Неравенство Маркова

Нера́венство Ма́ркова в теории вероятностей даёт оценку вероятности, что неотрицательная случайная величина превзойдёт по модулю фиксированную положительную константу, в терминах её математического ожидания. Хотя получаемая оценка обычно груба, она позволяет получить определённое представление о распределении, когда последнее не известно явным образом.

Формулировка

Пусть неотрицательная случайная величина $X:\mathrm{\Omega }\to {ℝ}^{+}$ определена на вероятностном пространстве $(\mathrm{\Omega },ℱ,\mathbb{P})$, и её математическое ожидание $𝔼X$ конечно. Тогда

$\mathbb{P}(X⩾a)⩽\frac{𝔼X}{a}$,

где $a>0$.

Примеры

1. Пусть $X⩾0$ — неотрицательная случайная величина. Тогда, взяв $a=2𝔼X$, получаем

$\mathbb{P}(X⩾2𝔼X)⩽\frac{1}{2}$.

2. Пусть в среднем ученики опаздывают на 3 минуты, и нас интересует, какова вероятность того, что ученик опоздает на 15 и более минут. Чтобы получить грубую оценку сверху, можно воспользоваться неравенством Маркова:

$\mathbb{P}(|X|⩾15)⩽\frac{3}{15}=0,2$.

Доказательство

Пусть неотрицательная случайная величина $X$ имеет плотность распределения $p(x)$, тогда для $a>0$

$𝔼X=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}xp(x)dx⩾\underset{a}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}xp(x)dx⩾\underset{a}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}ap(x)dx=a\mathbb{P}(X⩾a)$.

Связь с другими неравенствами

Если в неравенство подставить вместо случайной величины $X$ случайную величину $(Y-𝔼Y{)}^2$, то получим неравенство Чебышёва:

$\mathbb{P}(|Y-𝔼(Y)|\ge b)\le \frac{\text{Var}(Y)}{b^2}.$

И наоборот, представив неотрицательную случайную величину $X$ в виде квадрата другой случайной величины $X=Y^2$, такой что $𝔼Y=0$, из неравенства Чебышева для $Y$ получим неравенство Маркова для $X$. Распределение случайной величины $Y$ определяется так: $\mathbb{P}(Y<-\sqrt{a})=\mathbb{P}(Y>\sqrt{a})=\mathbb{P}(X>a)/2$, $\mathbb{P}(Y=0)=\mathbb{P}(X=0)$.

Если $\varphi (x)$ произвольная положительная неубывающая функция, то

$\mathbb{P}(X⩾a)=\mathbb{P}(\varphi (X)⩾\varphi (a))⩽\frac{𝔼[\varphi (X)]}{\varphi (a)}$.

В частности при $\varphi (x)=e^{xt}$, для любых $t⩾0$

$\mathbb{P}(X⩾a)⩽\frac{𝔼\left[e^{Xt}\right]}{e^{at}}=\frac{M_X(t)}{e^{at}}$,

где $M_X(t)$ — производящая функция моментов. Минимизируя правую часть по $t$, получим неравенство Чернова.

Неравенство Чернова дает лучшую оценку, чем неравенство Чебышёва, а неравенство Чебышёва — лучшую, чем неравенство Маркова. Это неудивительно, поскольку неравенство Маркова предполагает знание только первого момента случайной величины $X$, Чебышёва — первого и второго, Чернова — всех моментов.

См. также

• Неравенство Чебышёва
• Марков, Андрей Андреевич (старший)

Ссылки

• Видеолекция о случайных величинах, неравенствах Маркова и Чебышёва