении вероятностных пространств), то

  $D_{(\omega ,\tau )}[X]={𝔼}_{\omega }[D_{\tau }[X]]+D_{\omega }[{𝔼}_{\tau }[X]]$

Условная дисперсия

Шаблон:Нет источников в разделе Наряду с условным математическим ожиданием $𝔼[X|Y]$ в теории случайных процессов используется условная дисперсия случайных величин $D[X|Y]$.

Условной дисперсией случайной величины $X$ относительно случайной величины $Y$ называется случайная величина:

$D[X|Y]=𝔼[(X-𝔼[X|Y]{)}^2|Y]=𝔼[X^2|Y]-𝔼[X|Y{]}^2$.

Её свойства:

• условная дисперсия относительно случайной величины $Y$ является Y-измеримой случайной величиной (то есть измерима относительно сигма-алгебры, порождённой случайной величиной $Y$);
• условная дисперсия неотрицательна: $D[X|Y]⩾0$;
• условная дисперсия $D[X|Y]$ равна нулю тогда и только тогда, когда $X=𝔼[X|Y]$ почти наверное, то есть тогда и только тогда, когда $X$ совпадает почти наверное с некоторой Y-измеримой величиной (а именно, с $𝔼[X|Y]$);
• обычная дисперсия также может быть представлена как условная: $D[X]=D[X|1]$;
• если величины $X$ и $Y$ независимы, случайная величина $D[X|Y]$ является константой, равной $D[X]$;
• если $X,Y$ — две числовые случайные величины, то

  $D[X]=𝔼[D[X|Y]]+D[𝔼[X|Y]],$

откуда, в частности, следует, что дисперсия условного математического ожидания $𝔼[X|Y]$ всегда меньше или равна дисперсии исходной случайной величины $X$.

Пример

Шаблон:Нет источников в разделе Пусть случайная величина $X$ имеет стандартное непрерывное равномерное распределение на $[0,1]$, то есть её плотность вероятности задана равенством

$f_X(x)=\{\begin{array}{cc}1,& x\in [0,1]\\ 0,& x\in ̸[0,1].\end{array}$

Тогда математическое ожидание квадрата случайной величины равно

$𝔼\left[X^2\right]=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^{2}dx={\frac{x^3}{3}|}_0^1=\frac{1}{3}$,

и математическое ожидание случайной величины равно

$𝔼\left[X\right]=\underset{0}{\overset{1}{\int }}xdx={\frac{x^2}{2}|}_0^1=\frac{1}{2}$

Дисперсия случайной величины равна

$D[X]=𝔼\left[X^2\right]-(𝔼[X]{)}^2=\frac{1}{3}-{\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{12}$

См. также

• Среднеквадратическое отклонение
• Моменты случайной величины
• Ковариация
• Выборочная дисперсия
• Независимость (теория вероятностей)
• Скедастичность
• Абсолютное отклонение
• Дельта-метод

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга